<< Предыдущая

стр. 68
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Пусть в экономике Эрроу — Дебре системный риск отсутствует, и предпочтения потре-
бителей характеризуются функциями полезности Неймана — Моргенштерна с одинаковы-
ми оценками вероятностей состояний мира и возрастающими строго вогнутыми элементар-
?
ными функциями полезности. Тогда в равновесии Эрроу — Дебре (p, x) выполнено.
(i) Потребление каждого потребителя не зависит от состояния мира:

xiks = xikt , ?i ? I, ?k ? K, ?s, t ? .
? ?

(ii) Если, дополнительно, в равновесии потребительский набор хотя бы одного потребите-
ля является внутренним3 , элементарные функции полезности дифференцируемы, то отно-
шение цен на одно и то же «физическое» благо в двух разных состояниях мира равно
отношению вероятностей этих состояний:
pks µs
, ?k ? K, ?s, t ? S.
=
pkt µt

Доказательство: (i) Отсутствие индивидуального риска ( xis = xit , ?s, t ? S ) следует из первой
? ?
теоремы благосостояния и Теоремы 96.
(ii) Для потребителя i, набор которого является внутренним, выполнена дифференциаль-
ная характеристика
µs uik (? is )
x pks
, ?k ? K, ?s, t ? S,
=
µt uik (? it )
x pkt
? ?
Как только что доказано, в равновесии xis = xit , откуда и следует требуемое соотношение.

Если в экономике есть системный риск, то приведенные свойства не выполняются. Одна-
ко, равновесия и в этом случае обладают некоторыми общими свойствами. В частности, если
благо одно, состояний мира два и потребителя два, то граница Парето проходит в промежут-
ке между двумя биссектрисами соответствующего ящика Эджворта (который в этом случае
3
Это условие выполнено, например, если Xi состоят из неотрицательных векторов, и суммарные начальные
запасы любого блага положительны. Поскольку суммарные начальные запасы положительны, то в равновесии
всегда существует потребитель i , который предъявляет спрос на некоторое благо k в каком-то из состояний
мира, а, следовательно, и во всех состояниях мира. и этого блага
8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна 294

будет неквадратным), т. е. потребление в относительно «скудном» состоянии мира должно
быть относительно низким. То же самое верно и для равновесия, которое по первой теореме
благосостояния должно лежать на границе Парето. Кроме того, цена для более «скудного»
состояния относительно выше. Действительно, в равновесии выполняется
µR ui (?iR )
x pR
= , i = 1, 2.
µS ui (?iS )
x pS
Если приравнять друг к другу предельные нормы замещения двух потребителей, учитывая
балансы, то вероятности сократятся:
u (??R ? x1R )
u1 (?1R )
x ?
=2 .
u2 (??S ? x1S )
u1 (?1S )
x ?
Пусть ??R < ??S . Докажем, что x1R < x1S . Если бы было выполнено x1R
? ? ? x1S , то
?
u1 (?1R ) u1 (?1S ), поскольку предельная полезность для рискофоба — убывающая функция.
x x
Отсюда следует, что
u2 (??R ? x1R ) u2 (??S ? x1S ),
? ?
и что ??R ? x1R ??S ? x1S . Получили противоречие. Таким образом, x1R < x1S . Аналогично
? ? ? ?
доказывается, что x2R < x2S .
? ?
Доказанное верно и для границы Парето, поскольку дифференциальные характеристики
равновесий и Парето-оптимальных состояний совпадают.
Кроме того, из xiR < xiS и дифференциальной характеристики решения задачи потреби-
? ?
теля следует, что
µR µR ui (?iR )
x pR
< = .
µS µS ui (?iS )
x pS


x1S

x2R ?
?
x




x1R

x2S


Рис. 8.2. Парето-граница и равновесие в условиях системного риска

Рассмотрим теперь на примере свойства равновесия в случае, когда один из потребителей
нейтрален к риску.
Пример 38:
Пусть функции полезности потребителей имеют вид:

U1 (x1 ) = µR x1R + µS x1S ,

U2 (x2 ) = µR ln(x2R ) + µS ln(x2S ).
Первый из потребителей здесь нейтрален к риску, а второй — рискофоб.
8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна 295

Дифференциальная характеристика границы Парето имеет следующий вид:
µR µR x2S
= ,
µS µS x2R
откуда x2S = x2R . Это соотношение выполнено только на внутренней части границы Парето.
Оно означает, что соответствующая часть границы является биссектрисой положительного
ортанта системы координат 2-го потребителя. Это же свойство должно выполняться и для
любого внутреннего равновесия. Содержательно это означает, что нейтральный к риску 1-й
потребитель полностью застрахует 2-го потребителя-рискофоба.
В предположении о допустимости неотрицательных (для второго потребителя — положи-
тельных) количеств благ, граница Парето «загибается» в месте пересечения с одной из осей
координат 1-го потребителя.


x1S

x2R




x1R

x2S


Рис. 8.3. Парето-граница в случае, когда первый потребитель нейтрален к риску

Гипотезы µis разных участников i торговли о вероятностях состояний мира s ? S не
обязаны совпадать. Это не мешает торговле, а иногда и создает условия для нее. Пример
этого получим, изменив параметры экономики, рассмотренной в Примере 37.
Пример 39 ((Пари)):
Пусть функции полезности потребителей имеют вид:

U1 (x1 ) = 0,25 ln(x1R ) + 0,75 ln(x1S ),

U2 (x2 ) = 0,75 ln(x2R ) + 0,25 ln(x2S ).
Первый потребитель считает второе событие в три раза вероятнее первого; второй — наоборот.
Начальные запасы одинаковые для обоих: ? i = (2, 2). Равновесие в этой модели единственно,
равновесные цены, соответствующие разным состояниям природы, совпадают между собой:
pR = pS . Равновесные распределения: x1R = x2S = 1; x1S = x2R = 3. Данный пример можно
? ? ? ?
интерпретировать в том смысле, что потребители, имея разные представления о вероятностях
состояний мира, заключают между собой пари. Несмотря на то, что отсутствует риск с точки
зрения начальных запасов, обмен будет происходить (равновесие не совпадает с точкой началь-
ных запасов), в результате чего в равновесии потребители сталкиваются с индивидуальным
риском.
Отношение цен блага в двух состояниях мира будет лежать в промежутке между отноше-
ниями вероятностей:
0,25 1 0,75
<< ,
0,75 1 0,25
8.3. Свойства экономики с функциями полезности Неймана—Моргенштерна 296

т. е.
µ1R pR µ2R
< < .
µ1S pS µ2S
Уравнение субъективной границы Парето здесь будет иметь вид

9x1R
x1S = .
1 + 2x1R

Таким образом, субъективная Парето-граница (ее внутренняя часть) проходит выше диаго-
нали-биссектрисы.
В этой модели условием (субъективно) взаимовыгодной торговой сделки является разли-
чие в оценках вероятностей реализации различных состояний мира. В то же время, поскольку
первоначальное состояние вне зависимости от истинных вероятностей состояний мира (объ-
ективно) Парето-оптимально (так как нет системного риска, и начальные запасы лежат на
диагонали ящика Эджворта), этот обмен ведет к ухудшению реального благосостояния по
крайней мере одного потребителя. Таким образом, на этом примере очевидно различие между
«субъективным» и «объективным» определениями границы Парето.



x1S
x2R

?
x


?



x1R

x2S


Рис. 8.4. Иллюстрация к Примеру 39



8.3.1 Задачи
 423. В экономике распределения с риском имеется два потребителя с функциями полез-
ности Неймана — Моргенштерна, один товар и два состояния мира — A и B , случающие-
ся с равными вероятностями. Элементарные функции полезности равны u1 = ? exp(?x1 ) и
u2 = ? exp(?2x2 ) соответственно. Общие начальные запасы в экономике равны (4, 7). Найти
Парето-оптимум и равновесие, если доходы обоих равны 10.
 424. В экономике имеется два потребителя, одно физическое благо и n состояний мира.
v
Элементарные функции полезностей потребителей одинаковы и имеют вид ui (x) = x, i =
1, 2. Начальные запасы первого потребителя равны ?1s = s, а второго — ?2s = n + 1 ? s.
Вероятности состояний мира
(a) одинаковы, т. е. µs = 1/n;
(b) пропорциональны номеру состояний, т. е. µs = ?s, где

2
?= .
n(n + 1)
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 297

Найдите равновесие Эрроу — Дебре в обоих случаях, (a) и (b). Напомним, что
n n
n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1)
s2 =
s= , .
2 6
s=1 s=1

 425. В ситуации предыдущей задачи элементарные функции полезностей потребителей оди-
v
наковы и имеют вид u1 (x) = x, u2 (x) = x. Начальные запасы первого потребителя равны
?1s = n, а второго — ?2s = s. Найдите равновесие Эрроу — Дебре в тех же случаях (a) и (b).
 426. (A) Покажите, что в модели Эрроу — Дебре с единственным физическим благом внут-
реннее равновесие единственно, если предпочтения каждого потребителя представимо функ-
цией полезности Неймана — Моргенштерна (с дифференцируемой элементарной функцией по-
лезности).
(B) Как измениться результат, если отказаться от предположения дифференцируемости
элементарной функции полезности?
(C) Как измениться результат, если отказаться от предположения о том, что равновесие
внутреннее?


8.4 Равновесие Раднера в экономике с риском
То, что для равновесия Эрроу — Дебре в экономике с риском верны аналоги теорем благо-
состояния, противоречит интуиции. Известно, что неполнота информации все же представляет
проблемы для рынков в реальной жизни. Что-то в сформулированной модели должно быть
не так. Одним из объяснений может служить различие в субъективных оценках вероятности
(неравномерность распределения информации между экономическими субъектами). Однако
это объяснение недостаточно.
Очевидно, что модель нереалистична. Нереалистична она не потому, что в ней фигури-
руют понятия «сегодня», «завтра» и «контингентные блага». Ту же самую модель можно
интерпретировать достаточно широко, в зависимости от конкретной ситуации. Основное нереа-
листичное предположение данной модели — это наличие полной системы рынков. Это заранее
заложено в формулировке модели в виде единого бюджетного ограничения. Содержательно
полнота рынков означает, что каждый потребитель может поменять любой товар при любом
состоянии мира на любой другой товар в любом другом состоянии мира, неважно, непосред-
ственно или с помощью цепочки обменов. Рынок с риском может стать несовершенным, если
невозможно обменять ни одно благо в каком-либо состоянии s1 ни на одно благо в другом
состоянии s2 . Такое может быть, если по каким- либо причинам не заключаются соответству-
ющие контракты условные по состояниям мира. При этом бюджеты потребителей уже не
будут едиными. Потребители тогда имеют отдельные бюджеты в зависимости от состояния
мира.

<< Предыдущая

стр. 68
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>