<< Предыдущая

стр. 70
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Для этого плана выполнено q?z = qs ?zs = 0. Поскольку арбитраж невозможен, то отсюда
? ?
следует, что ps ?zs = 0. Действительно, при ps ?zs > 0 этот план арбитража позволяет уве-
?
личить доход любого потребителя в состоянии мира s. Случай ps ?zs < 0 сводится к случаю
?
ps ?zs > 0 изменением знака ?zs на противоположный.
? ?
Но если qs ?zs = 0 и ps ?zs = 0, то

|? s ? ?s qs |2 = (? s ? ?s qs )?zs = ps ?zs ? ?s qs ?zs = 0.
? ? ? ?
p p

? ?
т. е. ps = ?s qs .
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 302

??
Докажем, что ?s > 0. Если это не так и ?s 0, то ps qs 0, и следующий план арбитража:

?
?zt = 0, t = s и ?zs = ps ,

удовлетворяет условиям q?z = qs ?zs 0 и ps ?zs = |? s |2 > 0. Это противоречит невозмож-
? ? ? p
ности арбитража при равновесных ценах.

Заметим, что ключевое предположение модели Раднера — потребители, при расчете цен
активов, предвидят цены всех благ во всех состояниях мира — не является при этом суще-
ственным, так как структура наблюдаемых ими в первом периоде цен активов совпадает со
структурой цен благ второго периода. Данное предположение становится существенным в ситу-
ациях, когда какие-то активы Эрроу отсутствуют. Заметим также, что в этой ситуации, даже в
том случае, когда равновесие Эрроу — Дебре единственно, существует бесконечно много равно-
весий Раднера с нетривиальными обменами во втором периоде в дополнение к рассмотренному
выше равновесию, когда обмены во втором периоде отсутствуют.
Используя только что доказанное свойство равновесия Раднера с полным набором активов
Эрроу, продемонстрируем, что на основе такого равновесия можно сконструировать равнове-
сие Эрроу — Дебре.
Теорема 100:
Пусть в экономике с риском предпочтения потребителей локально ненасыщаемы по
p???
потреблению в каждом из состояний мира, и (? , q, x, z) — равновесие Раднера в этой
экономике с C = (k, s) k ? K, s ? S . Тогда (? , x) — равновесие Эрроу — Дебре.
q?

Доказательство: Из предыдущей теоремы следует, что (? , q, x, z) — тоже равновесие Раднера в
q???
рассматриваемой экономике. Складывая все бюджетные ограничения задачи i-го потребителя,
убеждаемся, что это при этом получится бюджетное ограничение задачи i-го потребителя в
модели Эрроу — Дебре. Следовательно, эти две задачи эквивалентны7 . Т. е. xi — решение
?
?
задачи потребителя в модели Эрроу — Дебре при ценах q . Несложно проверить, что остальные
условия равновесия Эрроу — Дебре также выполнены.

Основное условие, гарантирующее эквивалентность моделей Эрроу — Дебре и Раднера, —
наличие возможности переносить покупательную способность из одного состояния мира в
другое. При этом вовсе не обязательно требовать, чтобы имелись все активы Эрроу. Для того,
чтобы эта возможность существовала, достаточно, в частности, чтобы имелись все активы
Эрроу, выраженные в 1-м благе, и только они (благо 1 — счетная единица, numeraire):

(1, s) s ? S .
C=

Проанализируем равновесие Раднера с таким набором активов. При анализе удобно использо-
вать следующие обозначения: q1s = qs , zi1s = zis .
Заметим, что арбитраж в этой экономике возможен тогда и только тогда, когда qs и p1s
имеют разные знаки или же qs = 0 хотя бы для одного состояния мира s. Мы будем далее
предполагать, что 1-е благо нужно всем потребителям во всех состояниях мира, т. е. функции
полезности строго возрастают по потреблению 1-го блага в каждом состоянии мира. Тогда в
равновесии Раднера p1s > 0 ?s ? S . При этом арбитраж возможет тогда и только тогда, когда
qs 0 хотя бы для одного состояния мира s. Соответствующий план арбитража построить до-
статочно просто — он должен сводится к покупке актива Эрроу, соответствующего состоянию
s. Невозможность арбитража эквивалентна условию q > 0.
7
Мы пропустили здесь часть рассуждений (строгое доказательство эквивалентности), но их легко восстано-
вить, пользуясь как образцом доказательствами теорем, приведенных далее в этом параграфе.
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 303

Торговля в первом периоде в подобной экономике фактически означает, что продаются или
покупаются начальные запасы 1-го блага таким образом, чтобы во 2-м ‘периоде, торгуя скор-
ректированными запасами, получить доход, достаточный для покрытия расходов, связанных
?
с приобретением равновесного потребительского набора x , соответствующему равновесию Эр-
роу — Дебре. То есть торговля в первом периоде представляет собой «перераспределение поку-
пательной способности» потребителя между состояниями мира с избыточной и недостаточной
покупательной способностью.
Доказательства следующих двух теорем, проводящих параллели между равновесием Рад-
нера и равновесием Эрроу — Дебре, демонстрируют правильность такой интерпретации равно-
весия Раднера при C = (1, s) s ? S .
Теорема 101:
Пусть в экономике с риском функции полезности строго возрастают по потреблению 1-го
p?
блага в каждом состоянии мира, и (? , x) — равновесие Эрроу — Дебре в этой экономике.
?
Тогда существует портфель активов Эрроу z , выраженных в 1-м благе, а также цены
активов q такие, что (? , q, x, z) — равновесие Раднера с C = (1, s) s ? S .
? p???
Доказательство: Возрастание функции полезности по первому благу гарантирует положитель-
ность цен этого блага в равновесии Эрроу — Дебре в каждом состоянии мира ( p1s > 0 ?s ? S ).
?
? ?
Дефицит, связанный с потреблением в состоянии мира xis потребительского набора xis , в
ценах p составляет величину dis = ps (? is ? ?is ). Тогда величину дефицита dis потребитель
? ?x
i может покрыть, выбирая величину zis равной dis /?1s . Такой выбор zis гарантирует, что
? p ?
выполнены бюджетные ограничения второго периода задачи потребителя i в модели Раднера:
?? ?
ps xis = ps ?is + p1s zis ,
??
Заметим, что выполняется соотношение s?S dis = 0 (бюджетное ограничение потребителя i
в модели Эрроу — Дебре в равновесных ценах). Если выбрать в качестве цены актива (1, s)
цену первого блага в состоянии мира s, т. е. qs = p1s , то соотношение s?S dis = 0 гарантирует
? ?
выполнение бюджетного ограничения первого периода задачи потребителя i в модели Раднера.
x? ? ?
Таким образом, (? i , zi ) — допустимое решение в задаче (8.1) при ценах p и q . Покажем,
что оно также является оптимальным решением. Предположим, что есть другое допустимое
x?
решение задачи (8.1), (? i , zi ), которое дает i-му потребителю более высокую полезность. Так
x?
как (? i , zi ) допустимо, то
p1s zis
?? 0,
s?S
?? ?
ps xis ps ?is + p1s zis .
??
Сложив, получим
?? ?
ps xis ps ?is ,
s?S s?S
?
что означает, что xi — допустимое решение задачи ( ), которое более предпочтительно для
?
потребителя, чем xi . Противоречие.
Проверим, что ?s ? S выполнены балансы активов:
ps (? is ? ?is )
?x ?
dis p
=s (? is ? ?is ) = 0.
zis =
? = x
p1s
? p1s
? p1s
?
i?I i?I i?I i?I

Последнее равенство следует из балансов благ.
??
Для обратного утверждения нельзя в общем случае взять p = p , поскольку в равновесии
?
Раднера цены ps в каждом состоянии мира s можно умножить на произвольный положи-
тельный множитель, и при этом рассматриваемое состояние останется равновесием. Таким
? ?
образом, требуется взять ps = ?s ps , где ?s — некоторый положительный множитель.
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 304
Теорема 102:
Пусть в экономике с риском функции полезности строго возрастают по потреблению
p???
1-го блага в каждом состоянии мира, и (? , q, x, z) — равновесие Раднера в этой экономике
с C = (1, s) s ? S . Тогда существует вектор цен p , такой что (? , x) — равновесие
? p?
Эрроу — Дебре.

Доказательство: Возрастание функции полезности по первому благу гарантирует положитель-
ность цен этого блага в равновесии Раднера в каждом состоянии мира. Кроме того, для каж-
дого потребителя i выполнены (как равенства) бюджетные ограничения 1-го и 2-го периодов:
qs zis = 0,
??
s?S
?? ?
ps xis = ps ?is + p1s zis .
?
?
Выберем ps следующим образом,
qs
?
? ?
ps = p.
p1s s
?
Тогда
?? ?
ps xis = ps ?is + qs zis .
?
Складывая эти соотношения для всех состояний мира с бюджетным ограничением 1-го пери-
?
ода, убеждаемся, что при ценах p выполняется бюджетное ограничение в модели Эрроу —
Дебре:
?? ?
ps xis = ps ?is .
s?S s?S
?
Таким образом, xi — допустимое решение задачи потребителя ( ). Покажем, что оно является
оптимальным.
?
Пусть это не так, и xi — другое допустимое решение задачи ( ), с более высоким значением
?
полезности. Так как xi допустимо, то
?? ?
ps xi ps ?is .
s?S s?S

? x?
Тогда можно подобрать портфель активов, zi , такой что (? i , zi ) — допустимое решение зада-
чи потребителя (8.1) в модели Раднера при ценах p и q. Для этого, как и в доказательстве
предыдущей теоремы, можно выбрать zis так, чтобы покрыть бюджетный дефицит в соответ-
?
ствующем состоянии мира, dis = ps (? is ? ?is ), т. е. zis = dis /?1s . При этом
?x ? p
qs
?
p (? is ? ?is ) = ps (? is ? ?is )
?x ?x
qs zis =
?? 0,
p1s s
?
s?S s?S s?S

т. е. выполнено бюджетное ограничение 1-го периода. Бюджетное ограничение 2-го периода
выполнено в силу определения zis . Получили противоречие.
?
Пример 40:
Рассмотрим модель Раднера с двумя состояниями мира, s = R, S , двумя благами, k = A, B
двумя потребителями и возможными активами Эрроу, отмеченными в таблице. Они выражены
в благе A.
Ожидания потребителей по поводу вероятностей состояний мира совпадают и равны µR =
µS = 1/2.
Предпочтения потребителей также одинаковы и элементарные функции полезности равны:
ui (xA , xB ) = ln(xA ) + ln(xB ), i = 1, 2.
Начальные запасы указаны в нижеследующей таблице.
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 305

s=R s=S
? ?
k=A
k=B


?1 ?2 ??
AB AB AB
s=R 2, 0 0, 2 2, 2
s=S 2, 2 0, 0 2, 2

С точки зрения начальных запасов в этом примере нет системного риска.
Задача потребителя i = 1, 2 равновесия Раднера этой экономики имеет следующий вид:

1 1
ln(xiAR ) + ln(xiBR ) + ln(xiAS ) + ln(xiBS ) > max
Ui =
2 2 xi ,zi

qR ziR + qS ziS 0,
pAR xiAR + pBR xiBR pAR ?iAR + pBR ?iBR + pAR ziR ,
pAS xiAS + pBS xiBS pAS ?iAS + pBS ?iBS + pAS ziS .

Найдем равновесие Раднера в этом примере, пользуясь его взаимосвязью с равновесием
Эрроу — Дебре. Поскольку нет системного риска, то в равновесии потребление обоих потреби-
телей не зависит от состояния мира:

xiAR = xiAS , xiBR = xiBS .

Отношение цен одного и того же блага в двух состояниях, должно быть равно отношению
вероятностей:
pAR µA 0,5 pBR

<< Предыдущая

стр. 70
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>