<< Предыдущая

стр. 7
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

y . Следовательно, y ? n?N (x) On .
Далее, каждой точке x ? X сопоставим величину
1
u(x) = .
2n
n?N (x)

В случае, когда N (x) = ?, положим u(x) = 0.
Покажем, что определенная таким образом функция u(·) представляет рассматриваемые
предпочтения.
Пусть x y . Тогда L-- (y) ? L-- (x), откуда N (y) ? N (x) и, следовательно, u(x) u(y).
Пусть теперь u(x) u(y). Предположим, что x y не выполняется, т. е. y x. В этом
случае L-- (x) ? L-- (y), и при этом L-- (x) = L-- (y). Отсюда заключаем, что N (x) ? N (y) и
N (x) = N (y), а значит, по определению u(·), имеем u(x) < u(y). Получили противоречие с
u(x) u(y). Таким образом, доказано, что u(x) u(y) влечет x y . Тем самым, построенная
функция u(·), является функцией полезности для исходных предпочтений.


x2




L+ (x)
i




x1



Рис. 2.3. Построение функции полезности по схеме Радера.

Данный вариант доказательства имеет достаточно ясную графическую интерпретацию (см.
Рис. 2.3). Мы заполняем нижнее лебеговское множество «шариками» с рациональными ради-
усами и центрами, и берем в качестве функции полезности основанный на этих «шариках»
измеритель размера нижнего лебеговского множества.
Еще одно элегантное доказательство теоремы Дебре с выразительной графической интер-
претацией можно построить при довольно естественном предположении о монотонности пред-
почтений.
Достаточно разумно потребовать, чтобы полезность индивидуума возрастала при росте
количества потребляемых благ, т. е. потребитель предпочитал большее количество блага мень-
шему.
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 31
Определение 9:
Предпочтения на X называются монотонными, если ?x, y ? X из x y следует x y.

Определение 10:
Предпочтения называются строго монотонными, если из x y и x = y следует x y.

Докажем ослабленный вариант теоремы Дебре, предполагая строгую монотонность.
Теорема 10:
Для любых непрерывных, строго монотонных предпочтений на X = Rl существует
+
представляющая их непрерывная, строго монотонная функция полезности.

Доказательство: Требуемую функцию полезности найдем, сопоставив каждому x ? Rl такое
+
число u(x), что x ? u(x)1 где 1 — l -мерный вектор, состоящий из единиц. (Рис. 2.4 иллю-
l, l
стрирует идею доказательства.)

x2

x




u(x)1l



x1


Рис. 2.4. Построение функции полезности при предположении монотонности предпочтений

Покажем, что такое число u(x) всегда существует и единственно. Для этого мы должны
найти для каждого набора x эквивалентный ему набор из множества U = { u1 u ? R+ }, кото-
l
рое является лучом, выходящим из начала координат. Сопоставим рассматриваемому набору
x множество чисел, соответствующих не худшим наборам из U :

U + (x) = { u ? R+ u1 x },
l

и множество чисел, соответствующих не лучшим наборам из U :

U ? (x) = { u ? R+ x u1 } .
l

Эти множества не пусты, так как из свойства строгой монотонности следует, что 0 ? U ? (x) и
maxk {xk } ? U + (x).
Множество U + (x) лежит выше U ? (x), поскольку из строгой монотонности следует, что
?u1 ? U ? (x) и ?u2 ? U + (x) выполнено u1 u2 .
Обозначим u+ = inf U + (x) и u? = sup U ? (x). Эти величины конечны, так как множества
U ? (x) и U + (x) ограничены сверху и снизу соответственно. По непрерывности предпочтений
u+ ? U + (x) и u? ? U ? (x). При этом u+ u? . Покажем, что u+ = u? . Пусть это не так.
Тогда существует число u такое, что u? < u < u+ . При этом u ? U ? (x) и u ? U + (x). Это
/ /
невозможно, так как по свойству полноты нестрогого отношения предпочтения мы должны
иметь либо u 1 x, либо u 1 x.
l l
+ = u? удовлетворяет требуемому условию x ? u1 и единственна.
Полученная точка u = u l
Заданная таким образом функция u(x) является функцией полезности. Пусть x1 x2 .
По построению x1 ? u(x1 )1 и x2 ? u(x2 )1 Значит, x1
l l. x2 тогда и только тогда, когда
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 32

u(x1 )1 u(x2 )1 Но по строгой монотонности предпочтений u(x1 )1 u(x2 )1 тогда и только
l l. l l
тогда, когда u(x1 ) u(x2 ).
Функция полезности u(x) является строго монотонной. Пусть x1 x2 и x1 = x2 . Тогда из
строгой монотонности предпочтений x1 x2 . Отсюда следует, что u(x1 )1 u(x2 )1 Поэтому
l l.
u(x1 ) > u(x2 ).
Докажем теперь непрерывность функции полезности u(·). Для этого рассмотрим последо-
вательность допустимых наборов {xn }? такую, что limn>? xn = x. Нам надо показать, что
n=1
limn>? u(xn ) = u(x).
Зафиксируем некоторое число ? > 0. Выберем u и u такие, что для любого вектора y ,
?
такого что y ? x ?, выполнено
u1 y u1
l ? l.
(Например, можно взять u = mink xk ?? и u = maxk xk +?.) При этом для любого допустимого
?
набора y , удовлетворяющего условию y ? x ?, имеем u u(y) u , поскольку по строгой
?
монотонности предпочтений max{u, 0}1 l y u1 и u(a1 = a для всех a
? l, l) 0. Найдется
достаточно большое число N , такое что для последовательности {xn } при n N выполнено
xn ? x ?. При этом u(xn ) начиная с номера N попадает в интервал [u, u].
?
Так как бесконечная последовательность {u(xn )} начиная с номера N находится в преде-
лах компакта [u, u], то она должна иметь точки сгущения. Мы хотим показать, что существует
?
всего одна точка сгущения, и это u(x).
Покажем, что любая сходящаяся подпоследовательность {u(xnk )}? из последовательно-
k=1
сти {u(xn )} сходится к одному и тому же числу u(x). Предположим, что это не так, и данная
подпоследовательность сходится к u? = u(x). Пусть, без потери общности, u? > u(x). Возьмем
некоторое число u , такое что u? > u > u(x). По свойству строгой монотонности имеем, что
? ?
u(x)1 Поскольку {u(xnk )}k=1 сходится к u? , то существует M такое, что при k
?
u1
?l l. M
выполнено u(xnk ) > u . По определению функции полезности xnk ? u(xnk )1 и, кроме того,
? l
по строгой монотонности u(xnk )1 u1 (для всех k M ), т. е. xnk ? u(xnk )1 u1 Так как
l ?l l ? l.
предпочтения непрерывны, то x u1 но x ? u(x)1 поэтому u(x)1 u1 Однако выше было
? l, l, l ? l.
показано, что u1?l u(x)1 Получили противоречие и, тем самым, доказали непрерывность
l.
построенной функции полезности.

Как видно из приведенных выше вариантов теоремы существования функции полезности,
требование непрерывности предпочтений достаточно сильно, так как помимо существования
функции полезности мы получаем еще и дополнительное свойство — ее непрерывность. Но,
с другой стороны, непрерывность функции полезности — это свойство, значение которого
трудно переоценить. Его наличие автоматически25 дает нам существование функции спроса
потребителя в большинстве задач, которые будут нас интересовать.

Замечание: Теоремы 9 и 10 доказывают, что если предпочтения непрерывны, то существует
представляющая их непрерывная функция полезности. Несложно доказать и обратное: если
функция полезности, представляющая предпочтения, непрерывна, то предпочтения являются
непрерывными (см. задачу 40)


2.4.1 Задачи
В следующих нескольких задачах не предполагается, что предпочтения являются нео-
классическими (см. пояснения в тексте параграфа).
 25. Алина Александровна Алексашенко предложила следующее определение функции полез-
ности: «Будем называть u(·) : X > R функцией полезности, соответствующей предпочтениям
25
Здесь, конечно, подразумевается использование теоремы Вейерштрасса.
2.4. Представление предпочтений функцией полезности 33

, , ? , если для всякой пары альтернатив x, y ? X соотношение x y выполнено тогда и
только тогда, когда u(x) > u(y)». Будет ли оно эквивалентно определению, приведенному в
тексте? Ответ аргументируйте.
 26. Пусть допустимое множество альтернатив состоит из 4 альтернатив X = {a, b, c, d}.
= {(a, a), (b, b),
На этом множестве задано следующее нестрогое отношение предпочтения:
(c, c), (d, d), (a, d), (b, d), (d, c), (b, a), (a, c), (b, c)}. Возможно ли построить функцию полезности,
представляющую данные предпочтения? Если нет, то почему? Если да, то постройте ее.

Таблица 2.1.

a b c d
a b c
?
a
?
a
?
b
?
b
? ?
c
?
c
? ?
d

 27. Для каждой из частей Таблицы 2.1 рассмотрите изображенные предпочтения, предпо-
лагая, что = ? ?. Ответьте на вопрос предыдущей задачи.
 28. Пусть X состоит из n-мерных векторов с неотрицательными компонентами, а нестрогое
отношение предпочтения задано следующим образом: x y , если все компоненты вектора
x не меньше соответствующих компонент вектора y . Существует ли функция полезности,
представляющая эти предпочтения?
 29. Рассмотрите предпочтения, заданные на R2 : ++
(a) (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ? (x1 ? x2 )(y1 ? y2 ) 0;
(b) (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ? x1 x2
y2 ;
1
y
(c) (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ? x1 x2 y1 y2 ;
(d) (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ? min{x1 + x2 , y1 + y2 } 0;
(e) (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ? min{x1 , x2 } ? min{y1 , y2 } 0;
(f) (x1 , x2 ) (y1 , y2 ) ? x1 x2 min{y1 , y2 }.
Какие из них представимы функцией полезности? Попытайтесь записать такую функцию по-
лезности в явном виде.
 30. Покажите, что суперпозиция возрастающей функции и функции полезности, представ-
ляющей некоторые предпочтения, также является функцией полезности, представляющей эти
предпочтения. Приведите пример, показывающий, что требование возрастания не может быть
ослаблено до неубывания.
 31. Какие из нижеприведенных функций могут подходят в качестве преобразования, о кото-
ром речь идет в предыдущей задаче, если область значений исходной функции полезности —
R+ ?
v
(a) f (x) = x2 ; (b) f (x) = x3 + x; (c) f (x) = x; (d) f (x) = ex .
 32. Докажите, что если u(·) и u(·) — две функции полезности, представляющие одни и те
?
же предпочтения, то существует возрастающая функция f (·), такая что u(·) является супер-
?
позицией u(·) и f (·).
 33. Для каких из нижеприведенных множеств X можно утверждать, что произвольные нео-
классические предпочтения (не обязательно непрерывные), заданные на множестве X могут
быть представлены некоторой функцией полезности?
(a) X = { x ? Rn | xi — целые числа };
(b) X = { x ? Rn | 0 xi 1 };
(c) X = Rn ;
(d) X = Rn ; +
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 34

(e) X = { x ? Rn | xi — иррациональные числа };
v v
(f) X = { x ? Rn | xi = a 2 + b 3, где a и b — любые рациональные числа }.
 34. Покажите, что если неоклассические предпочтения заданы на конечном множестве
альтернатив, то в этом множестве существует как наименьшая (наихудшая), так и наибольшая
(наилучшая) альтернатива. (Этот факт был использован в доказательстве Теоремы 7.)
 35. В Теореме 7 докажите, рассмотрев все возможные случаи, что построенная функция
является функцией полезности.
 36. Докажите, что если множество кривых безразличия для некоторых неоклассических
предпочтений счетно, то существует функция полезности, представляющая эти предпочтения.
 37. Пусть X = X1 ? X2 , где X1 = {1, 2, . . .}, а X2 — множество всех рациональных чисел
между 0 и 1. Пусть на парах из X введено лексикографическое упорядочение. Докажите,
что существует функция полезности, отвечающая этому упорядочению. Запишите ее явную
формулу.
 38. Борис Бенедиктович Бахвалин на основании полного, транзитивного и непрерывного
нестрогого отношения предпочтения построил следующую функцию полезности:
?

<< Предыдущая

стр. 7
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>