<< Предыдущая

стр. 71
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

= = =1= .
pAS µB 0,5 pBS
Можно проверить, что в равновесии Эрроу — Дебре

x1AR = x1AS = x1BR = x1BS = 3/2.

x2AR = x2AS = x2BR = x2BS = 1/2.

pAR = pAS = pBR = pBS (можно выбрать =1).
Положим qR = pAR = 1, qS = pAS = 1. Для того, чтобы получить равновесие Раднера, нужно
еще вычислить zis :
13
d1R = pR (xiR ? ?iR ) = ? + = 1.
22
d1R 1
z1R = = = 1.
pAR 1
Аналогично d1S = ?1.
?1
d1S
= ?1.
z1S = =
pAS 1
Для второго потребителя характеристика его портфеля активов определяется из баланса ак-
тивов:
z2R = ?1, z2S = 1.
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 306

?S
?
?S


?
xS
?
xR
3/2 3/2



s=R s=S

?
?R
?R
3/2 3 3/2
1



Рис. 8.5. Иллюстрация к Примеру 40


Рассмотрим теперь модель Раднера, в которой активы не обязательно являются актива-
ми Эрроу. Для упрощения анализа будем предполагать, что все активы выражены только в
первом благе. Поскольку доходности по остальным благам при этом равны нулю, то соответ-
ствующие коэффициенты можно не рассматривать. При этом будем использовать следующие
обозначения: as = {asc }c — вектор, составленный из доходностей всех активов в состоянии
мира s, A = {as }s — матрица, составленная из доходностей всех активов во всех состояниях
мира.
Хотя в такой экономике могут быть довольно сложные активы, но они фактически сводятся
к набору элементарных активов (активов Эрроу). Соответственно, цену любого (сколь угодно
сложного) актива можно вычислить через цены активов Эрроу, даже если таких активов в
экономике нет. Для доказательства этого факта мы опять воспользуемся тем, что в равновесии
Раднера арбитраж невозможен.
Рассмотрим, что означает в такой экономике невозможность арбитража. Переформули-
руя определение, арбитраж невозможен, если не существует такого плана арбитража ?z, что
q?z 0, и для любого состояния мира s ? S выполнено p1s as ?z 0, причем хотя бы для од-
ного состояния мира неравенство строгое. Если p1s > 0 в любом состоянии мира, то последнее
неравенство эквивалентно as ?z 0. Такая переформулировка означает невозможность со-
ставить допустимый план арбитража (не требующий увеличения чистых расходов на покупку
активов), такой что он приводит к приросту доступного потребителю количества 1-го блага по
крайней мере в одном состоянии мира и не уменьшает эту величину в других состояниях мира.
Формально возможность арбитража при ценах активов q записывается следующим образом:

??z : q?z 0 и A?z = 0.

Цены активов q, при который такого плана арбитража ?z не существует, называют безарбит-
ражными.
Для доказательства того факта, что цены активов можно разложить по ценам активов Эр-
роу, требуется также дополнительное предположение о том, что матрица доходностей активов
обладает следующим свойством:

??z : A?z = 0. (0)

Это свойство означает, что арбитраж в принципе возможен, если не учитывать бюджетное
ограничение 1-го периода: можно подобрать план арбитража такой, что любом состоянии ми-
ра as ?z 0 и хотя бы для одного состояния неравенство строгое. Из определения безарбит-
ражности следует, что если цены активов безарбитражные (например, это равновесные цены
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 307

активов), то подобный план арбитража должен потребовать увеличения чистых расходов на
приобретение активов: q?z > 0.
Предположение (0) нужно для того, чтобы первый период можно было рассматривать по
аналогии с состояниями мира s второго периода. Дело в том, что в рассматриваемой нами мо-
дели в 1-м периоде потребление отсутствует и излишек денег в 1-м периоде без предположения
(0) не означает, что потребитель выбрал неоптимальный портфель. Если цены активов безар-
битражные и выполнено (0), то потребитель может передать покупательную способность из
первого периода во второй, поэтому излишек денег в 1-м периоде несовместим с безарбитраж-
ностью.
Таким образом, мы можем расширить множество состояний, включив в него 1-й период
с индексом 0, т. е. рассматривать S ? = {0, 1, . . . , s}, и модифицировать соответствующим
?
образом определение безарбитражности цен активов. Введем обозначение

?q
W= .
A

В столбцах матрицы W содержится информация о том, что приносит актив в каждом из
состояний: единица актива c дает ?qc в состоянии 0 и asc в остальных состояниях.
В этих обозначениях цены активов q являются безарбитражными, если не существует
плана арбитража ?z, такого что W?z = 0, т. е. такого, что он дает дополнительный доход
в одном из состояний 0, 1, . . . , s , не уменьшая доход в других состояниях. Перейдем теперь к
?
доказательству теоремы, связывающей цены активов q и соответствующие им «цены активов
Эрроу», которые мы обозначим через ? .
Теорема 103:
(i) Пусть A — матрица доходностей активов, удовлетворяющая предположению (0), а
q — безарбитражные цены активов. Тогда существует вектор ? > 0, такой что q = ?A.
(ii) Пусть цены активов можно представить в виде q = ?A, где ? > 0. Тогда цены
активов q являются арбитражными.

Доказательство: (i) Как было показано выше, при выполнении (0) безарбитражность q экви-
валентна отсутствию плана арбитража ?z, такого что W?z = 0. Рассмотрим следующее
множество:
T = ? ? Rs+1 ? = W?z, ?z ? Rc .
? ?


Элемент ? = W?z этого множества интерпретируется как вектор, составленные из чистых
приростов дохода ?s , полученных в каждом из состояний 0, 1, . . . , s за счет использования
?
плана арбитража ?z. Безарбитражность q означает отсутствие в T векторов ? , таких что
? = 0, поэтому предположение о безарбитражности можно записать в виде

T ? (Rs+1 \{0}) = ?.
?
+

Вместо Rs+1 \{0} (положительного ортанта с «выколотым» нулем) достаточно рассмотреть
?
+
симплекс ? ?
? ?
Rs+1
?
??
?= ?s = 1 .
+
s?S ?
? ?

Предположение о безарбитражности принимает вид

T ? ? = ?.

Множества T и ? выпуклы, непусты, ? компактно, а T замкнуто. По теореме отделимости
Минковского для компактных множеств существует вектор коэффициентов ? ? Rs+1 , и числа
?
?
b1 и b2 , b1 < b2 , такие что ?? b1 при ? ? T и ?? b2 при ? ? ?.
? ?
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 308

Покажем, что ? > 0. Пусть это не так и ? s 0 для некоторого состояния s. Пусть es —
? ?
орт, соответствующий состоянию s. Поскольку es ? ?, то ? s = ?es
? ? b2 , т. е. b2 0, и,
следовательно, b1 < 0. Таким образом, должно быть ?? < 0 при ? ? T. Но 0 ? T и позволяет
?
здесь получить 0. Пришли к противоречию.
?
Покажем теперь, что ?W = 0. Если бы это было не так, то мы могли для любого наперед
заданного числа подобрать ? ? T (поскольку все ? ? T имеют вид W?z, то это делается за
?
счет подбора ?z) так, чтобы ?? было больше этого числа. Но тогда бы мы могли превысить
b1 , что невозможно.
На основе вектора ? построим искомый вектор ? : ?s = ?s /?0 , s ? S . Очевидно, что ?
? ??
обладает требуемыми свойствами: ? > 0 и q = ?A.
Здесь достаточно рассматривать такие планы арбитража ?z
Предположим, что не существует вектора ? 0, такого что q = ?A. Это означает, что
выпуклое непустое замкнутое множество

v v = ?A, ? ? Rs
?
V= ,
+

не содержит вектор q. Простроим на основе этого «прибыльный» план арбитража, и придем
к противоречию с предположением о том, что арбитраж невозможен.
c, ?v ? V .
По теореме отделимости существует вектор ?z , такой что q?z < c и v?z
Поскольку V — конус, то константу c можно выбрать так, чтобы разделяющая гиперплос-
кость проходила через вершину конуса, т. е. c можно положить равной нулю. При этом урав-
нение v?z = 0 задает опорную гиперплоскость к конусу V , проходящую через его вершину.
Поскольку as ? V , то as ?z 0 ?s, т. е. A?z 0.
Вектор ?z не обязательно дает требуемый план арбитража, поскольку не исключается слу-
чай A?z = 0, когда в любом состоянии мира план арбитража ?z не приводит к изменению
дохода. Но может оказаться возможным несколько скорректировать ?z и получить выгод-
ный план арбитража. Возьмем произвольный план арбитража ?z , такой что A?z = 0.
(Должно выполняться q?z > 0, то есть этот план потребует увеличения чистых расходов на
приобретение активов, иначе мы сразу получим, что арбитраж возможен.) На основе ?z и
?z можно построить комбинированный план ?z = ?z +??z , где ? — достаточно малое по-
ложительное число, такой что q?z 0 и A?z = 0. Таким образом, получили противоречие
с невозможностью арбитража, и доказали, что требуемый вектор ? 0 существует.
Ясно, что ? = 0, поскольку ? = 0 возможно только при q = ?A = 0, что противоречит
невозможности арбитража при ценах q.
(ii) Пусть q = ?A, где ? > 0, и пусть ?z — план арбитража, такой что A?z = 0. Тогда
q?z = ?A?z > 0. Таким образом, одновременное выполнение условий q?z 0 и A?z = 0
невозможно.

Требуемое для доказательства условие (0) верно при многих достаточно естественных
предположениях на матрицу A. В частности, достаточно, чтобы матрица A имела ранг, рав-
ный количеству состояний мира, другими словами, чтобы векторы as были линейно независи-
мы. Другой случай, когда можно легко построить ?z — когда хотя бы один из активов не
приносит отрицательного дохода ни в одном состоянии мира, а по крайней мере в одном прино-
сит положительный доход (например, актив Эрроу). Тогда соответствующий план арбитража
может заключаться в том, чтобы приобрести единицу такого актива (все компоненты вектора
?z равны нулю, кроме компоненты, соответствующей данному активу, которая равна едини-
це). В дальнейшем мы, как правило, будем предполагать, что матрица доходностей активов
обладает свойством (0).
Поскольку при равновесных ценах q арбитраж невозможен, то из доказанной теоремы сле-
дует, что можно представить равновесные цены активов в виде q = ?A. Отдельный элемент
вектора ? , ?s , можно интерпретировать как цену актива Эрроу (1, s).
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 309

Если матрица A имеет ранг, равный количеству состояний мира s , то такой вектор ?
?
определяется однозначно. Можно выбрать s активов с линейно независимыми векторами до-
?
? ?
ходностей и сформировать из них матрицу A, при этом ? = qA?1 . В противном случае
удовлетворяющих этому соотношению векторов ? может быть бесконечно много. Например,
если в экономике есть только активы Эрроу, выраженные в 1-м благе, но не для всех состояний
мира, то цены активов Эрроу для отсутствующих активов (1, s) можно выбрать произвольным
образом.
Для каждой матрицы доходностей активов A можно задать подпространство активов, как
подпространство, натянутое на векторы, соответствующие доходностям активов в разных со-
стояниях мира:
?(A) = w w = Az, z ? Rc .
?


Вектор z здесь можно интерпретировать как портфель активов (поскольку речь идет об объ-
ективной характеристике системы активов, то индекс потребителя не пишется), а отдельный
элемент вектора w , ws , — как доход от этого портфеля в состоянии мира ws (выраженный
в количестве 1-го блага). Таким образом ?(A) — это множество тех доходов, которые можно
получить при некотором выборе портфеля z.
Для равновесий Раднера существенным является именно это подпространство активов, а
не матрица A, по которой оно строится. Покажем это, доказав, что если ?(A) = ?(A ), то из
равновесия Раднера с матрицей доходностей активов A можно сконструировать равновесие
Раднера с матрицей доходностей активов A . В доказательстве мы воспользуемся полученным
выше представлением вектора цен активов в виде q = ?A.
Теорема 104:
Пусть в экономике Эрроу функции полезности строго возрастают по потреблению 1-го
блага в каждом состоянии мира, и (p, q, x, z) — равновесие Раднера в этой экономике,
где все активы выражены в 1-м благе, и A — матрица их доходностей, удовлетворяющая
предположению (0). Тогда если A — другая матрица доходностей, такая что ?(A) =
?(A ), то существует портфель активов z и цены активов q такие, что (p, q , x, z ) —
равновесие Раднера с матрицей доходностей A .

Доказательство: Поскольку цены q соответствуют равновесию Раднера, и предпочтения ло-
кально ненасыщаемы, то при этих ценах невозможен арбитраж. Предположение (0) гаранти-
рует при этом, что существует вектор ? = {?s }s , такой что q = ?A.
В качестве цен активов q в конструируемом равновесии возьмем ?A .
Построим теперь z . Поскольку Azi ? ?(A) и ?(A) = ?(A ), то Azi ? ?(A ). Другими
словами, для любого zi существует вектор zi , такой что A zi = Azi . Для каждого набора zi ,

<< Предыдущая

стр. 71
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>