<< Предыдущая

стр. 84
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?xik ?xik
x? y?
?ui (? , y) ?gs (? , x)
= ??i , qjsk = ?µs
qjik .
?yjk ?yjk
x?
Далее доказывается, что (? , y) является решением задачи (10.16) при данных ценах и таких
x?
доходах, которые в точности покрывают расходы на приобретение набора (? , y) обычных благ
и экстерналий, т. е.

?i = pk xik +
?
k
qijk xik ?
+ qisk xik +
? ?
s,k:xik >us j,k:xik >gj

? qsik xsk ?
? qjik yjk .
?
s=i k:xsk >ui j k:yjk >ui

x?
Действительно, точка (? , y) является допустимой. Поскольку задача каждого потребителя
является выпуклой, то для доказательства этого факта достаточно установить, что при этом
выполняются условия первого порядка.
Условия первого порядка Парето-оптимума можно переписать следующим образом:
x?
?ui (? , y)
qijk , ?k.
?i = pk + qisk +
?xik s:xik >us ik >gj
j:x

1
Это есть условия первого порядка (10.17) в задаче потребителя при ?i , равном ?i . При том
же ?i условия первого порядка (10.18) следуют из определения цен qsik , qjik .
y?
Аналогичным образом доказывается, что (? , x) является решением задачи (10.19) при дан-
ных ценах.
Для доказательства теоремы осталось указать величины трансфертов S. Легко видеть, что
требуемыми трансфертами являются величины

Si = ?i ? p? i ? ??
?ij ?j (p, q, y, x),
j?J

где ?i определены выше. Читатель может проверить, что их сумма равна нулю.

Замечание: Теорема верна и без условия дифференцируемости. При этом условие (O) заменя-
ется на предположение о локальной ненасыщаемости.

Поскольку в модели с торговлей экстерналиями система рынков оказывается полной, спра-
ведлива первая теорема благосостояния.
Теорема 113:
p???
Пусть (? , q, x, y, S) — равновесие с торговлей экстерналиями и предпочтения потреби-
x?
телей локально ненасыщаемы. Тогда состояние этой экономики (? , y) Парето-оптимально.

Доказательство: Доказательство этой теоремы фактически повторяет доказательство первой
теоремы экономики благосостояния для «обычной» экономики.
10.6. Рынки экстерналий 362

Связь между ценами экстерналий и налогами на экстерналии устанавливают следующие
два утверждения, показывающие, что на основе любого равновесия с торговлей можно постро-
ить равновесие с налогами с теми же ценами обычных благ и налогами, равными сумме цен
соответствующих экстерналий. Указанная связь задается следующим правилом:
qijk ?k ? Ei ,
tik = qisk +
s:xik >us j:xik >gj
(©)
qjsk ?k ? Ej .
tjk = qjik +
s:yjk >gs
i:yjk >ui

Теорема 114:
p???
Пусть (? , q, x, y) — равновесие с торговлей экстерналиями.
Тогда существуют трансферты, такие что (? , x, y) — равновесие с налогами (tI , {Ei }i , tJ , {Ej }j ),
p??
?
где ставки налогов задаются правилом (©) при q = q .
Доказательство: Для доказательства теоремы достаточно проверить, что
? ?
(i) xi — решение задачи (10.9) при ценах p , налогах, определяемых tI , Ei , доходах
?i = pk xik +
?? (?k + tik )?ik
p x
k?Ei k?Ei
/

??
и объемах потребления и производства других экономических субъектов x?i , y .
? ?
(ii) yj — решение задачи (10.12) при ценах p , налогах, определяемых tj , Ej , и объемах
? ?
производства и потребления других экономических субъектов y?j , x .
(iii) Трансферты следует выбрать равными «бюджетным дефицитам» потребителей, а за-
тем доказать, что сумма трансфертов равняется сумме собранных налогов
tik xik +
? tjk yjk .
?
i?I k?Ei j?J k?Ej

x?
Доказательство пунктов (i) и (ii) основывается на том факте, что если (? 1 , x2 ) является
решением следующей задачи оптимизации
f0 (x1 , x2 ) > max
x1 ,x2

(x1 , x2 ) ? X,
?
то x1 является решением редуцированной задачи
f0 (x1 , x2 ) > max
?
x1
(x1 , x2 ) ? X.
?
Справедливость пункта (iii) — следствие определения трансфертов и налогов tik , tjk и
того факта, что в равновесии с торговлей экстерналиями бюджетные ограничения выходят на
равенство.
Для справедливости обратного утверждения существенным является предположение о том,
что равновесие с налогами Парето-оптимально.
Теорема 115:
Пусть (? , x, y) — равновесие с налогами (tI , {Pi }i , tJ , {Pj }j ) и трансфертами S, причем
p??
x?
состояние экономики (? , y) Парето-оптимально.
Предположим также, что
• выполнены условия Теоремы 111 (ii);
• функции полезности ui (x, y) и производственные функции gj (y, x) вогнуты.
??
Тогда существуют цены q экстерналий и трансферты S такие, что (? , q, x, y) — рав-
p
новесие с торговлей экстерналиями. При этом q удовлетворяют правилу (©).
10.6. Рынки экстерналий 363

Доказательство: Так как (? , y) — Парето-оптимальное состояние экономики, то по Теореме 112
x?
??
существуют цены благ p, цены экстерналий q и трансферты S такие, что (p, q, x, y) —
равновесие с торговлей экстерналиями.
Возьмем произвольное благо k = k0 . По предположению теоремы существует экономиче-
ский субъект, потребление (производство) которым этого блага не облагается налогом. Предпо-
ложим, например, что это потребитель i. (Для случая, если таким экономическим субъектом
является производитель, рассуждения аналогичны, что читателю предлагается проверить са-
мостоятельно.) Сопоставляя условия первого порядка задачи потребителя i в равновесии с
налогами и в равновесии с торговлей экстерналиями заключаем, что
pk pk
?
= .
pk0 pk 0
?

?
Без потери общности можно считать, что p = p , поскольку цены в равновесии определя-
ются с точностью до множителя.
В соответствии с Теоремой 111 (ii) верно правило Пигу (T ).
Воспользовавшись условиями первого порядка задач потребителя и производителя в рав-
новесии с торговлей экстерналиями,

qijk
?us /?xik qisk ?gj /?xik
=? ?k ? Ei ,
, =
?us /?xsk0 pk0 ?gj /?xik0 pk 0

?ui /?yjk qjik ?gs /?yjk qjsk
=? ?k ? Ej ,
, =
?ui /?xik0 pk0 ?gs /?ysk0 pk 0
мы можем переписать соотношения Пигу, учитывая, что часть слагаемых в них равна нулю,
в виде (©).

Пример 46 ((продолжение Примеров 44 и 45)):
Пусть в экономике Примера 44 происходит торговля экстерналиями между предприятия-
ми. Обозначим через q1 и q2 цены на экстерналии, связанные с выпуском продукции 1-м и 2-м
предприятием соответственно. Охарактеризуем внутренние равновесия с торговлей экстерна-
лиями. Задача максимизации прибыли j -го производителя имеет следующий вид:

?j = (pj ? qj )fj (aj , y?j ) ? p3 aj + q?j y?j > max .
aj ,y?j

Дифференцируя по aj и y?j , получаем условия первого порядка для решения этой задачи:

p1 ? q1 ?f1 /?y2
1 q2
=? ,
= ,
?f1 /?a1 p3 ?f1 /?a1 p3

p2 ? q2 ?f2 /?y1
1 q1
=? .
= и
?f2 /?a2 p3 ?f2 /?a2 p3
Вид условий первого порядка задачи потребителя не изменится:

?u/?x1 p1 ?u/?x2 p2
= =.
и
?u/?x3 p3 ?u/?x3 p3

Исключая из дифференциальной характеристики равновесия цены, получим соотношения,
совпадающие с дифференциальной характеристикой Парето-оптимума:

?u/?x1 1 ?f2 /?y1
?
= ,
?u/?x3 ?f1 /?a1 ?f2 /?a2
10.7. Альтернативная модель экономики с экстерналиями 364
?u/?x2 1 ?f1 /?y2
?
= .
?u/?x3 ?f2 /?a2 ?f1 /?a1
Заметим, что если налоги вычисляются на основе равновесия с торговлей экстерналиями,
то они совпадают с ценами экстерналий. Более того, если предпочтения потребителя строго
выпуклы, то налоги Пигу и цены экстерналий совпадают всегда, так как Парето-оптимальное
состояние в такой экономике единственно.

10.6.1 Задачи
 476. Для экономик из задачи 468 на с. 349 охарактеризуйте равновесие с торговлей экстер-
налиями. Будет ли оно Парето-оптимальным?


10.7 Альтернативная модель экономики с экстерналиями
В рассмотренной выше модели экономики с экстерналиями вешние влияния связаны непо-
средственно с объемами потребления и производства благ. Зачастую, однако, такие воздей-
ствия определяются не только объемами, но и способами производства и потребления таких
благ. Так, объем загрязнения окружающей среды выхлопными газами определяется не только
количеством автомобилей в данной местности, но и тем, как часто их используют их владель-
цы, типом двигателя, средней скоростью передвижения и т. д. Такие характеристики поведе-
ния экономических субъектов не всегда возможно учесть в предложенном выше подходе к
моделированию экстерналий.
Альтернативный подход к моделированию внешний влияний состоит в следующем:
Введем для каждого экономического субъекта вектор дополнительных переменных, описы-
вающих характеристики процесса потребления и производства благ, вызывающие экстерналии
(или, для краткости, вектор экстерналий) ai ? Ai и aj ? Aj .
Полный набор дополнительных переменных будем обозначать через a. Как и ранее, обо-
значим через a?i (a?j ) вектор экстерналий, вызываемых всеми остальными экономическими
субъектами. Функции полезности и производственные функции в этом случае зависят также
и от дополнительных переменных:

ui = ui (xi , ai , a?i ),
gj = gj (yj , aj , a?j ).

Читателю предлагается переформулировать все предыдущие понятия и результаты в дан-
ном случае (как и в общем случае, когда внешние влияния вызывают как величинами потреб-
ления и производства обычных благ (x?i , y?j ) так и характеристиками их потребления и
производства a?i . (a?j ).
Мы проиллюстрируем данный подход к моделированию экстерналий, введенные понятия
и разные типы равновесий несколькими примерами.
Пример 47 ((Курильщик и некурящий)):
Два студента, живущие в одной комнате в общежитии, имеют функции полезности

u1 (x1 , a) и u2 (x2 , a),

которые зависят от имеющихся в их распоряжении денег (x1 для первого, x2 для второго) и
от количества выкуриваемых первым из них сигарет (a). Второй участник — некурящий, и
?u2 (x2 , a)/?a < 0, а у первого, напротив, ?u1 (x1 , a)/?a > 0, если количество сигарет меньше
a и ?u1 (x1 , a)/?a < 0, если a > a . Ежедневный доход каждого равен ?i .
? ?
10.7. Альтернативная модель экономики с экстерналиями 365

Рассмотрим два варианта правил поведения: либо (A) курить в комнате запрещается, без

<< Предыдущая

стр. 84
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>