<< Предыдущая

стр. 79
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

 462. Месторождение нефти расположено под участками, принадлежащими двум различ-
ным нефтяным компаниям. Объем добычи компании (yi ) зависит от интенсивности добычи,
которую она выбирает (xi ), составляя xi /(1 + x1 + x2 ) долю от общих запасов нефти в ме-
сторождении (1000 баррелей). Рыночная цена нефти — 15 песо за баррель, издержки на
добычу одного барреля равны (3 + xi ) песо. Каков будет результат «эгоистичной погони за
прибылью»? Покажите, что месторождение будет эксплуатироваться слишком интенсивно.
 463. («Теорема о плохом колхозе») Пусть доход y? артели («колхоза») есть простая сумма
результатов yi 0, создаваемых усилиями отдельных участников i = 1, . . . , n. Доход распре-
деляется поровну. Функция полезности ui (ri , yi ) каждого участника возрастает по его доходу
ri = y? /n, и убывает по его усилиям yi . Показать, что если хотя бы один участник в равно-
весии Нэша осуществляет усилия (?i : yi > 0), то оно не Парето-оптимально. Предложите
Парето-улучшение.
 464. [MWG] Группа состоит из m студентов. Каждый i-й студент учится по hi часов в неде-
лю. Эти усилия уменьшают его уровень полезности на величину h2 /2. В то же время это дает
i
?
студенту добавку к стипендии, так что его полезность увеличивается на величину ?(hi /h),
?
где h — среднее количество часов, которое посвящают учебе студенты данной группы, а
?(·) — дифференцируемая строго возрастающая вогнутая функция. Найдите характеристи-
ку внутреннего равновесия (по Нэшу). Сравните с оптимальным по Парето исходом. Дайте
интерпретацию.
 465. Каждый год n рыбаков ловят в озере рыбу. Ситуация начинается в году t = 1 и про-
должается бесконечно. Количество рыбы на начало t-го года составляет yt . За год i-й рыбак
вылавливает xit /( n xit + 1) долю от общего количества рыбы yt , где xit — его издержки
i=1
на лов рыбы в году t. Цена на рыбу постоянна и равна p. Каждый рыбак максимизирует
дисконтированную прибыль
?
?it ? t?1 , 0 < ? < 1.
?i =
t=1

В начале года количество рыбы в два раза больше оставшегося к концу предыдущего года.
(1) Пусть каждый рыбак выбирает постоянную стратегию xi = xit . Покажите, что вылов
рыбы будет больше оптимального.
(2) Как зависит выбор xi и динамика рыбных запасов от цены на рыбу и дисконтирующего
множителя ? ?
(3) Предположим, что рыбаки остаются на озере только по одному году, и каждый год
приезжают новые n рыбаков. Как это повлияет на ситуацию?



10.3 Свойства экономики с экстерналиями. Теорема о
неэффективности
Не представляет труда переформулировать для экономики с экстерналиями понятие Па-
рето-эффективности. По аналогии с классической моделью доказывается утверждение, харак-
теризующее Парето-оптимальные состояния экономики с экстерналиями: допустимое состоя-
x?
ние (? , y) является Парето-оптимумом тогда и только тогда, когда оно является решением
10.3. Свойства экономики с экстерналиями 342

следующих m задач (i0 = 1, . . . , m):

ui0 (x, y) > max
(x,y)

ui (x, y) ui = ui (? , y) ?i ? I, i = i0 ,
x?
?
xi ? Xi ?i ? I,
gj (y, x) 0 ?j ? J,
(xik ? ?ik ) = yjk ?k ? K.
i?I j?J

На основе этого свойства Парето-оптимального состояния можно получить его дифферен-
циальную характеристику. Лагранжиан этой задачи для некоторого i0 имеет вид:

yjk ? (xik ? ?ik ))
L= ?i ui (x, y) + µj gj (y, x) + ?k (
i?I j?J j?J i?I
k?K

Условия первого порядка для внутренних решений имеют вид:

x? y?
?L ?us (? , y) ?gj (? , x)
? ?k = 0 ?i, k,
= ?s + µj (10.1)
?xik ?xik ?xik
s?I j?J
x? y?
?L ?ui (? , y) ?gs (? , x)
+ ?k = 0 ?j, k.
= ?i + µs (10.2)
?yjk ?yjk ?yjk
i?I s?J

Здесь и в дальнейшем мы будем предполагать, что существует благо k0 , обладающее сле-
дующими свойствами:

- благо k0 не порождает внешние влияния, т. е.
k0 ? Ei ?i ? I и k0 ? Ej ?j ? J,
/ /
- в рассматриваемом состоянии экономики (O)
?ui ?gj
> 0 ?i ? I < 0 ?j ? J.
и
?xik0 ?yjk0

Такое благо может играть роль естественной единицы счета для экономики6 .
Если в рассматриваемом оптимуме Парето существует подобное благо, то, как можно прове-
рить, выполнены условия регулярности теоремы Куна — Таккера, и можно считать, что ?i0 = 1
(для всех i0 = 1, . . . , m). Это позволяет исключить из полученных соотношений множители
Лагранжа и представить дифференциальную характеристику в терминах предельных норм
замещения.
Из условий первого порядка для блага k0 получим
? k0
?i ? I,
?i =
x?
?ui (? , y)/?xik0
? k0
µj = ? ?j ? J.
y?
?gj (? , x)/?yjk0
Кроме того, для потребителя i0 соотношение ?L/?xi0 k0 = 0 можно записать в виде

x?
?ui0 (? , y)
= ? k0 .
?xi0 k0
6
Естественно интерпретировать это благо как время потребителей, которое они могут использовать как
рабочее время и как досуг.
10.3. Свойства экономики с экстерналиями 343

Следовательно, ?k0 > 0. (Таким образом, множители Лагранжа ?i и µj все положительны.)
Произведя подстановку, получим следующую дифференциальную характеристику Парето-гра-
ницы в экономике с экстерналиями:

?ui /?xik ?us /?xik ?gj /?xik ?k
?
+ = , (10.3)
?ui /?xik0 s=i ?us /?xsk0 j?J ?gj /?yjk0 ? k0
?gj /?yjk ?ui /?yjk ?gs /?yjk ?k
? + = . (10.4)
?gj /?yjk0 i?I ?ui /?xik0 s=j ?gs /?ysk0 ? k0

Из (10.3) в частности, для каждой пары потребителей, i1 и i2 , и любого блага k выполнено

?ui /?xi1 k ?gj /?xi1 k ?ui /?xi2 k ?gj /?xi2 k
? ?
= . (10.5)
?ui /?xik0 j?J ?gj /?yjk0 ?ui /?xik0 j?J ?gj /?yjk0
i?I i?I

Аналогичное соотношение справедливо для любой пары экономических субъектов, потребите-
лей или производителей.
Сравним полученную дифференциальную характеристику Парето-оптимальных состояний
для экономики с экстерналиями с дифференциальной характеристикой рыночного равновесия

p??
(? , x, y)

в этой экономике (в предположении, что такое равновесие существует). Как и выше, будем
предполагать, что существует благо k0 , такое что выполнены условия (O).
Здесь мы делаем обычное для моделей с экстерналиями предположение, что экономиче-
ские субъекты считают экстерналии, которые на них влияют, фиксированными (экзогенными,
величина которых не зависит от их решений). Таким образом, экономический субъект макси-
мизирует свою целевую функцию только по «своим» переменным.
Так, i-й потребитель максимизирует полезность по своему потребительскому набору xi .
Задача потребителя имеет вид:

ui (xi , x?i , y) > max
xi
pxi ?i ,
xi ? Xi .

А j -й производитель максимизирует прибыль, выбирая объем производства yj , т. е. решает
следующую задачу:

pyj > max
yj

gj (yj , y?j , x) 0.

Как несложно показать, цена блага k0 во внутреннем равновесии положительна. Диффе-
ренциальная характеристика рыночного равновесия имеет привычный вид:

x?
?ui (? , y)/?xik pk
?
, ?i ? I,
=
x?
?ui (? , y)/?xik0 pk0
?

x?
?gj (? , y)/?yjk pk
?
, ?j ? J,
=
x?
?gj (? , y)/?yjk0 pk 0
?
где k — произвольное благо.
10.3. Свойства экономики с экстерналиями 344

Отсюда следует, что для любой пары потребителей, i1 и i2 , выполнено

?ui1 /?xi1 k ?ui2 /?xi2 k
= . (10.6)
?ui1 /?xi1 k0 ?ui2 /?xi2 k0

Сравнивая дифференциальные характеристики равновесия и Парето оптимума, мы видим,
что левая часть соотношения (10.6) является одним из слагаемых левой части соотношения
(10.5). То же самое можно сказать про правые части. Из общих соображений трудно ожидать,
что одно из этих соотношений влечет за собой другое. Вполне может оказаться, что эти две
дифференциальные характеристики несовместны. Несовместность дифференциальных харак-
теристик означала бы, что справедливо утверждение, противоположное по смыслу теоремам
благосостояния, то есть аналоги теорем благосостояния для такой экономики были бы невер-
ны.
С другой стороны, сложно выявить достаточно общие условия, которые гарантировали
бы, что дифференциальные характеристики рыночного равновесия и Парето-оптимума несов-
местны в экономике с экстерналиями. Это связано с тем, что деятельность любого экономиче-
ского субъекта в общем случае может влиять на любого другого экономического субъекта, и
структура взаимосвязей в экономике с экстерналиями может быть слишком сложной, чтобы
позволить делать однозначные выводы. По-видимому, нельзя обойтись без того, чтобы предпо-
ложить некоторого рода «регулярное» поведение производных по экстерналиям. Следующая
теорема использует один из возможных наборов таких предположений (несомненно, эти пред-
положения можно было бы ослабить).
Теорема 108:
Пусть (x, y) — допустимое состояние экономики с экстерналиями такое, что xi ?
int Xi ?i, функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть,
кроме того,
• существует благо k0 , для которого выполнены условия (O);
• все экстерналии, связанные с объемом производства производителем j ? блага k ?
(yj ? k? ), неотрицательные в том смысле, что

?ui (x, y)
0, ?i,
?yj ? k?

?gj (x, y)
0, ?j = j ? ,
?yj ? k?
причем хотя бы одно неравенство строгое;
• потребление хотя бы одним потребителем i0 блага k ? (xi0 k? ) не порождает внешние
влияния, т. е. k ? ? Ei0 .
/
Тогда следующие два утверждения не могут быть верными одновременно:
1) Существуют цены p и распределение собственности, такие что (p, x, y) — рыночное
равновесие этой экономики.
2) Состояние (x, y) — Парето-оптимум этой экономики.

Доказательство: Пусть рассматриваемое состояние является Парето-оптимальным. Тогда для
k = k ? и j = j ? выполняется соотношение (10.4). Поскольку мы предположили, что экстерна-
лии, связанные с yj ? k? , положительные, и, кроме того, производные, связанные с благом k0 ,
?ui /?xik0 и ?gj /?yjk0 положительны и отрицательны соответственно, то сумма «экстерналь-
ных слагаемых» в левой части уравнения (10.4) больше нуля. Это означает, что

?gj ? (y, x)/?yj ? k? ?k ?
< .
?gj ? (y, x)/?yj ? k0 ? k0
10.3. Свойства экономики с экстерналиями 345

Кроме того, для k = k ? и i = i0 в уравнении (10.3) по предположению нет слагаемых,
связанных с экстерналиями, т. е. его можно записать в виде
?ui0 (x, y)/?xi0 k? ?k ?
=
?ui0 (x, y)/?xi0 k0 ? k0
Окончательно получаем
?gj ? (y, x)/?yj ? k? ?ui0 (x, y)/?xi0 k?
< .
?gj ? (y, x)/?yj ? k0 ?ui0 (x, y)/?xi0 k0
С другой стороны, если бы рассматриваемое состояние было равновесием, то в нем то же самое
соотношение должно было бы выполняться как равенство:
?gj ? (y, x)/?yj ? k? ?ui0 (x, y)/?xi0 k?

<< Предыдущая

стр. 79
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>