<< Предыдущая

стр. 72
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

i = 1, . . . , m ? 1 возьмем такой zi . Кроме того, выберем zm так, чтобы выполнялся баланс
активов:
m?1
zm = ? zi .
i=1

Поскольку i?I zi = 0, то A zm = Azm .
Покажем теперь, что (p, q , x, z ) — равновесие Раднера с матрицей доходностей A . На-
бор (xi , zi ) допустим в задаче i-го потребителя при ценах p, q и матрице доходностей A ,
поскольку
q zi = ?A zi = ?Azi = qzi 0.
и
p? i ? p1s as zi = p? i ? p1s as zi .
pxi
??
Покажем, что (xi , zi ) является оптимальным решением. Пусть это не так, и ( xi , zi ) — другое
допустимое решение задачи i-го потребителя при ценах p, q и матрице доходностей A , с более
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 310

высоким значением полезности. Тогда, следуя рассмотренной выше схеме, можно подобрать
? x?
портфель активов, zi , такой что (? i , zi ) — допустимое решение задачи потребителя при ценах
?
p и q и матрице доходностей A. Поскольку xi дает потребителю более высокую полезность,
чем xi , то это противоречит оптимальности (xi , zi ) при ценах p и q и матрице доходностей
A.

Замечание: Таким образом, каждому равновесию Раднера в экономике с множеством акти-
вов с матрицей доходностей A соответствует равновесие Раднера в экономике с множеством
активов с матрицей доходностей A с теми же планами потребления и ценами благ. Верно и
обратное, если матрица A удовлетворяет предположению (0).

Если матрица доходностей A имеет ранг, равный количеству состояний мира s (т. е., если
?
структура доступных активов является достаточно «богатой»), то

?(A) = ?(I),

где I — единичная матрица размерности s ? s . Матрица доходностей I соответствует слу-
??
чаю, когда C = (1, s) s ? S , то есть когда все активы в экономике являются активами
Эрроу, выраженными в 1-м благе. Поэтому при выполнении этого условия — полного ранга
матрицы A — верны аналоги доказанных ранее для случая A = I теорем об эквивалентности
равновесий Эрроу — Дебре и Раднера.
Теорема 105:
Предположим, что в экономике с риском функции полезности строго возрастают по
потреблению 1-го блага в каждом состоянии мира. Кроме того, будем предполагать, что все
доступные потребителям в равновесиях Раднера активы выражены в 1-м благе, и матрица
их доходностей A имеет ранг, равный количеству состояний мира.
p?
(i) Пусть (? , x) — равновесие Эрроу — Дебре в этой экономике. Тогда существует порт-
? ??
фель активов z и цены активов q такие, что (? , q, x, z) — равновесие Раднера.
p
??
(ii) Наоборот, пусть (p, q, x, z) — равновесие Раднера в этой экономике. Тогда суще-
? p?
ствует вектор цен p , такой что (? , x) — равновесие Эрроу — Дебре.

Доказательство: Данное утверждение является следствием Теорем 101, 102 и 104.
На основании равновесия Эрроу — Дебре можно сконструировать равновесие Раднера с
матрицей доходностей активов I, а на основании последнего — равновесие Раднера с матрицей
доходностей активов A. Наоборот, на основании равновесия Раднера с матрицей доходностей
активов A можно сконструировать равновесие Раднера с матрицей доходностей активов I, а
на основании последнего — равновесие Эрроу — Дебре.

Пользуясь свойствами равновесия Эрроу — Дебре, получим важное следствие из данной
теоремы: если матрица активов в модели Раднера имеет полный ранг, то каждое равновесие в
такой модели Парето-оптимально. С другой стороны, если матрица активов неполного ранга,
то возникает проблема неполноты рынков, и в общем случае равновесие Раднера неоптималь-
но.
Приведем пример такой экономики. Пусть существует 2 физических блага (A и B ), 2 со-
стояния мира (R и S ) и 2 потребителя-рискофоба (1 и 2). Начальные запасы в состоянии
мира R целиком принадлежат потребителю 1, а начальные запасы в состоянии мира S це-
ликом принадлежат потребителю 2, причем системный риск отсутствует (? 1R = ? 2S > 0
и ? 1S = ? 2R = 0). Предположим, что в экономике активы отсутствуют (частный случай
неполноты ранга матрицы активов).
Потребление в равновесии Раднера в каждом состоянии мира будет совпадать с начальны-
ми запасами, поскольку потребителям нечем обмениваться. В то же время, как мы знаем, в
8.4. Равновесие Раднера в экономике с риском 311

Парето-оптимуме (и в равновесии Эрроу — Дебре) у каждого потребителя потребление во всех
состояниях мира должно быть одинаковым (не должно быть индивидуального риска). Таким
образом, равновесие Раднера не будет в этой экономике оптимальным.
Если в данной экономике есть только один актив Эрроу, то выводы не поменяются, по-
скольку с помощью него нельзя обменивать риски.
Более того, равновесие Раднера может оказаться неоптимальным даже когда отсутствует
индивидуальный риск в исходном состоянии (у каждого потребителя начальные запасы не за-
висят от состояния мира). Такой случай может иметь место, если в (одинаковых) элементарных
экономиках, соответствующих разным состояниям мира, существует более, чем одно равнове-
сие Вальраса. Тогда будут существовать равновесия Раднера8 , такие что в одних состояний
мира потребление соответствует одному из равновесий Вальраса элементарной экономики, а в
других — другому равновесию Вальраса. Но такие равновесия не будут Парето-оптимальными
по указанной выше причине.

8.4.1 Задачи
 427. Рассмотрим экономику с двумя потребителями (i = 1, 2), двумя состояниями мира
(Sun, Rain) и двумя (физическими) благами (Apples, Bananas) запасы которых в состо-
янии мира S у 1-го потребителя — ? 1S = (0, 0), у 2-го потребителя — ? 2S = (3, 6), а в
состоянии мира R у 1-го потребителя — ? 1R = (5, 1), у 2-го потребителя — ? 2R = (1, 2).
Предположим, что предпочтения потребителей описываются функциями полезности Нейма-
на — Моргенштерна с элементарными функциями полезности

u1 = ?1/x1a ? 1/x1b , u2 = x2a + 4x2b

Предположим, что вероятность состояния мира S равна 2/3, а вероятность состояния мира
R — 2/3.
(1) Покажите формально, что состояние x1S = (2, 1), x1R = (2, 1), x2S = (1, 5), x2R = (4, 2),
pa = (1, 2), pb = (4, 8) является равновесием Эрроу — Дебре.
(2) Как на основе равновесия Эрроу — Дебре сконструировать равновесие Раднера?
 428. Рассмотрим экономику с двумя потребителями (i = 1, 2), двумя состояниями мира
(Good, Bad) и двумя (физическими) благами (Apples, Cucumbers) запасы которых в состоя-
нии мира G у 1-го потребителя — ? 1G = (4, 4), у 2-го потребителя — ? 2G = (2, 2), а в состо-
янии мира B — ? 1B = (1, 1) и ? 2B = (5, 5) соответственно. Предположим, что предпочтения
потребителей описываются функцией полезности Неймана — Моргенштерна с элементарной
функцией полезности вида
ui = ln xia + ln xic .
Предположим, что вероятность состояния мира G равна 2/3, а вероятность состояния B —
2/3.
(1) Покажите формально, что состояние x1 = (3, 3, 3, 3), x2 = (3, 3, 3, 3), pG = (2, 2),
pB = (1, 1), является равновесием Эрроу — Дебре.
(2) Как на основе равновесия Эрроу — Дебре сконструировать равновесие Раднера?
 429. Рассмотрим экономику с двумя потребителями (i = 1, 2), двумя состояниями мира
(Sun, Rain) и двумя (физическими) благами (Apples, Bananas) запасы которых в состоя-
нии мира S у 1-го потребителя — ? 1S = (3, 3/2), у 2-го потребителя — ? 2S = (3, 3/2), а в
состоянии мира R у 1-го потребителя — ? 1R = (3, 3/2), у 2-го потребителя — ? 2R = (3, 3/2).
Предположим, что предпочтения потребителей описываются функциями полезности Нейма-
на — Моргенштерна с элементарными функциями полезности
8
Такие равновесия получили название равновесий солнечных пятен (англ. sunspot equilibrium). См. статью
D. Cass and K. Shell: Do Sunspots Matter?, Journal of Political Economy 91 (1983): 193–227.
8.5. Задачи к главе 312

ui = ln xia + ln xib
Предположим, что субъективная вероятность состояния мира S для 1-го потребителя рав-
на 2/3, а вероятность состояния мира R — 2/3. Субъективная вероятность состояния мира
S для 2-го потребителя равна 2/3, а вероятность состояния мира R — 2/3.
(1) Покажите формально, что состояние x1S = (2, 1), x1R = (4, 2), x2S = (4, 2), x2R = (2, 1),
pa = (1, 1), pb = (2, 2) является равновесием Эрроу — Дебре.
(2) Как на основе равновесия Эрроу — Дебре сконструировать равновесие Раднера?
 430. Рассмотрите модель Раднера с двумя состояниями мира (R и S ), с двумя благами (A
и B ) и системой активов, состоящей из всех возможных активов Эрроу. Пусть цены активов
равны (qaR , qaS , qbR , qbS ) = (1, 2, 3, 4), а цены благ равны (2, 6) в состоянии R и (1, 3) состоянии
S . Возможен ли при таких ценах арбитраж? Если возможен, то предложите план арбитража.
Если невозможен, то объясните почему.
 431. Рассмотрите модель Раднера с двумя состояниями мира (R и S ), с двумя благами (A и
B ) и системой активов, состоящей из двух активов Эрроу, выраженных в благе A. Пусть цены
активов равны (qaR , qaS ) = (1, 4). Возможен ли при таких ценах арбитраж? Если возможен,
то предложите план арбитража. Если невозможен, то объясните почему.
 432. Рассмотрите модель Раднера с двумя состояниями мира (R и S ), с двумя благами (A
и B ) и системой активов, состоящей из двух активов, выраженных в благе A. Один актив
дает 1 в состоянии R и 1 в состоянии S , а другой — 0 в состоянии R и 1 в состоянии S .
Выгоден ли план арбитража ?z = (1, ?1)? Предложите цены активов, при которых этот план
арбитража не приводит к увеличению чистых расходов на покупку активов.
 433. Рассмотрите модель Раднера с двумя состояниями мира (R и S ), с двумя благами (A
и B ) и системой активов, состоящей из двух активов, выраженных в благе A. Один актив
дает 1 в состоянии R и 1 в состоянии S , а другой — 0 в состоянии R и 1 в состоянии
S . Пусть цены этих активов равны 4 и 1 соответственно. Найдите соответствующие «цены
активов Эрроу» ?R и ?S . Что можно сказать по этим ценам о возможности арбитража?
 434. Покажите, что равновесию Раднера могут соответствовать планы потребления, кото-
рые являются недопустимыми в задачах потребителя в модели Эрроу — Дебре при любых
равновесных ценах.



8.5 Задачи к главе

 435. Известно, что потребитель в экономике с риском с полной системой рынков имеет стро-
го вогнутую элементарную функцию полезности, зависящую от одного (физического) блага
и заданную на неотрицательных количествах потребления. Что можно сказать об объемах
потребления в разных состояниях мира, если цены блага в разных состояниях мира пропор-
циональны вероятностям? Рассмотрите либо общий случай, либо (для упрощения) дифферен-
цируемую функцию полезности и 2 состояния мира.
 436. Рассмотрите модель Эрроу — Дебре (с условно-случайными благами) в которой есть
единственное физическое благо. Пусть количество состояний природы равно количеству по-
требителей, причем каждому потребителю соответствует одно состояние природы, в котором
он владеет всем начальным запасом. Пусть, кроме того, начальные запасы не зависят от со-
стояний природы и оценки вероятностей состояний природы у потребителей совпадают. Пред-
положив, что элементарные функции полезности потребителей, ui (·), строго вогнутые и воз-
растающие, покажите, что. . .
1) в Парето-оптимальных состояниях потребление не зависит от состояния природы;
2) равновесия Эрроу — Дебре и Раднера единственны. Охарактеризуйте эти равновесия.
8.5. Задачи к главе 313

 437. Рассмотрите следующую ситуацию (близкую по духу концепции справедливости Джо-
на Роулза). Два индивидуума в первый период должны выбрать, как они будут жить во втором
периоде. Во втором периоде каждый из них может быть либо бедным, либо богатым в зависи-
мости от состояния мира. В состоянии мира 1 богатым будет 1-й индивидуум, а в состоянии
мира 2 — 2-й. В первом периоде они не знают, кто кем будет («покров неведения»), и мо-
гут заключать между собой соглашения относительно перераспределения богатства во втором
периоде. Дайте интерпретацию этой ситуации с точки зрения модели Эрроу — Дебре (или Рад-
нера). При каких предположениях можно ожидать исхода, характеризующегося социальным
равенством?
 438. Вчера Анатолий вложил в банк Чара $100 из своих сбережений в $1000, ожидая по-
лучить через день +30% с вероятностью 0,8 или потерять вложение с вероятностью 0,2.
Аналогично, Борис вложил в компанию МММ $100 из своих сбережений в $1000 ожидая
получить через день +30% с вероятностью 0,8 или потерять вложение с вероятностью 0,2.
Предпочтения обоих представляются функцией полезности Неймана — Моргенштерна.
(1) Сделайте, если можно, (или укажите, что нельзя) по этим данным выводы . . .
- о склонности участников к риску. . .
- о совпадении их субъективных оценок вероятностей (оба актива доступны обоим). . .
- о статистической (не)зависимости выигрыша Чары и МММ.
(2) Предположим, что на следующий день А и Б обменялись информацией и имеют уже
одинаковые субъективные вероятности выигрыша Чары = 0,5 и МММ = 0,5, считая их жест-
ко отрицательно коррелированными, и могут заключать друг с другом любые условные кон-
тракты. Можно ли утверждать, что ненулевой обмен акций Чары на МММ произойдет, или
нужны дополнительные предположения на функции ua (·), ub (·)? Можно ли предсказать, что
50 акций Чары обменяют на 50 акций МММ, или для этого нужны дополнительные предпо-
ложения на функции ua (·), ub (·)? Можно ли предсказать Парето-эффективность результата
обмена?
(3) Как изменятся Ваши ответы на указанные вопросы, если считать акции жестко поло-
жительно коррелированными?
(4) Та же ситуация, что в пункте (2), но возможные контракты ограничены двумя типами:
или за $1 сегодня и 1 акцию МММ две акции Чары, или за $1 сегодня и m акций Чары две
акции МММ. Записать задачу Анатолия в форме модели Раднера. Гарантирован ли Парето-
эффективный результат торговли?
sssssssssssssssssssssssssssss
Глава




9
Налоги

Как будет показано в главе об экстерналиях, один из логически возможных способов кор-
рекции работы рыночного механизма в ситуации с экстерналиями — различного рода налоги.
Налоги используются также и для финансирования общественных благ в том случае, когда
такие блага предоставляет государство. Однако, за исключением идеализированных ситуаций,
такие способы коррекции фиаско рынка также приводят в неэффективному распределению
ресурсов.
В этой главе мы проиллюстрируем тот факт, что фактически при любой системе неаккорд-
ных налогов рыночное равновесие, как правило, не является Парето-эффективным, так как
ведет к искажению структуры рыночных цен.
Одна из целей этой главы (помимо того, что здесь вводятся понятия, используемые в
последующих главах) — выявить и сопоставить характер подобных неэффективностей для
различных типов налогов.


9.1 Общее равновесие с налогами, не зависящими от
деятельности
В предыдущей главе мы, фактически, уже рассмотрели равновесие с аккордными налога-
ми1 ,которые в том контексте называли трансфертами (точнее, аккордные трансферты —
это аккордные налоги со знаком минус). Поскольку в нашем случае это налог на потребителя,
то его можно назвать подушным налогом2 . Используя термин «аккордный» мы хотим под-
черкнуть, что экономический субъект не может повлиять на величину налога (трансферта),
считает ее фиксированной. Анализ равновесия с аккордными трансфертами позволил сделать
вывод о его эффективности: при локальной ненасыщаемости равновесие с аккордными налога-
ми является Парето-оптимальным.
Таким образом, аккордные налоги являются в некотором смысле идеальными. Почему
же они не используются? Одна из причин состоит в том, что характеристики экономических
субъектов, значения которых обуславливают величину налога, являются ненаблюдаемыми ве-
личинами, приватной информацией самих субъектов, не заинтересованных, вообще говоря, в
обнародовании этой информации. Еще одна причина — существующие представления эконо-
мических субъектов о свойствах «хорошей», «справедливой» налоговой системы — считается,
что богатые и платежеспособные должны платить больше). Но величина платежеспособно-
сти (в дополнению к тому, что является ненаблюдаемой), зависит от усилий экономических
субъектов, и поэтому требование социальной справедливости несовместимо со свойством пау-
шальных налогов — отсутствием влияния на усилия экономических субъектов.
Например, аккордными в модели обмена являются налоги на начальные запасы, которые
можно интерпретировать как налоги на ресурсы, выплачиваемые из ренты, порождаемой эти-
ми ресурсами. Однако, не все типы начальных запасов достаточно хорошо измеримы с точки
зрения их возможности приносить доход. Скажем, способность человека осуществлять ту или
1
Аккордный налог также называют паушальным. Соответствующий английский термин — lump-sum tax.
2
Англ. poll tax.


314

<< Предыдущая

стр. 72
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>