<< Предыдущая

стр. 81
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


Эти две характеристики совпадут, если
2 2
?f1 ?f2 ?f2 ?f1
= .
?a1 ?y1 ?a2 ?y2

Нетрудно придумать конкретные функции, для которых данная характеристика будет до-
статочным условием Парето-оптимальности, так что равновесие окажется Парето-оптималь-
ным.

Подчеркнем, что и условие дифференцируемости функций полезности и производственных
функций существенны для справедливости Теоремы 108.
Существуют также и опровергающие примеры с взаимокомпенсацией экстерналий, когда
часть экстерналий, связанных с некоторой переменной, положительные, а часть — отрица-
тельные.
Возможная неэффективность рыночного равновесия в экономике с экстерналиями часто
служит обоснованием государственного регулирования экономики. Существуют два основных
способа такого регулирования: прямое — количественные ограничения на производство и по-
требление благ, вызывающих экстерналии, и непрямое — налогообложение таких благ. Рас-
смотрим эти способы подробнее.

10.3.1 Задачи
 466. При доказательстве неоптимальности нерегулируемого равновесия в экономике с экс-
терналиями условие внутренности равновесия используется для того, чтобы . . . . . . . . . . . .
 467. Пусть в экономике обмена есть два потребителя и два блага. Функция полезности вто-
рого потребителя зависит от уровня собственного потребления, а также от уровня полезности
первого потребителя. Найдите и сопоставьте дифференциальные характеристики внутреннего
равновесия и внутреннего Парето-оптимума.
 468. Для следующих трех экономик
- запишите дифференциальную характеристику Парето-оптимума,
- запишите дифференциальную характеристику равновесия,
- предложите Парето-улучшение в дифференциалах.
10.4. Равновесие с квотами на экстерналии 350

(A) [Маленво] В экономике с 2 благами, 2 потребителями и 1 фирмой потребление первого
блага является престижным и вызывает зависть у другого потребителя (т. е. имеют место от-
рицательные экстерналии, связанные с потреблением этого блага). Таким образом, функции
полезности имеют вид u(x11 , x12 , x12 ) и u(x21 , x22 , x11 ). Технология фирмы позволяет произво-
дить из единицы второго блага единицу первого блага.
(B) В экономике с двумя благами, предпочтения потребителей i = 1, . . . , m заданы функ-
циями полезности
m
ui xi , xs , yi .
s=1
Имеется технология, по которой из единицы блага x можно произвести единицу блага y , и
наоборот.
(C) В экономике с двумя благами, одним потребителем и n фирмами технологии фирм опи-
сываются неявными производственными функциями: gj (yj1 , yj2 ) 0. Полезность потребителя
зависит от суммарного объема производства 1-го блага:
n
ui x1 , x2 , yi1 .
j=1




10.4 Равновесие с квотами на экстерналии
Определение 69:
Назовем квотой ограничение на производство блага каким-либо производителем или по-
требление блага каким-либо потребителем вида xik = xik или yjk = yjk .
? ?

В дальнейшем будем обозначать через Qi множество благ k , таких что на величину xik их
потребления i-м потребителем установлена квота. Аналогично будем обозначать через Qj мно-
жество благ k , таких что на величину yjk их производства j -м производителем установлена
квота.
При наличии квот задача потребителя i модифицируется следующим образом:
ui (xi , x?i , y) > max
xi
pxi ?i , (10.7)
xik = xik ?k ? Qi ,
?
xi ? Xi .
Соответственно при наличии квот задача производителя j имеет вид:
pyj > max
yj

yjk = yjk ?k ? Qj ,
? (10.8)
g(yj , y?j , x) 0.

Введем также обозначение x = { xik k ? Qi } и y = yjk k ? Qj
? ?
? ? .
Определение 70:
Назовем (? , x, y) равновесием с квотами (? , {Qi }i , y, {Qj }j ) и трансфертами S ( i?I Si =
p?? ?
x
0), если
3 xi — решение задачи потребителя (10.7) при x?i = x?i , y = y , ценах p , доходах
? ? ? ?
? ??
?i = p? i + ?ij pyj + Si
j?J
10.4. Равновесие с квотами на экстерналии 351

?
и квотах, определяемых x и Qi ;
3 yj — решение задачи производителя (10.8) при x = x , y?j = y?j , ценах p и квотах,
? ? ? ?
?
определяемых y и Qj ;
3 (? , y) — допустимое состояние, т. е.
x?
(?ik ? ?ik ) = yjk ?k ? K.
x ?
i?I j?J

Для этого равновесия верен аналог второй теоремы благосостояния, т. е. утверждение о
том, что Парето-оптимум экономики с экстерналиями можно реализовать как равновесие.
Теорема 109:
Пусть (? , y) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi = Rl .
x? +
Предположим также, что
• xik > 0 ?i, ?k ? Ei ;
? /
• функции полезности ui (x, y) дифференцируемы по переменным xik , k ? Ei ; произ-
/
водственные функции gj (y, x) дифференцируемы по переменным yjk , k ? Ej ;
/
• существует благо k0 , для которого выполнены условия (O);
• функции ui (x, y) вогнуты по переменным xik , k ? Ei ; функции gj (y, x) вогнуты по
/
переменным yjk , k ? Ej .
/
??
Тогда существуют цены p, множества квотируемых благ Qi и Qj , квоты x, y , и транс-
??
ферты S, такие что (p, x, y) является равновесием с квотами. При этом множества квоти-
руемых благ можно выбрать так, что Qi = Ei и Qj = Ej .
Доказательство: Ограничимся схемой доказательства. В предположениях теоремы выполнены
условия регулярности, и можно воспользоваться теоремой Куна — Таккера того, чтобы оха-
x?
рактеризовать Парето-оптимум (? , y). В качестве цен благ возьмем множители Лагранжа для
балансовых ограничений ?k . В качестве множеств Qi и Qj квотируемых благ выберем любые
множества благ, содержащие все блага из Ei и Ej соответственно. Квоты установим в соответ-
ствии с рассматриваемым оптимальным состоянием, т. е. xik = xik ?k ? Qi и yjk = yjk ?k ? Qj .
? ? ? ?
?
Далее доказывается, что xi является решением задачи (10.7) при данных ценах и квотах
?
и доходах ?i = p? i . Действительно, точка xi является допустимой в этой задачи и в ней
x
выполнены условия первого порядка, что следует из выполнения условий первого порядка для
оптимума Парето:
x?
?ui (? , y)
= ?k ?i ?k ? Ei .
?i /
?xik
Условия первого порядка в данном случае являются достаточными условиями оптимальности.
?
Аналогичным образом доказывается, что yj является решением задачи (10.8).
????
Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S, такие что (p, x, y, x, y, S)
является равновесием с квотами. Трансферты следует подобрать так, чтобы с их учетом дохо-
ды потребителей были равны расходам, т. е. ?i = p? i . Требуемыми трансфертами являются
x
величины
Si = p? i ? p? i +
x ?ij p? j .
y
j?J
Несложно проверить, что сумма этих величин равна нулю.
Замечание: Включив в множество Qi (Qj ) все блага, по которым функция полезности ui (x, y)
(соответственно, производственная функция gj (y, x)) не является вогнутой, мы получим вари-
ант доказанной теоремы для случая невыпуклой экономики. Этот прием можно использовать
и для реализации Парето-оптимума как равновесия в экономике без экстерналий.
Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости (2)???. При этом условие (3)???
заменяется на предположение о локальной ненасыщаемости по благам, которые не порождают
экстерналий.
10.5. Равновесие с налогами на экстерналии 352


10.5 Равновесие с налогами на экстерналии
В дальнейшем будем рассматривать лишь налоги с единицы экстерналии, выраженные в
деньгах. Обозначим через Pi множество благ k , потребление которых i-м потребителем обла-
гается налогами. Аналогично через Pj обозначим множество благ k , производство которых
j -м производителем облагается налогами.
Пусть tik — ставка налога на потребление блага k потребителем i. Тогда задача i-го
потребителя модифицируется следующим образом:

ui (xi , x?i , y) > max
xi

pk xik + (pk + tik )xik ?i , (10.9)
k?Pi k?Pi
/
xi ? Xi .

?
Условия первого порядка для внутреннего решения xi данной задачи имеют вид
x? ?
?ui (? i , x?i , y)
= ?i pk , ?k ? Pi ,
/ (10.10)
?xik
x? ?
?ui (? i , x?i , y)
= ?i (pk + tik ), ?k ? Pi , (10.11)
?xik
где ?i — множитель Лагранжа, соответствующий бюджетному ограничению.
Соответственно если tjk — ставка налога на производство блага k производителем j , то
задача производителя j имеет вид:

(pk ? tjk )yjk > max
pk yjk + (10.12)
yj
k?Pj k?Pj
/

g(yj , y?j , x) 0. (10.13)

?
Условия первого порядка для решения yj данной задачи имеют вид

y? ?
?g(? j , y?j , x)
+ pk = 0, ?k ? Pj ,
?j / (10.14)
?yjk
y? ?
?g(? j , y?j , x)
+ pk ? tjk = 0, ?k ? Pj ,
?j (10.15)
?yjk
где ?j — множитель Лагранжа, соответствующий технологическому ограничению.
Введем обозначения для ставок всех налогов, существующих в экономике, tI = { tik k ? Pi }
и tJ = tjk k ? Pj , и рассмотрим общее равновесие с такими налогами.

Определение 71:
Назовем (? , x, y) равновесием с налогами (tI , {Pi }i , tJ , {Pj }j ) и трансфертами S экономи-
p??
ки с экстерналиями, если
? ?
xi — решение задачи потребителя (10.9) при ценах p , доходах

? ??
?i = p? i + ?ij pyj + Si ,
j?J

налогах, определяемых tI , Pi , и объемах потребления и производства других экономических
??
субъектов x?i , y .
? ?
yj — решение задачи производителя (10.12) при ценах p , налогах, определяемых tj , Pj
? ?
и объемах производства и потребления других экономических субъектов y?j , x .
10.5. Равновесие с налогами на экстерналии 353

x?
(? , y) — допустимое состояние, т. е.

(?ik ? ?ik ) = yjk ?k.
x ?
i?I j?J

сумма налогов равняется сумме трансфертов

tik xik +
? tjk yjk =
? Si .
i?I k?Pi j?J k?Pj i?I


Приведенное ниже утверждение представляет собой аналог второй теоремы благосостоя-
ния для равновесия с налогами на экстерналии. Оно утверждает, что (при некоторых естествен-
ных условиях) для Парето-оптимального состояния этой экономики можно найти цены благ
и налоги такие, что данное Парето-оптимальное состояние окажется равновесием с налогами.

<< Предыдущая

стр. 81
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>