<< Предыдущая

стр. 67
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

i?I i?I

Кроме того, как и ранее, для допустимости состояния экономики требуется допустимость
наборов всех потребителей:
xis ? Xi , ?s ? S, ?i ? I.
Определение общего равновесия остается прежним.
Определение 60:
Назовем (p, x) равновесием Эрроу — Дебре экономики с риском, если
?
?
1) xi — решение задачи потребителя ( ) при ценах p.
?
2) x — допустимое состояние, т. е.

?iks , ?k ? K, ?s ? S.
xiks =
?
i?I i?I

Несложно понять, что такая модель рынка ничем не отличается от классической, с точно-
стью до способа спецификации благ (k, s). Этот факт можно использовать для доказательства
теорем благосостояния для равновесия Эрроу — Дебре.


8.2 Теоремы благосостояния для экономики Эрроу—Дебре
В этом параграфе мы получим аналог двух теорем благосостояния, характеризующих свой-
ства равновесия в терминах Парето-эффективности. При определении Парето-эффективности
в данной экономике мы сталкиваемся с проблемами, связанными с возможными ошибками при
оценке вероятностей состояний мира.
Заметим, что понятие (и определение) Парето-оптимального состояния такой экономики
зависит от способа оценивания возможных потребительских наборов и, в конечном итоге, от
оценок вероятностей состояний мира. В дальнейшем мы будем использовать два таких поня-
тия. Первое, аналогичное классическому определению, основывается на функциях полезности
потребителей, полученных при оценках состояний мира, приписываемых этим состояниям дан-
ными потребителями (функциях Ui (xi )). Второе основывается на истинных значениях веро-
ятностей состояний мира.
Определение 61:
Допустимое состояние экономики с риском x = (? 1 , . . . , xm ) называется (субъективно) Па-
? ?
x
рето-оптимальным, если не существует другого допустимого состояния x = (? 1 , . . . , xm ), такого
? ?
x
что Ui (? i ) Ui (? i ), причем хотя бы для одного потребителя неравенство строгое.
x x

Альтернативное определение мы дадим только для случая, когда предпочтения описыва-
ются функцией Неймана — Моргенштерна.
Определение 62:
Пусть функции полезности всех потребителей в экономике Эрроу — Дебре имеют вид Ней-
мана — Моргенштерна с субъективными вероятностями:

Ui (xi ) = µis ui (xis ),
s?S

и µi — объективные вероятности состояний мира.
8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна 290

Допустимое состояние экономики с риском x = (? 1 , . . . , xm ) называется (объективно) Па-
? ?
x
рето-оптимальным, если не существует другого допустимого состояния x = (? 1 , . . . , xm ), такого
? ?
x
что
µs ui (? is )
x µs ui (? is ),
x
s?S s?S

причем хотя бы для одного потребителя неравенство строгое.

Различие двух определений связано только с корректировкой возможных ошибок в оценке
вероятностей состояний мира потребителями.
В этом параграфе мы будем исходить из первого (субъективного) определения оптимально-
сти. При использовании этого определения для экономики Эрроу — Дебре выполнены аналоги
Теорем благосостояния при стандартных предположениях. В то же время, очевидно, что при
использовании второго («объективного») определения оптимальности, аналоги Теорем благо-
состояния при тех же предположениях в общем случае не выполнены.
Теорема 95:
?
Пусть (p, x) — равновесие Эрроу — Дебре экономики с риском, причем предпочтения
?
потребителей локально ненасыщаемы. Тогда x — Парето-оптимальное состояние.
?
Пусть x — внутреннее Парето-оптимальное состояние экономики Эрроу — Дебре. Пред-
положим также, что предпочтения потребителей выпуклы, непрерывны и локально ненасы-
щаемы2 . Тогда существуют цены p, такие что (p, x) является равновесием Эрроу — Дебре
?
при некотором распределении собственности ? i .

Доказательство: Перенумеруем контингентные блага: (k, s) > k .
После такой операции получаем классическую модель Вальраса с l ? s «обычными» бла-
?
гами, в которой выполнены предположения первой и второй теорем благосостояния.

Один из возможных способов нумерации контингентных благ иллюстрирует Таблица 8.1.

Таблица 8.1. Иллюстрация нумерации контингентных благ

s
1 2 3 4
1 1 4 7 10
k 2 2 5 8 11
3 3 6 9 12




8.3 Свойства равновесий Эрроу — Дебре и
Парето-оптимальных состояний в экономике с риском с
функциями полезности Неймана — Моргенштерна
Мы рассмотрим в данном параграфе, какие черты специфический вид функции полезности
Неймана — Моргенштерна (линейность по вероятностям и постоянство элементарных функций
полезности по состояниям мира) накладывают на равновесия и Парето- оптимальные состоя-
ния.
2
Заметим, что в случае, когда предпочтения потребителей представимы функцией полезности Неймана —
Моргенштерна, ненасыщаемость предпочтений гарантируется монотонностью элементарной функции полезно-
сти, непрерывность — непрерывностью элементарной функции полезности, выпуклость — ее вогнутостью.
8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна 291
Пример 37:
Рассмотрим экономику, в которой есть одно благо (деньги), два потребителя, и два состо-
яния мира: R (дождь), и S (солнечная погода). Потребители обладают начальными запасами
? 1 = (1, 3), ? 2 = (3, 1) контингентных благ. Т. е., первый потребитель, если обмен не проис-
ходит, может рассчитывать на 1 при дожде и на 3 при солнце, а второй — наоборот. Пусть
оба считают, что вероятности состояний R и S равны µR = 0,25 и µS = 0,75 соответствен-
но, и имеют одинаковые элементарные функции полезности ui (x) = ln(x). Тогда функции
полезности потребителей имеют вид:

Ui = 0,25 ln(xiR ) + 0,75 ln(xiS ), i = 1, 2.

Описанная экономика представляет собой типичный пример «ящика Эджворта», только
интерпретация переменных специфическая. Здесь речь идет не об обмене обычными («физи-
ческими») благами, а об обмене рисками.
Дифференциальная характеристика Парето-оптимума имеет вид
?U1 /?x1R 0,25x1S ?U2 /?x2R 0,25x2S
= = = ,
?U1 /?x1S 0,75x1R ?U2 /?x2S 0,75x2R
откуда
x1S x2R = x1R x2S .
В Парето-оптимуме также должны выполняться балансы:

x1R + x1S = 4,

x2R + x2S = 4.
Отсюда получаем следующее уравнение границы Парето в координатах (x1R , x1S ):

x1S (4 ? x1R ) = x1R (4 ? x1S )

или
x1S = x1R .
Следовательно, граница Парето совпадает с диагональю ящика Эджворта.
Найдем теперь равновесие. Его дифференциальная характеристика имеет вид:
?U1 /?x1R 0,25x1S pR
= = ,
?U1 /?x1S 0,75x1R pS
?U2 /?x2R 0,25x2S pR
= = .
?U2 /?x2S 0,75x2R pS
Равновесие удовлетворяет соотношениям для Парето-оптимальных состояний, то есть, как и
предсказывает Теорема 95, равновесие лежит на границе Парето. Таким образом, в равновесии
x1S = x1R .
Учитывая это соотношение, получим из дифференциальной характеристики равновесия,
что отношение цен в двух состояниях мира равно
pR 0,25 1
= =.
pS 0,75 3
Таким образом, можно выбрать pR = 1, pS = 3.
Поскольку предпочтения потребителей монотонны, то бюджетные ограничения в равнове-
сии выходят на равенство. Для 1-го потребителя

pR x1R + pS x1S = pR + pS · 3,
8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна 292

т. е.
x1R + 3x1S = 1 + 3 · 3 = 10.
Поскольку x1S = x1R , то x1S = x1R = 2,5.
? ?
Учитывая балансы, x2S = x2R = 1,5.
? ?


x1S
x2R

?
?
x




x1R

x2S


Рис. 8.1. Иллюстрация к Примеру 37

В приведенном примере в любом Парето-оптимальном состоянии (а значит, и в равновесии)
потребление обоих потребителей не зависит от состояния мира. Другая его примечательная
особенность состоит в том, что отношение цен для двух состояний мира оказалось пропорци-
ональным отношению вероятностей этих состояний. Оказывается, эти закономерности верны
и в более общих случаях, когда, как и в данном примере, суммарные запасы не зависят от
состояний мира. Покажем это.
Определение 63:
Будем говорить, что в экономике Эрроу — Дебре отсутствует системный риск, если

?ikt , ?k ? K, ?s, t ? S.
?iks =
i?I i?I

Теорема 96:
Пусть в экономике Эрроу — Дебре системный риск отсутствует, предпочтения потреби-
телей характеризуются функциями полезности Неймана — Моргенштерна с одинаковыми
оценками вероятностей состояний мира и строго вогнутыми элементарными функциями
полезности, заданными на выпуклых множествах допустимых наборов Xi . Тогда в любом
?
Парето- оптимальном состоянии экономики x потребление каждого потребителя не зависит
от состояния мира (т. е. отсутствует индивидуальный риск):

xiks = xikt , ?i ? I, ?k ? K, ?s, t ? S.
? ?


Доказательство: Пусть в равновесии для какого-либо потребителя j данное свойство не выпол-
нено, например, xjks = xjkt . Тогда допустимое состояние экономики x? , такое что
? ?

x? = µt xikt
?
iks
t?S

? ?
является Парето-улучшением для состояния x , что противоречит Парето-оптимальности x .
8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна 293

Проверим, что состояние x? является допустимым.

x? = µt xkt =
? µt xikt =
? µt ?ikt = ?ikt .
iks
i?I i?I t?S t?S i?I t?S i?I i?I

i?I ?ikt не зависит от состояния
где в последнем равенстве мы воспользовались тем, что
мира и сумма вероятностей состояний мира равна 1.
Проверим теперь, что x? является Парето-улучшением. Заметим, что для любого потре-
бителя x? является безрисковым набором, поэтому
i

Ui (x? ) = µs ui (x? ) = ui (x? ) µs = ui (x? )
i is is is
s?S s?S

Для произвольного потребителя i по определению x? и неравенству Йенсена
iks
? ?

Ui (x? ) = ui (x? ) = ui ? ?
µt xit ? µs ui (? is ) = Ui (? i ).
x x
i is
t?S s?S

Для потребителя j неравенство здесь строгое.
Теорема 97:

<< Предыдущая

стр. 67
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>