<< Предыдущая

стр. 80
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

= .
?gj ? (y, x)/?yj ? k0 ?ui0 (x, y)/?xi0 k0
Отсюда следует доказываемое утверждение о том, что (x, y) не может быть одновременно
равновесием и Парето-оптимумом.

Замечание: В данной теореме мы предположили, что экстерналии положительны, связаны с
производством, и существует потребитель, потребление которым того же блага не создает экс-
терналий. Все эти три предположения можно изменить, то есть рассмотреть отрицательные
экстерналии и/или экстерналии, связанные с потреблением, и/или предположить существо-
вание производителя, производство которым того же блага не создает экстерналий. Теорема
при этом остается верной. Доказательство проводится аналогично.

Замечание: Хотя теорема одна, но она противоположна обеим теоремам благосостояния. Ее
можно переформулировать двумя способами:
1) Равновесие в экономике с экстерналиями не может быть Парето-оптимальным.
2) Парето-оптимум в экономике с экстерналиями нельзя реализовать как рыночное равно-
весие (ни при каких ценах и распределении доходов).

p??
Неоптимальность равновесия (? , x, y) в условиях Теоремы 108 можно подтвердить так-
x?
же, подобрав Парето-улучшение — другое допустимое состояние экономики, (? , y), которое
x? x?
доминирует по Парето состояние (? , y). При этом Парето-улучшение (? , y) мы можем подо-
брать так, что в нем производство положительных экстерналий yj ? k? строго больше, чем в
рассматриваемом равновесии.
Если же все экстерналии связанные с некоторой переменной yj ? k? отрицательные, то анало-
гичным образом можно подобрать Парето-улучшение так, что в нем производство экстерналий
строго меньше, чем в рассматриваемом равновесии. Верны и аналогичные утверждение для
благ, вызывающих экстерналии в потреблении. Доказательство этих утверждений мы опуска-
ем, проиллюстрировав их для конкретных примеров экономик с экстерналиями.
Проиллюстрируем проведенный анализ частным случаем экономики с экстерналиями./??[Маленво]/
Пример 44 (/Маленво/ (Общее равновесие; экстерналии в производстве)):
Рассмотрим экономику с 3 товарами, 1 (репрезентативным) потребителем и 2 произво-
дителями. Производитель j = 1, 2 производит только j -ый продукт, используя единственный
производственный фактор — труд. Будем обозначать объемы производства y1 и y2 , а затраты
труда — a1 и a2 соответственно7 . Будем предполагать также, что технологии представимы
явными производственными функциями следующего вида:

y1 f1 (a1 , y2 ), y2 f2 (a2 , y1 ).
7
Заметим, что мы здесь отошли от стандартного представления производства в терминах чистых выпусков
и несколько упростили обозначения, т. е. перешли к новым переменным: yj = yjj ( j = 1, 2 ), aj = ?yj3 .
10.3. Свойства экономики с экстерналиями 346

то есть выпуск каждого блага при тех же затратах труда зависят от выпуска другого блага,
что означают имеют место экстерналии.
Предпочтения потребителя заданы функцией полезности u(x1 , x2 , x3 ), зависящей от объ-
емов потребления двух производимых в данной экономике благ, x1 0 и x2 0, и досуга
x3 0. Потребитель обладает только запасом ? 3-го блага (времени).
Функция полезности и производственные функции в дифференцируемы. Кроме того, про-
изводные этих функций везде имеют «естественные» знаки, а именно:
?f2 ?f1 ?u ?u ?u
> 0, > 0, > 0, > 0, > 0.
?a2 ?a1 ?x1 ?x2 ?x3
Балансовые ограничения в рассматриваемой экономике имеют вид:

y1 = x1 , y2 = x2 , a1 + a2 + x3 = ?.

Парето-оптимальные состояния данной экономики8 ,

(?1 , x2 , x3 , y1 , y2 , a1 , a2 ),
x??????

должны быть решениями следующей задачи9 :

u(y1 , y2 , ? ? a1 ? a2 ) > max
y1 ,y2 ,a1 ,a2

y1 f1 (a1 , y2 ), y2 f2 (a2 , y1 ),
y1 0, y2 0,
a1 + a2 ?.

Задача, характеризующая Парето-оптимум, здесь одна, тaк как потребитель один. Лагран-
жиан этой задачи имеет вид:

L(y1 , y2 , a1 , a2 , µ1 , µ2 ) =
= u(y1 , y2 , ? ? a1 ? a2 ) + µ1 (f1 (a1 , y2 ) ? y1 ) + µ2 (f2 (a2 , y1 ) ? y2 )

Будем предполагать, что решения этой задачи внутренние. Тогда Парето-оптимальное со-
стояние можно охарактеризовать следующими соотношениями:
?u ?f2 ?u ?f1
? µ1 + µ2 ? µ2 = 0,
= 0, + µ1
?x1 ?y1 ?x2 ?y2
?u ?f1 ?u ?f2
? ?
+ µ1 = 0, + µ2 = 0.
?x3 ?a1 ?x3 ?a2
Поскольку предельный продукт труда положителен, можно записать множители Лагранжа
как
?u/?x3 ?u/?x3
µ1 = , µ2 =
?f1 /?a1 ?f2 /?a2
и получить следующую характеристику Парето-оптимума:
?u ?u/?x3 ?u/?x3 ?f2
? + = 0,
?x1 ?f1 /?a1 ?f2 /?a2 ?y1
?u ?u/?x3 ?f1 ?u/?x3
?
+ = 0.
?x2 ?f1 /?a1 ?y2 ?f2 /?a2
8
Скорее всего, для конкретных функций в рассматриваемой экономике будет только одно Парето-оптималь-
ное состояние. Но это нам в данном случае не важно.
9
Данная задача получена на основе конкретизации для данной экономики характеристики Парето-оптимума
и замены переменных.
10.3. Свойства экономики с экстерналиями 347

Или, разделив на положительную предельную полезность досуга ?u/?x3 ,
?u/?x1 1 ?f2 /?y1
?
= ,
?u/?x3 ?f1 /?a1 ?f2 /?a2
?u/?x2 1 ?f1 /?y2
?
= .
?u/?x3 ?f2 /?a2 ?f1 /?a1
Теперь охарактеризуем рыночные равновесия в данной экономике, при которых все блага
потребляются в положительных количествах (внутренние равновесия). Пусть

(p1 , p2 , p3 , x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , a1 , a2 ) —
???????

равновесие. Выпуск yj и затраты труда aj являются решением следующей задачи (максими-
? ?
зации прибыли j -го производителя):

?j = pj fj (aj , y?j ) ? p3 aj > max .
?
aj

Поэтому в равновесии
1 p1 1 p2
= =,
и
?f1 /?a1 p3 ?f2 /?a2 p3
то есть предельные нормы трансформации равны отношениям цен.
С другой стороны, функция Лагранжа для задачи потребителя имеет вид

L = u(x1 , x2 , x3 ) + ?(? ? (p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 )).

Дифференцируя ее по x1 , x2 и x3 и упрощая полученные условия первого порядка, по-
лучим обычную характеристику потребительского набора (?1 , x2 , x3 ) — равенство отношения
x??
предельных полезностей отношению цен:
?u/?x1 p1 ?u/?x2 p2
= =.
и
?u/?x3 p3 ?u/?x3 p3
Поэтому в равновесии
?u/?x1 1 ?u/?x2 1
= , = .
?u/?x3 ?f1 /?a1 ?u/?x3 ?f2 /?a2
Если хотя бы одна из производных ?f1 /?y2 и ?f2 /?y1 , характеризующих предельный эф-
фект внешнего влияния, в состоянии равновесия, не равна нулю, то сравнивая дифференци-
альные характеристики, мы можем сделать вывод, что равновесие не может быть Парето-опти-
мальным, и, наоборот, Парето-оптимум невозможно реализовать как равновесие.
?fj /?y?j
Величины ?fj /?aj , на которые отличаются характеристики равновесия и Парето-оптиму-
ма, показывают (в случае положительных экстерналий), сколько труда можно «сэкономить»
при производстве данного блага при увеличении на «малую единицу» производства друго-
го блага. Рассчитывая оптимальный объем затрат труда, производитель не учитывает этот
эффект.
Из сопоставления ее с характеристикой равновесия можно заключить:
При выполнении условия ?fj /?y?j = 0 в состоянии рыночного равновесия характеристика
равновесия будет иметь такой же вид, как и характеристика Парето-оптимального состояния.
Но поскольку обе эти характеристики представляют необходимые условия, из этого факта
нельзя заключить без дополнительных предположений, что равновесие Парето-оптимально.
Стандартный подход в доказательстве оптимальности рыночного равновесия опирается пред-
положение о вогнутости производственных функций и функции полезности. Однако предпо-
ложение о вогнутости производственных функций по «чужой» переменной (экстерналиям)
10.3. Свойства экономики с экстерналиями 348

представляется произвольным и ему нельзя дать столь же естественной интерпретации, как
вогнутости по «своей» переменной.
Проиллюстрируем утверждение о неоптимальности производства благ в данном примере,
указав в явном виде Парето-улучшение для равновесного состояния. Построим это в диффе-
ренциалах — малый допустимый сдвиг

(dx1 , dx2 , dx3 , dy1 , dy2 , da1 , da2 ).

из точки равновесия, который бы повышал полезность потребителя.
Чтобы искомый сдвиг был допустимым, он не должен нарушать балансовые и производ-
ственные ограничения. Соответствующие условия получаем дифференцированием этих огра-
ничений:

dy1 = dx1 , dy2 = dx2 , da1 + da2 + dx3 = 0,
?f1 ?f1 ?f2 ?f2
dy1 = da1 + dy2 , dy2 = da2 + dy1 .
?a1 ?y2 ?a2 ?y1
Отсюда получаем

dx3 = ?da1 ? da2 =
1 ?f1 1 ?f2
=? dy1 ? dy2 ? dy2 ? dy1 ,
?f1 /?a1 ?y2 ?f2 /?a2 ?y1

Полезность потребителя изменится на величину
?u ?u ?u
du = (?)dx1 +
x (?)dx2 +
x (?)dx3 .
x
?x1 ?x2 ?x3
Подставим dxk , выраженные через dyj :

?u ?u
(?)dy2 ?
du = (?)dy1 +
x x
?x1 ?x2
? ?
?u 1 ?f1 1 ?f2
? dy1 ? dy2 ?
(?) ?
x dy2 + dy1 ? =
?x3 ?f1 /?a1 ?y2 ?f2 /?a2 ?y1
?
?u ? ?u/?x1 1 ?f2 /?y1
?
= + dy1 +
?x3 ?u/?x3 ?f1 /?a1 ?f2 /?a2
?
?u/?x2 1 ?f1 /?y2
?
+ + dy2 ? .
?u/?x3 ?f2 /?a2 ?f1 /?a1

Учитывая дифференциальную характеристику равновесия, получим, что

?u ?f2 /?y1 ?f1 /?y2
du = dy1 + dy2 .
?x3 ?f2 /?a2 ?f1 /?a1

Если хотя бы одна из производных ?f1 /?y2 и ?f2 /?y1 не равна нулю, то можно подобрать изме-
нения объемов производства dy1 и dy2 так, что полезность потребителя увеличится (du > 0).
Это означает, что соответствующее изменение объемов производства определяет Парето-улуч-
шение. Так, если, например, ?f1 /?y2 = 0 (случай одностороннего внешнего влияния), то если
?f2 /?y1 > 0 (случай положительных внешних влияний), то следует dy1 > 0, т. е. локальное
Парето-улучшение связано с увеличением производства блага, вызывающего положительные
10.3. Свойства экономики с экстерналиями 349

экстерналии в производстве другого блага. Это можно интерпретировать как локально недо-
статочное производство положительных экстерналий.
Остается открытым вопрос: является ли производство в равновесии недостаточным по срав-
нению также и с Парето-оптимальным состоянием экономики, т. е. верно ли y1 < y1 ? Ответить
? ?
на этот вопрос можно только при дополнительных предположениях относительно рассматри-
ваемой экономики.
Покажем, что предположение о том, что равновесие внутреннее, существенно для истинно-
сти утверждения Теоремы 108.
Пусть в равновесии x3 = 0. Тогда в равновесии выполнено следующее соотношение
?

?u/?x1 ?f2 /?a2
= .
?u/?x2 ?f1 /?a1

В оптимальном состоянии
?f2 /?y1
1
?
?u/?x1 ?f1 /?a1 ?f2 /?a2
= .
?f1 /?y2
?u/?x2 1
?
?f2 /?a2 ?f1 /?a1

<< Предыдущая

стр. 80
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>