<< Предыдущая

стр. 8
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?x2 x , если x1 + x2 1,
12
u(x1 , x2 ) =
?x2 x2 + 15, иначе.
1


Покажите, что эта функция не является непрерывной. Нет ли здесь противоречия с непрерыв-
ностью предпочтений? Возможно ли на основании этих же предпочтений построить непрерыв-
ную функцию? Если да, то постройте ее, если нет, то поясните, почему построение невозможно.
 39. Продемонстрируйте, что лексикографические предпочтения на R2 не являются непре-
+
рывными, построив конкретные последовательности наборов {xn }, {yn }, которые бы проти-
воречили Определению 8.
 40. Покажите, что если функция полезности u(x) непрерывна, то предпочтения, породив-
шие эту функцию полезности, также являются непрерывными.
 41. Закончите доказательство Теоремы 8, показав, что для построенных окрестностей Vx
и Vy , справедливо, что для любых x ? Vx ? X и y ? Vy ? X выполнено x y.
 42. Пусть на выпуклом множестве X заданы непрерывные предпочтения, и пусть для на-
боров x, y ? X выполнено x y . Докажите, что найдется набор z ? X , такой что x z y .
 43. Покажите, что функция полезности монотонна тогда и только тогда, когда монотонны
представляемые ею предпочтения.


2.5 Свойства предпочтений и функции полезности
В предыдущем параграфе мы уже дали определение ряда важных свойств предпочтений,
а именно, непрерывности, монотонности и строгой монотонности26 . При анализе конкретных
микроэкономических задач часто возникает необходимость делать дополнительные предполо-
жения о предпочтениях или о функциях полезности. В данном параграфе мы обсудим наи-
более часто используемые предположения о свойствах предпочтений и покажем их связь с
соответствующими свойствами функции полезности, которая представляет эти предпочтения.
Иногда, в ситуациях, когда предположение о строгой монотонности предпочтений выгля-
дит ограничительным, предполагается выполнение более слабого свойства — локальной нена-
сыщаемости. Выполнение этого свойства во многих случаях оказывается достаточным для
26
Можно также ввести свойство, промежуточное между монотонностью и строгой монотонностью. См. опре-
деление полустрогой монотонности в сноске к Теореме 66 в гл. 5.
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 35

доказательства тех свойств выбора, которые следуют из строгой монотонности предпочтений.

Определение 11:
Предпочтения называются локально ненасыщаемыми, если для любого допустимого набора
x ? X в любой его окрестности найдется другой допустимый набор x ? X , такой что x x.
? ?

Отметим, что выполнение свойства локальной ненасыщаемости запрещает два типа пред-
почтений:

• предпочтений c точкой насыщения, т. е. с потребительским набором, который является
наилучшим выбором потребителя среди всех ближайших наборов (см. Рис. 2.5);

x2
точка
насыщения




x1


Рис. 2.5. Предпочтения с точкой (глобального) насыщения


• предпочтений с «толстой» кривой безразличия, когда существует окрестность некоторого
набора, в которой все наборы эквивалентны для потребителя (см. Рис. 2.6).


x2




x1


Рис. 2.6. «Толстая» кривая безразличия

Связь между понятиями строгой монотонности и локальной ненасыщаемости, в принципе,
очевидна. Если предпочтения являются строго монотонными, то они локально ненасыщаемы.
Обратное, вообще говоря, неверно.
Рис. 2.7 показывает разницу между понятиями строгой монотонности и локальной нена-
сыщаемости. Для заданной окрестности набора x заштрихованная область на первой части
рисунка показывает ту зону, в которой могут находиться лучшие наборы при выполнении
свойства локальной ненасыщаемости. Аналогично, заштрихованная область на второй части
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 36

x2 x2



x x


x1 x1
Для локальной ненасыщаемости Для строгой монотонности


Рис. 2.7. Сравнение строгой монотонности и локальной ненасыщаемости


рисунка показывает зону, где находятся лучшие наборы для предпочтений, обладающих свой-
ством строгой монотонности.
Следующая группа свойств предпочтений, которую мы рассмотрим, важна для демонстра-
ции «хороших» свойств функции выбора/спроса и доказательства существования равновесия.
Здесь и далее мы будем предполагать, что множество X выпукло.
Определение 12:
Предпочтения называются выпуклыми, если ?x, y ? X : x yи0 ? 1 выполнено
?x + (1 ? ?)y y .
Предпочтения называются строго выпуклыми, если ?x, y ? X : x y , x = y и 0 < ? < 1
выполнено ?x + (1 ? ?)y y .


x2
x
L+ (x)


x
x


x1


Рис. 2.8. Выпуклые предпочтения

Как несложно понять, выпуклость предпочтений эквивалентна выпуклости верхнего лебе-
говского множества L+ (x) любого набора x. На Рис. 2.8 как x , так и x лежат в L+ (x). Из
выпуклости предпочтений следует, что весь отрезок между x и x лежит в L+ (x).
Остановимся теперь на различии понятий строгой выпуклости от «просто» выпуклости. Яс-
но, что строго выпуклые предпочтения являются выпуклыми. Грубо говоря, различие между
этими понятиями состоит в том, что при выполнении свойства строгой выпуклости запрещена
ситуация, когда граница верхнего лебеговского множества (или, что тоже самое, кривая без-
различия) имеет «линейные» части. На Рис. 2.9 изображен пример выпуклых, но не строго
выпуклых предпочтений.
С понятием выпуклости предпочтений в случае, когда они представимы функцией полезно-
сти, тесно связаны свойства вогнутости и квазивогнутости функции полезности. Оказывается,
что для квазивогнутой функции полезности справедлив следующий результат.
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 37

x2




x1


Рис. 2.9. Пример выпуклых, но не строго выпуклых предпочтений

Теорема 11:
Функция полезности квазивогнута тогда и только тогда, когда представляемые ею пред-
почтения выпуклы.

Доказательство: Доказательство этого факта несложно и оставляется читателю в качестве
упражнения.

Любая вогнутая функция является квазивогнутой. Таким образом, если функция полез-
ности вогнута, то представляемые ею предпочтения выпуклы. Обратное, вообще говоря, не
всегда верно.
Вогнутые (и выпуклые) функции играют особую роль в микроэкономике, поскольку вогну-
тость во многих ситуациях обеспечивает выполнение важных соотношений27 . Поэтому бывает
важно знать не только то, что функция квазивогнута, но и что она вогнута.
Рассмотрим вопрос о том, как по конкретной функции полезности определить, является ли
она квазивогнутой (а соответствующие предпочтения выпуклыми), и является ли она вогну-
той. Заметим, что проверять вогнутость функции, как правило, проще, чем квазивогнутость.
При этом можно использовать следующие свойства вогнутых и квазивогнутых функций (см.
Приложение ??):
• Сумма вогнутых функций вогнута.

• Минимум вогнутых функций — вогнутая функция.

• Суперпозиция вогнутой функции и вогнутой неубывающей функции — вогнутая функ-
ция.

• Суперпозиция квазивогнутой функции и неубывающей функции — квазивогнутая функ-
ция. В частности, суперпозиция вогнутой функции и возрастающей функции — квази-
вогнутая функция.

• Дважды непрерывно?? дифференцируемая функция u(·) вогнута тогда и только тогда,
когда ее матрица вторых производных (матрица Гессе) H(x) отрицательно полуопреде-
лена на внутренности ее области определения, т. е. z H(x)z 0 ?z.

• Отметим также, что дважды непрерывно дифференцируемая функция u : X > R квази-
вогнута тогда и только тогда, когда ее матрица H(x) вторых производных отрицательно
полуопределена на u(x)z = 0, где x принадлежит внутренности области определения
X . Другими словами, для каждого z, такого что u(x)z = 0 выполнено z H(x)(x)z 0,
где x принадлежит внутренности X .
27
В частности, вогнутость целевой функции требуется для применимости теоремы Куна — Таккера.
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 38

Стоит отметить, что, вообще говоря, в отличие от свойства квазивогнутости, свойство во-
гнутости не сохраняется при монотонно возрастающем преобразовании. (Требуется, чтобы
v
преобразующая функция была вогнута.) Например, функция x вогнута, но после примене-
ния к ней монотонного преобразования y 4 (при y 0) получается функция x2 , которая уже
не является вогнутой, хотя и является квазивогнутой (при x 0).
Достаточно типична ситуация, когда из квазивогнутой функции можно сделать вогну-
v
v
тую (например, x2 преобразованием 4 y превращается в x). Если прорешать достаточно
много типовых задач, то может сложиться впечатление, что каждая квазивогнутая функ-
ция переводится монотонно возрастающим преобразованием в вогнутую функцию и, в этом
смысле, два эти класса функций эквивалентны. Однако, это не так. Например, функция
f (x1 , x2 ) = (x1 ? 1) + (1 ? x1 )2 + 4(x1 + x2 ) квазивогнута. Ее линии уровня — непараллель-
ные прямые линии. Можно показать, что эта функция не может быть трансформирована в
вогнутую функцию возрастающим преобразованием. Следует оговориться, что большинство
подобных примеров достаточно причудливы и их построение требует достаточной изобрета-
тельности. Поэтому для того чтобы убедиться, что функция квазивогнута, рекомендуется по-
пытаться преобразовать ее в вогнутую функцию.
Приведем пример, иллюстрирующий технику проверки вогнутости и квазивогнутости функ-
ций.
Пример 6:
Рассмотрим функцию u(x) = x1 x2 , заданную на неотрицательном ортанте R2 . Покажем,
+
что эта функция квазивогнута, но не является вогнутой.
Способ 1 (По определению)
Возьмем два произвольных вектора x, y ? R2 . Тогда для любого 0 ? 1 имеем
+


(?x1 + (1 ? ?)y1 )(?x2 + (1 ? ?)y2 ) =
= ?2 x1 x2 + (1 ? ?)2 y1 y2 + ?(1 ? ?)x1 y2 + ?(1 ? ?)x2 y1

Без потери общности будем считать, что y1 y2 x1 x2 . Если компоненты вектора x не равны
y y yy
0, то x1 + x2 2 x1 x2 2, или x1 y2 + x2 y1 2x1 x2 . Справедливость этого неравенства, если
1 2 12

хотя бы одна из компонент вектора x равна 0, очевидна. Таким образом, для любых x, y ? R2
+
таких, что y1 y2 x1 x2 , имеем x1 y2 + x2 y1 2x1 x2 . С учетом изложенного, получаем

?2 x1 x2 + (1 ? ?)2 y1 y2 + ?(1 ? ?)x1 y2 + ?(1 ? ?)x2 y1
(?2 + (1 ? ?)2 + 2?(1 ? ?))x1 x2 = x1 x2 = min{x1 x2 , y1 y2 }.

Таким образом, квазивогнутость функции x1 x2 доказана.
Покажем теперь, что эта функция не является вогнутой. Возьмем два вектора x = (1, 1),
y = (2, 2) и ? = 2 . Но тогда u(?x + (1 ? ?)y) = 9 и ?u(x) + (1 ? ?)u(y) = 5 . Поскольку 5 > 4 ,
1 9
4 2 2
то функция не является вогнутой.
Способ 2 (С использованием матрицы Гессе)
Несложно проверить, что матрица H(x) вторых частных производных функции u(x) =
x1 x2 имеет вид
01
H(x) = .
10
Однако данная матрица не является отрицательно полуопределенной. Например, для вектора
z = (1, 1) имеем z Hz = 2 > 0. Таким образом, функция не является вогнутой.
Покажем, что она квазивогнута. Несложно увидеть, что z Hz = 2z1 z2 . Рассмотрим знак
этой квадратичной формы при всех z таких, что u(x)z = 0, т. е. при всех z таких, что
x2 z1 + x1 z2 = 0. Умножив это равенство на z1 , получим x2 (z1 )2 + x1 z1 z2 = 0. На внутренности
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 39

положительного ортанта имеем z Hz = 2z1 z2 = ?2 x2 (z1 )2 0. Таким образом, доказали
x1
квазивогнутость функции u(x) = x1 x2 .
Еще один способ проверки того, что функция u(x) = x1 x2 является квазивогнутой, состо-
ит в том, чтобы найти преобразование, которое бы сделало ее вогнутой. Как несложно заме-
тить, возрастающее преобразование ln(·) переводит ее в вогнутую функцию. Действительно,
получившаяся функция ln(x1 ) + ln(x2 ) является вогнутой, поскольку ее матрица Гессе будет
отрицательно определенной:
1
? x2 0
H(x) = .
1

<< Предыдущая

стр. 8
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>