<< Предыдущая

стр. 69
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Пусть C = {1, . . . , c} — активы4 , имеющие хождение в рассматриваемой экономике (в рав-
?
ной степени доступные всем потребителям). Каждый актив c ? C характеризуется матрицей
доходностей5 ac = {aksc }ks , где aksc — количество k -го блага, которое дает этот актив в слу-
чае, если во 2-м периоде произойдет состояние мира s. Будем предполагать, что доходность
4
См. K. J. Arrow: Le r?le des valeurs boursi?respour la r?partition la meilleure des risques, in Econom?trie
o e e e
Colloques Internationaux, Paris: CNRS, 1953: 41–48 (англ. пер. K. J. Arrow: The Role of Securities in the Opti-
mal Allocation of Risk-bearing, Review of Economic Studies 31 (1964): 91–96), а также R. Radner: Competitive
Equilibrium under Uncertainty, Econometrica 36 (1968): 31–58.
5
Это доходности в натуральном выражении (в физических количествах благ). Соответствующие денежные
доходности рассчитываются по формуле:
pks aksc ps asc
k?K
rsc = = .
qc qc
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 298

актива не зависит от того, кто им владеет, т. е. коэффициенты aksc одинаковы для всех потре-
бителей. Цену этого актива обозначим qc , а его количество, приобретаемое i-м потребителем —
zic . Ограничений на знак величин zic не накладывается. Случай zic < 0 можно интерпрети-
ровать в том смысле, что потребитель эмитирует соответствующий актив в количестве |zic |
(либо берет соответствующий кредит). В предположении, что
??list - потребитель принимает цены как данные,
- в 1-м периоде происходит только обмен активами (обмен «физическими» благами
и потребление в модели Раднера происходят во 2-м периоде),
- начальные запасы активов любого типа у любого потребителя равны нулю6 ,
бюджетное ограничение 1-го периода имеет вид

qc zic 0.
c?C

Во 2-м периоде, после осуществления некоторого состояния мира s ? S , происходит обмен
благами с учетом обязательств по активам, приобретенным в 1-м периоде. Соответствующее
бюджетное ограничение 2-го периода для каждого состояния мира имеет вид:

pks xiks pks ?iks + pks aksc zic .
c?C k?K
k?K k?K

Это бюджетное ограничение можно записать также в следующем виде:

pks xiks pks ?iks ,
?
k?K k?K

где ?iks — новые начальные запасы, учитывающие чистые обязательства портфеля активов,
?
приобретенных в первом периоде, рассчитываемые по формуле

?iks = ?iks +
? aksc zic .
c?C

Будем предполагать, что активы служат только для передачи покупательной способности меж-
ду различными состояниями мира (мы обсудим ниже эту их функцию) и не влияют на уровень
благосостояния потребителя, поэтому, как и ранее, будем считать, что предпочтения описыва-
ются функцией полезности, зависящей лишь от объемов потребления в различных состояниях
мира, Ui (xi ).
Если бы потребитель в первом периоде, планируя свой портфель активов в первом периоде,
знал, в дополнение к ценам активов q, и цены благ p в различных состояниях мира, то, в
соответствии с предположением о его предпочтениях, он выбрал бы портфель активов и планы
потребления в различных состояниях мира, которые были бы решением следующей задачи:

Ui (xi ) > max,
xi ,zi

qc zic 0, (8.1)
c?C

pks aksc zic , ?s ? S, xi ? Xi .
pks xiks pks ?iks +
c?C k?K
k?K k?K

Заметим, что при интерпретации доходностей rsc следует учитывать, что в модели Раднера денежные единицы
1-го периода не сопоставимы с денежными единицами 2-го периода. Более того, они не сопоставимы между
разными состояниями мира s 2-го периода.
6
Это предположение не влияет на анализ модели, но несколько упрощает описание модели и соответствую-
щие выкладки.
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 299

Однако в первый период цены p второго периода ему неизвестны. Поэтому, чтобы сформи-
ровать портфель активов в 1-м периоде, потребитель должен сформировать некоторые ожи-
дания pe по поводу цен 2-го периода во всех состояниях мира, поскольку ценность его порт-
i
феля зависит от будущей конъюнктуры. В модели Раднера предполагается, что эти ожидания
оправдываются, т. е. во 2-м периоде на рынках благ обмен фактически происходит по ценам,
которые ожидались в 1-м периоде при формировании портфеля.
Сказанное мотивирует следующее определение равновесия:
Определение 64:
Назовем (? , {? e }i?I , q, x, z) равновесием Раднера экономики с риском, если
???
p pi
1) (? i , zi ) — решение задачи потребителя (8.1) при ценах pe и q .
x? ?i ?
2) Выполнены балансы по активам:

zic = 0, ?c ? C.
?
i?I

3) Ожидания потребителей оправдываются: pe = p .
?i ?
?
4) x — допустимое состояние, т. е.

?iks , ?k ? K, ?s ? S.
xiks =
?
i?I i?I

Поскольку в равновесии ожидания оправдываются, то определение можно упростить, если
p???
считать равновесием Раднера набор (? , q, x, z) и заменить ожидаемые цены на фактические.
В дальнейшем мы всегда будем пользоваться этим сокращенным обозначением.
Таким образом, в модели (равновесии) Раднера мы отказывается от одного очень сильного
предположения модели Эрроу — Дебре — полноты рынков контингентных благ, чтобы заме-
нить его другим (очень ограничительным) предположением, — что потребители способны
предвидеть будущие равновесные цены в любом возможном состоянии мира.
Как будет показано в дальнейшем, если это предположение дополнить предположением
о том, что множество доступных потребителям активов достаточно «богатое» (условие пол-
ноты рынков), то любое равновесие в этой модели будет Парето-оптимальным и любое Па-
рето-оптимальное состояние можно реализовать как такое равновесие. В то же время, подход
Раднера позволяет моделировать и приводящие к фиаско рынка ситуации, возникающие, когда
множество доступных потребителям активов является довольно «бедным», и, следовательно,
Парето-оптимум может быть недостижим.
Для анализа равновесия Раднера можно воспользоваться понятием арбитража: где под
арбитражем понимаются изменения в портфеле активов с целью увеличить его доходность (по
крайней мере, в одном состоянии мира). Всюду в этой главе мы будем использовать термин
«арбитраж» в этом несколько специфическом смысле, принятом в микроэкономике.
Под планом арбитража мы будем понимать вектор ?z = {?zc }c?C , характеризующий из-
менения в портфеле активов типичного потребителя, zi . При таком изменении левая часть
бюджета первого периода (чистые расходы на покупку активов) рассматриваемого потребите-
ля изменится на величину q?z. Очевидно, что если q?z 0 при данном векторе цен активов
q, то такой план арбитража не выводит за границы бюджетного множества 1-го периода. Из-
менение дохода рассматриваемого потребителя в s-м состоянии мира, вызываемое данным
планом арбитража ?z равно

pks aksc ?zc = ps As ?z,
c?C k?K

где As — матрица доходностей активов в состоянии мира s. Такой арбитраж имеет целью
получить во втором периоде по крайней мере в одном состоянии мира прирост дохода потре-
бителя (при том, что в остальных состояниях мира доход не уменьшится).
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 300
Определение 65:
Будем говорить, что в модели Раднера при ценах активов q, ценах благ p и доходностях
активов {aksc } арбитраж невозможен, если не существует такого плана арбитража ?z, что
q?z 0, и для любого состояния мира s ? S выполнено

pks aksc ?zc 0,
c?C k?K

причем хотя бы для одного состояния мира неравенство строгое.

Если цены в модели Раднера таковы, что арбитраж возможен, то такая ситуация не может
быть равновесием. Сформулируем и докажем соответствующую теорему.
Теорема 98:
Пусть в экономике с риском предпочтения потребителей локально ненасыщаемы по
p???
потреблению в каждом из состояний мира, и (? , q, x, z) — равновесие Раднера в этой
??
экономике с некоторой системой активов. Тогда при ценах p, q и данной системе активов
арбитраж невозможен.

Доказательство: Действительно, арбитраж означает, что возможно получить прирост дохода
в одном из состояний мира, что противоречит локальной ненасыщаемости.

Очевидно, что аналогом контингентных благ модели Эрроу — Дебре в модели Раднера
является актив Эрроу, который дает право получить единицу k -го блага, если реализуется
состояние мира s. Формально актив c является активом Эрроу для (k0 , s0 ), если aksc = 1 при
k = k0 , s = s0 , и aksc = 0 при остальных k и s. Для таких активов удобно использовать
обозначение (k, s).
Перед тем, как обратиться к более общему случаю, рассмотрим подробнее частный случай,
когда все активы в экономике являются активами Эрроу. В задаче потребителя бюджетное
ограничение 1-го периода:
qks ziks 0.
(k,s)?C

Баланс активов в 1-м периоде:
ziks = 0, ?(k, s) ? C.
i?I

Бюджетное ограничение 2-го периода:

pks xiks pks ?iks + pks ziks .
k?K k?K (k,s)?C



Таблица 8.2. Пример множества C (из четырех активов Эрроу) в экономике с активами
Эрроу, l = 2, s = 3.
?

s
1 2 3
? ?
1
? ?
k 2

Заметим, что модель Эрроу — Дебре можно рассматривать как частный случай модели
Раднера. Если в экономике есть все возможные активы Эрроу, т. е.

(k, s) k ? K, s ? S ,
C=
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 301

то модель Раднера — фактически другая формулировка модели Эрроу — Дебре.
p?
Действительно, из равновесия Эрроу — Дебре (? , x) легко сконструировать равновесие
p???
Раднера (? , q, x, z). Для этого достаточно взять

pks = pks , qks = pks , xiks = xiks , ziks = xiks ? ?iks .
? ? ? ? ? ? ? ?

Тогда обмены в первом периоде при заключении контрактов исчерпывают все возможные
выгоды обмена, и во второй период обменов не будет, поскольку ?iks = ?iks ? ziks = xiks .
? ? ?
Проверка этого факта предлагается в качестве упражнения.
Для доказательства обратного утверждения — что, если в экономике есть все возможные
активы Эрроу, то на основе равновесия Раднера можно сконструировать равновесие Эрроу —
Дебре — требуется воспользоваться свойствами равновесия Раднера. Если в экономике есть
все возможные активы Эрроу, то в равновесии цены активов Эрроу пропорциональны ценам
контингентных благ. Действительно, предположим, что в равновесии Раднера все цены поло-
жительны, и пусть k1 , k2 — два блага, а s — состояние мира, такие что в равновесии цены
активов Эрроу и цены благ не пропорциональны, например,

pk1 s /?k1 s > pk2 s /?k2 s .
? q ? q

Здесь k1 — относительно более дорогое благо, что позволяет осуществить арбитраж и по-
лучить дополнительный доход в состоянии мира s, включив в портфель несколько большее
количество актива (k1 , s) и несколько меньшее — актива (k2 , s), и не нарушить при этом
бюджетное ограничение.
Таким образом, чтобы арбитраж был невозможен, равновесные цены должны быть такими,
? ? ? ?
что для любого s векторы ps и qs были коллинеарны (пропорциональны), где ps и qs —
? ?
части векторов p и q , соответствующие состоянию мира s.
Докажем это свойство в общем виде, не предполагая положительность цен в равновесии
Раднера, но при этом используя в доказательстве менее интуитивно очевидный план арбитра-
жа, чем только что предложенный.
Теорема 99:
Пусть в экономике с риском предпочтения потребителей локально ненасыщаемы по
p???
потреблению в каждом из состояний мира, и (? , q, x, z) — равновесие Раднера в этой
экономике с C = (k, s) k ? K, s ? S . Тогда для любого состояния мира s ? S можно
? ?
найти коэффициент пропорциональности ?s > 0, такой что ps = ?s qs .

Доказательство: Рассмотрим одно из состояний мира s ? S . Из локальной ненасыщаемости
следует, что ps = 0 и qs = 0, откуда |? s |2 = 0. Рассмотрим следующий план арбитража:
? ? q

?zt = 0, t = s и ?zs = ps ? ?s qs ,
? ?

где
??
ps qs
?s = .
|? s |2
q
? ?

<< Предыдущая

стр. 69
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>