<< Предыдущая

стр. 82
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Теорема 110:
Пусть (? , y) — Парето-оптимальное состояние экономики с экстерналиями с Xi = Rl .
x? +
Предположим также, что
• xik > 0 ?i ?k ? Ei ;
? /
• функции полезности ui (x, y) и производственные функции gj (y, x) дифференцируе-
мы;
• существует благо k0 , для которого выполнены условия (O);
• функции ui (x, y) вогнуты по xi ; функции gj (y, x) вогнуты по переменным yj .
Тогда существуют цены p, множества налогооблагаемых благ Pi и Pj , налоги tI , tJ , и
??
трансферты S, такие что (p, x, y) является равновесием с налогами. При этом множества
налогооблагаемых благ можно выбрать так, что Pi = Ei и Pj = Ej .

Доказательство: Ограничимся также схемой доказательства. В качестве цены k -го блага pk
можно взять множитель Лагранжа ?k для балансового ограничения. В качестве множеств Pi
и Pj облагаемых налогами благ выберем любые множества благ, содержащие все блага из Ei
и Ej соответственно. В качестве ставки налога tik , k ? Pi выберем

x? y?
?us (? , y) ?gj (? , x)
tik = ? ?
?s µj ,
?xik ?xik
j?J
s=i

где ?s и µj — множители Лагранжа для задачи, характеризующей рассматриваемый оптимум
Парето. Ставка налога для блага, не принадлежащего Ps , принимается равной нулю.
?
Далее доказывается, что xi является решением задачи (10.9) при

?i = p? i +
x tik xik ,
?
k?Pi

? ? ?
x?i = x?i , y = y , данных ценах и введенных налогах. Действительно, точка xi является
допустимой в этой задаче. Поскольку задача каждого потребителя является выпуклой, то
для доказательства этого факта достаточно установить, что при этом выполняются условия
первого порядка. Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим
образом:
x?
?ui (? , y)
= pk + tik , ?k ? Pi ,
?i
?xik
x?
?ui (? , y)
= pk , ?k ? Pi .
?i /
?xik
1
Но это и есть условия первого порядка в задаче потребителя при ?i , равном .
?i
10.5. Равновесие с налогами на экстерналии 354

Аналогично в качестве ставки налога tjk , k ? Pj выберем

x? y?
?ui (? , y) ?gs (? , x)
tjk = ? ?
?i µs ,
?yjk ?yjk
i?I s=j

а ставку налога для блага, не принадлежащего Ps , примем равной нулю. Далее доказывается,
? ? ?
что yj является решением задачи (10.8) при данных ценах и x = x и y?j = y?j .
Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S. Легко видеть, что
требуемыми трансфертами являются величины

tik xik ? (p? i + ?ij (p? j ?
Si = p? i +
x ? y tjk yjk )).
?
j?J
k?Pi k?Pj

Их сумма равна, как и требуется, величине

tik xik +
? tjk yjk ,
?
i?I k?Pi j?J k?Pj

и с учетом этих трансфертов доходы потребителей равны

?i = p? i +
x tik xik ,
?
k?Pi

?
то есть ровно столько, сколько необходимо для покупки набора xi .

Замечание: Ставка налога может оказаться величиной отрицательной. Это, в частности, будет
иметь место когда потребление (производство) данного блага вызывает только положительные
экстерналии. Содержательно это означает, что потребителю (производителю) выплачивается
дотации по соответствующей ставке.

Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие (O) заменя-
ется на предположение о локальной ненасыщаемости.

В следующем утверждении описаны условия, при которых равновесия с налогами Парето-
оптимальны. Таким образом, это утверждение представляет собой вариант первой теоремы
x?
благосостояния для такой экономики. Условия оптимальности равновесия с налогами, (? , y),
имеют вид следующего правила Пигу:

x? y?
tik ?us (? , y)/?xik ?gj (? , x)/?xik
=? , ?i, ?k ? Pi ,
+
x? y?
pk0 ?us (? , y)/?xsk0 j?J ?gj (? , x)/?yjk0
s=i
(T )
x? y?
tjk ?ui (? , y)/?yjk ?gs (? , x)/?yjk
=? , ?j, ?k ? Pj .
+
x? y?
pk0 ?ui (? , y)/?xik0 s=j ?gs (? , x)/?ysk0
i?I

Если равновесие с налогами на экстерналии Парето-оптимально и удовлетворяет правилу
Пигу, то соответствующие налоги называют налогами Пигу10 .
Теорема 111:
Предположим, что (? , x, y) — равновесие с налогами (tI , {Pi }i , tJ , {Pj }j ) и трансфер-
p??
тами S экономики с экстерналиями и, кроме того,
• xi ? int Xi (равновесие внутреннее)
?
• все блага, порождающие экстерналии, облагаются налогами, т. е. Ei ? Pi и Ej ? Pj .
10
A. C. Pigou: The Economics of Welfare, London: Macmillan, 1932 (рус. пер. А. С. Пигу: Экономическая
теория благосостояния, М.: Прогресс, 1985).
10.5. Равновесие с налогами на экстерналии 355

• функции полезности и производственные функции дифференцируемы;
• существует благо k0 , для которого выполнены условия (O).
Тогда,
(i) если функции полезности и производственные функции вогнуты, то чтобы это рав-
новесие с налогами было Парето-оптимальным, достаточно, чтобы налоги удовлетворяли
правилу Пигу (T );
(ii) если равновесие с налогами Парето-оптимально, и для каждого блага k существует
хотя бы один потребитель i (или производитель j ), для которого потребление (или про-
изводство) данного блага не облагается налогом, т. е. k ? Pi (k ? Pj ), то налоги должны
/ /
удовлетворять правилу Пигу (T ).

Доказательство: (i) Нам нужно показать, что найдутся числа {?i }i , {µj }j , {?k }k , ?i 0, µj 0,
такие что для них выполнены соотношения (10.1)-(10.2) (дифференциальная характеристика
Парето-оптимума экономики с экстерналиями). По обратной теореме Куна — Таккера при во-
гнутости функций полезности и производственных функций выполнение этих соотношений —
достаточное условие максимума для каждой из задач, характеризующих Парето-оптимальные
состояния экономики с экстерналиями.
Воспользуемся дифференциальной характеристикой равновесия с налогами (10.10)-(10.11)
и (10.14)-(10.15). Множители Лагранжа выберем следующим образом:
?i = 1/?i , µj = ?j , ?k = pk .
?
Поскольку по предположению все блага, не облагаемые налогами, т. е. k ? Pi и k ? Pj , не
/ /
порождают экстерналий, то дифференциальные характеристики Парето-оптимума для них
имеют вид:
?ui ?gj
= ?k , ?i, µj + ?k = 0, ?j.
?i
?xik ?yjk
Легко проверить, что они выполнены при выполнении соотношений (10.10) и (10.14).
Кроме того, из (10.10) и (10.14) при k = k0 имеем
1 pk0
?
?i = = > 0,
?i ?ui /?xik0
pk0
?
µj = ?j = ? > 0,
?gj /?yjk0
откуда получаем следующие выражения для налогов, указанных в условии теоремы:
?us ?gj
tik = ? ?
?s µj .
?xik j?J ?xik
s=i

?ui ?gs
tjk = ? ?
?i µs .
?yjk s=j ?yjk
i?I

Подставляя их в дифференциальные характеристики равновесия с налогами (10.11) и (10.15),
убеждаемся в том, что дифференциальные характеристики Парето-оптимума (10.1)-(10.2) вы-
полнены.
(ii) Для любого k = k0 существует экономический субъект, потребление (производство)
которым этого блага не облагается налогом. Предположим, например, что это потребитель i.
(Для случая, если таким экономическим субъектом является производитель, рассуждения ана-
логичны, что читателю предлагается проверить самостоятельно.) Из условий первого порядка
задачи потребителя i следует, что
?ui /?xik pk
?
= .
?ui /?xik0 pk 0
?
10.5. Равновесие с налогами на экстерналии 356

С другой стороны, потребление этим потребителем благ k и k0 не порождает экстерналий
и поэтому из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

?ui /?xik ?k
= .
?ui /?xik0 ? k0

Это означает, что pk /?k0 = ?k /?k0 , т. е. множители Лагранжа пропорциональны ценам.
?p
Для произвольного потребителя i и блага k , потребление которого данным потребителем
облагается налогом (k ? Pi ), имеем из условия первого порядка задачи потребителя

?ui /?xik pk + tik
?
= .
?ui /?xik0 pk 0
?

С другой стороны, из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что

?ui /?xik ?us /?xik ?gj /?xik ?k
?
+ = .
?ui /?xik0 s=i ?us /?xsk0 j?J ?gj /?yjk0 ? k0

Производя соответствующие замены, получим требуемый результат:

tik ?us /?xik ?gj /?xik
=? + .
pk0
? ?us /?xsk0 j?J ?gj /?yjk0
s=i

Аналогично, для произвольного производителя j и блага k , производство которого данным
производителем облагается налогом (k ? Pj ), имеем

pk ? tjk
?gj /?yjk ?
= .
?gj /?yjk0 pk0
?
и
?gj /?yjk ?ui /?yjk ?gs /?yjk ?k
? ? =?
+ ,
?gj /?yjk0 i?I ?ui /?xik0 s=j ?gs /?ysk0 ? k0
откуда следует, что

tjk ?ui /?yjk ?gs /?yjk
=? , ?j, ?k ? Pj .
+
pk0
? ?ui /?xik0 s=j ?gs /?ysk0
i?I



Замечание: Хотя по условиям теоремы множество благ, потребление (производство) которых
облагается налогами, не обязано совпадать с множеством благ, порождающих экстерналии,
ставки налога на блага, не порождающие экстерналии (блага из множеств Pi \Ei и Pj \Ej )

<< Предыдущая

стр. 82
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>