<< Предыдущая

стр. 76
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

быть нулевые. (Этим мы попутно доказали, что перераспределение между рынками с помощью
налогов, т. е. субсидирование одних рынков за счет других, неэффективно.)
В первом приближении при R близком к нулю мы можем записать

tk ? ?xk (?vk (xk ) + ck (xk )),

кроме того, дифференцируя условия равновесия, получаем

dtk = dxk (?vk (xk ) + ck (xk )),

При малых налогах (dtk ? tk ) из этого следует, что
dxk
? ?.
xk
Таким образом, в первом приближении оптимальные налоги снижают объемы потребления (и
производства) всех благ в равной пропорции.
Кроме того, малые оптимальные налоги (налоги при R близком к нулю) можно выразить
через эластичности спроса и предложения в равновесии без налогов:

tk 1 1
?? +S .
pL |?D | ?k
k k

Таким образом, правило оптимального налогообложения Рамсея заключается в том, что отно-
сительные ставки налогов должны быть (в первом приближении) пропорциональны сумме
обратных эластичностей спроса и предложения на соответствующих рынках:
tk 1 1
? D + S.
pL |?k | ?k
k

Существенным ограничением данного правила является то, что предполагается независи-
мость рынков (формально — сепарабельность). Если отказаться от этого предположения, то
в формуле появятся перекрестные эластичности.
Другое существенное предположение изложенной модели — квазилинейность предпочте-
ний. Различные правила налогообложения Рамсея получаются в рамках модели общего равно-
весия и при других упрощающих предположениях. В следующем параграфе мы рассмотрим
одну из таких моделей.

9.4.1 Задачи
 444. Рассмотрите экономику обмена с двумя видами благ (x и y ) и двумя потребителями
(1 и 2), где каждый потребитель имеет функцию полезности ui = ln(xi ) + ln(yi ) и началь-
ные запасы ? i = (?ix , ?iy ). Государство собирает адвалорный налог на продажу благ. Цель
государства состоит в том, чтобы на собранные средства приобрести по рыночным ценам бла-
го x в количестве x0 и благо y в количестве y0 . Предполагаем, что с собственных закупок
государство налог не взимает.
(А) Всегда ли государство может добиться своей цели?
(В) Может ли случиться так, что равновесие с налогами будет Парето-оптимальным (Па-
рето-оптимальным с учетом того, что государство должно получить x0 и y0 благ x и y )?
 445. Рассмотрим экономику обмена с двумя потребителями и двумя благами (A и B). Функ-
ции полезности потребителей: u1 = 2 ln a1 + b1 u2 = ln a2 + b2 , где ai — потребление блага A, а
9.4. Оптимум второго ранга. Налог Рамсея 329

bi — потребление блага B i-м потребителем. Начальные запасы благ: ? 1 = (2, 3), ? 2 = (3, 2).
Вводится натуральный налог на потребление блага A, так что i-й потребитель потребляет
после уплаты налога ai (1 ? ?i ) блага A, где ?i — ставка налога. Соответственно. государство
собирает в форме налога a1 ?1 + a2 ?2 блага A.
(А) Найти равновесие, которое возникнет после введения налога (ai , bi и отношение цен
pA /pB ).
(В) Найти Парето-оптимум, учитывая, что заданное количество (a0 ) блага A должно уйти
государству. При каком распределении налога равновесие будет Парето-оптимальным?
 446. В квазилинейной экономике есть 2 потребителя с функциями полезности
v v
u1 = x1 + z1 , u2 = x2 + z2

и предприятие с функцией издержек c(y) = 2y .
(A) Вводится адвалорный налог на потребление 1-го блага со ставкой ? . Найдите конку-
рентное равновесие в экономике (p, x1 , x2 , y) как функцию величины ? .
(B) Пользуясь результатами пункта (A), найдите чистые потери благосостояния от налога
при ставке ? = 1 (т. е. 100%).
 447. В экономике производится один предмет потребления, y , спрос на который образуется
в результате максимизации следующей функции полезности репрезентативного потребителя:
v
u(y, x) = 2 y + 1 + x, где x — потребление свободного времени. Потребитель владеет еди-
ничным запасом времени, который он распределяет между рабочим временем L и свободным
временем x. Рабочее время предлагается единственной фирме, которая производит y по тех-
нологии y = ln(2L) + 3. Вычислите чистые потери от введения 50%-го налога на продажу
предмета потребления (продажная цена производителя равна половине цены, которую платит
покупатель). Заработную плату примите за 1.
 448. Рассмотрите модель оптимального налогообложения Рамсея в ситуации двух незави-
симых рынков. На первом рынке спрос равен D = 10 ? p, а предложение равно S = 1 + p. На
втором рынке спрос равен D = 10 ? p/2, а предложение равно S = 1 + p/2.
(А) Запишите условия первого порядка для оптимальных налогов (не исключая множитель
Лагранжа)
(В) Во сколько раз отличается налог на одном рынке от налога на другом.
 449. В ситуации частного конкурентного равновесия государству требуется собрать налоги
общей величины R с n независимых рынков. Оно использует налог с единицы товара со
ставкой ti (i = 1, . . . , n). Функции спроса и предложения линейны: Si = ai + bi p и Di =
ci ?di p. Задача состоит в том, чтобы распределить налоги по рынкам так, чтобы общие потери
благосостояния были минимальными.
Как ставка налога на данном рынке зависит от наклона кривых спроса и предложения?
(Подсказка: не следует исключать из соответствующих условий первого порядка множитель
Лагранжа.)
 450. Задача Рамсея выбора ставок налогов состоит в том, чтобы при сохранении величины
налоговых сборов. . .
а) минимизировать чистые потери,
б) минимизировать потери потребителя,
в) максимизировать объем продаж,
в) максимизировать прибыль.
Ее решение предписывает установить большие ставки налогов в тех отраслях (допишите)
...............
 451. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Пусть эластичность спроса в
точке равновесия |?| = 3, предельные издержки у всех производителей постоянны и одинаковы
и правительство устанавливает налог в размере $6 с единицы товара. Если спрос — линейная
9.5. Оптимальное налогообложение «малых» потребителей 330

функция, то насколько поднимется цена? А в случае спроса с постоянной эластичностью |?| =
3?
 452. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Спрос имеет вид D = 8 ? p,
предложение имеет вид S = 3 + p. На этом рынке вводится налог на потребление в размере
50% цены. Найдите чистые потери благосостояния от введения налога.
 453. Рассмотрите квазилинейную сепарабельную экономику. Спрос имеет вид D = 8 ? p,
предложение бесконечно эластично. На этом рынке вводится налог в размере 2 ед. на единицу
товара. Найдите потери потребителей от введения налога, если до введения налога объем
торговли на рынке был равен 4 ед.


9.5 Правило оптимального налогообложения для «малых»
потребителей
Пусть в экономике имеется большое число потребителей, предпочтения которых задаются
строго вогнутыми, достаточно «гладкими» функциями полезности ui (xi ). Предположим, что
последнее (l -е) благо — это время потребителя, так что xil — это досуг потребителя, а ?i ?
xil — предложение труда, где ?i — запас времени потребителя. Допустимые потребительские
наборы задаются ограничениями xik 0, ?k и xil ?i .
Потребители могут получать доход от продажи труда, а также из прибылей принадле-
жащих им фирм и от государства в виде трансфертов. Не специфицируя остальную часть
экономики (производство, поведение государства), охарактеризуем внутреннее равновесие с
индивидуальными налогами ti на покупку благ потребителями, являющееся оптимумом вто-
рого ранга. Пусть при данной системе налогов t = {ti } равновесные цены равны p(t).
Будем предполагать, что каждый потребитель мал в том смысле, что влиянием величины
его индивидуальных налогов ti на равновесные цены p(t) можно пренебречь. Это предпо-
ложение позволяет вывести условия оптимальности налогов t на основе анализа отдельного
потребителя при фиксированных рыночных ценах p и фиксированной величине суммы нало-
гов, выплачиваемой этим потребителем14 .
Напомним, что в модели с налогами на покупку благ бюджетное ограничение потребителя
i имеет вид (если есть доходы от фирм, то они добавляются к Si )
(pk + tik )[xik ? ?ik ]+ + pk [xik ? ?ik ]? Si ,
k?K

Предположим, что потребитель продает труд (l -е благо). Поскольку все блага, кроме l -го, по-
купаются на рынке, то они облагаются налогами. Труд, соответственно, не облагается налогом.
Бюджетное ограничение в данном случае записывается в виде
l?1 l
(pk + tik )xik + pl xil = (pk + tik )xik pl ? i + S i .
k=1 k=1
т. е. оно имеет такой же вид, как и с налогами на потребление, с тем исключением, что ставка
налога на досуг равна нулю (til = 0). В дальнейшем мы абстрагируемся от того, что рассматри-
вается налог на покупки, и будем действовать так, как если бы это был налог на потребление.
14
Эта модель впервые была проанализирована Полом Самуэльсоном в 1951 г. в его докладе Министерству
финансов США (перепечатан в P. A. Samuelson: Theory of Optimal Taxation, Journal of Public Economics 30
(1986): 137–143). В литературе по оптимальному налогообложению полученные Самуэльсоном результаты при-
нято называть «правилом Рамсея». При изложении модели обычно делается предположение, что все потреби-
тели одинаковы, хотя, как очевидно из нашего анализа, важна только неизменность цен. Анализ Самуэльсона
был распространен на случай экономики с производством и меняющимися ценами в статье P. A. Diamond and
J. A. Mirrlees: Optimal Taxation and Public Production. I: Production Efficiency, and II: Tax Rules, American
Economic Review 61 (1971): 8–27, 261–278.
9.5. Оптимальное налогообложение «малых» потребителей 331

Прежде, чем анализировать этот случай, рассмотрим гипотетическую ситуацию, в которой
можно устанавливать налоги на потребление всех благ, включая досуг.
Рассмотрим задачу максимизации полезности потребителя при дополнительных ограниче-
ниях, что потребительский набор представляет собой спрос потребителя при данных ставках
?
налогов (xi = xi (ti )), и что требуется собрать фиксированную сумму налогов Ri (она равна
фактически собираемому в равновесии налоговому доходу). Если налоги оптимальны, то они
являются решением указанной задачи. В противном случае на основе решения данной зада-
чи можно построить Парето-улучшение для экономики в целом (в смысле оптимума второго
ранга).
Выпишем эту задачу формально, опуская для упрощения записи индекс потребителя:
u(? (t)) > max
x (1)
t
t? (t)
x R,
?
где x(t) является решением задачи потребителя при ценах p и налогах t:
u(x) > max
x
(p + t)x ? = pl ? + S.
? ?
Функция x(t) связана с обычной функцией потребительского спроса соотношением x(t) =
x(p + t, ?).
Условия первого порядка для внутреннего решения задачи потребителя имеют вид
?u(? (t))
x
= ?(pk + tk )
?xk
или, в векторных обозначениях,
u(? (t)) = ?(p + t),
x
где ? — множитель Лагранжа бюджетного ограничения.
?
В равновесии бюджетное ограничение выполняется как равенство, т. е. x(t) удовлетворяет
тождеству
l
(p + t)? (t) =
x (ps + ts )?s (t) = ?.
x
s=1
?
Дифференцируя это тождество по tk (здесь мы предполагаем, что функция x(t) дифферен-
цируема), получим
l
? xs (t)
?
= ?xk (t).
(ps + ts )
?tk
s=1
Подставляя условия первого порядка, получим соотношение, которое характеризует изменение
полезности потребителя при малом изменении ставки налога на k -е благо:
l
?u ? xs
?
= ?? xk .
?
?xk ?tk
s=1

Используя полученные соотношения, охарактеризуем теперь решение задачи (1), и, тем
самым, оптимальные ставки налогов. Функция Лагранжа для задачи (1) имеет вид
L = u(? (t)) + ?(t? (t) ? R).
x x
Условия первого порядка для решения:
? ?
l l
?L ?u ? xs
? ? xs
?
= + ?? ts + xk ? = 0.
?
?tk ?xk ?tk ?tk
s=1 s=1
9.5. Оптимальное налогообложение «малых» потребителей 332

Подставляя полученные выше характеристики решения задачи потребителя, преобразуем эти
условия к виду:
l l
?u ? xs
? ? xs
?
=? ps .
?xk ?tk ?tk
s=1 s=1

Запишем эти соотношения в матричном виде:

? ?
x(t) u = ? x(t)p,

где x(t) — матрица частных производных {? xs /?tk }. Если это невырожденная матрица, то
? ?
можно записать условия оптимальности налогов как

u = ?p.

Поскольку
u = ?(p + t),
то
?p = ?(p + t)
или
???
t= p.
?
Таким образом, оптимальные налоги на потребление должны быть униформными. Этот вы-
вод совпадает с полученным выше в посвященном таким налогам параграфе.
Пусть теперь tl = 0. Ясно, что с этим ограничением (при «гладкой» функции полезно-
сти) налоги не могут быть оптимальными, поскольку не являются униформными. Этот факт

<< Предыдущая

стр. 76
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>