<< Предыдущая

стр. 85
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

разрешения соседа по комнате, либо (B ) признается право курить без ограничения (эту эко-
номику можно проиллюстрировать на ящике Эджворта, см. Рис. 10.1). При любом из этих
правил возможны соглашения-сделки, приводящие к состояниям экономики (например, A в
случае первого правила и B в случае второго), улучшающие благосостояния обоих участни-
ков. Поэтому у нас есть все основания ожидать, что в отсутствие явных или неявных запретов
(и издержек сделок), два студента достигнут соглашения, в результате которого эта простая
экономика окажется в Парето-оптимальном состоянии. Так, в случае A курящий может «ку-
пить» у некурящего право выкурить несколько сигарет в день. В случае B , наоборот, куря-
щий может, за соответствующую сумму денег, выкуривать на несколько сигарет меньше (см.
Рис. 10.1б).


а) B B
б) a
a
D
B



A C
x2 x1 x2 x1
A A


Рис. 10.1.

Пример иллюстрирует два момента. Во-первых, когда, как в этом примере, объем экстер-
налий измерим и издержки сделок несущественны, тогда определение правил поведения и
торговля экстерналиями способны решить проблему экстерналий и привести к Парето-опти-
мальным состояниям экономики — устранить «фиаско рынка». В этом случае экстерналии, в
сущности, превращаются в обычные товары, то есть возникает рынок экстерналий.
Во-вторых, с теоретической точки зрения, в отличие от обыденного понимания загрязне-
ния, экстерналии симметричны. Если в варианте B ущерб от наличия экстерналий наносится
некурящему, то в варианте A — курильщику.
Заметим, что правила поведения порождают своего рода права собственности. Так, си-
туация подразумевает право некурящего не соглашаться на любой вариант выбора объема
экстерналий курильщиком. Ситуация — право курильщика на выбор любого объема. Эти
права собственности можно моделировать в данной и подобной ей ситуациях как право опре-
делять объем производства экстерналий одним из экономических субъектов. Так, в ситуации
это право принадлежит некурящему, в ситуации — курильщику.
Можно рассматривать и более общий случай, когда признается право первого на куре-
ние определенного числа сигарет в день. Курить сверх этого «лимита» он может только с
согласия некурящего, который заинтересован дать такое разрешение лишь при компенсации
нанесенного ему при этом ущерба. При любой такой спецификации прав «начальное состоя-
ние» рассматриваемой экономики представляется точкой отрезка, соединяющего точки и .
Это начальное состояние (и предполагаемое им распределение прав собственности) оказывает
влияние на состояние экономики, которое будет достигнуто в результате соглашений между
участниками сделки, и, в частности, на состояние рыночного равновесия — результата обмена
по равновесным рыночным ценам.

Пример 48 ((экономика с однородными экстерналиями)):
Рассмотрим экономику с одним типом экстерналий, которые «производят» только произ-
водители и «потребляют» только потребители. В этой экономике на уровень благосостояния
10.7. Альтернативная модель экономики с экстерналиями 366

потребителя не влияет источник экстерналии, а только совокупное производство этих экстер-
налий, т. е.
ui (xi , a) = ui (xi , aj )
j?J

gj (yj , a) = gj (yj , aj ),
где aj ? Aj ? R. Охарактеризуем Парето-оптимальные состояния этой экономики, разные ти-
пы равновесий, а также налоги Пигу {tj } и цены экстерналий {qji } (в равновесии с торговлей
экстерналиями).
Рассмотрим сначала, Парето-оптимальное состояние экономики (? , y, a), такое что xi ?
x?? ?
int Xi , aj ? int Aj . Предположим, что существует благо k0 , удовлетворяющее условиям, ана-
?
логичным условиям (O). Дифференцируя функции Лагранжа задач, характеризующих это
состояние,

yjk ? (xik ? ?ik )),
L= ?i ui (xi , aj ) + µj gj (yj , aj ) + ?k (
i?I j?J j?J j?J i?I
k?K

получаем следующие условия первого порядка:
?L ?ui
? ?k = 0 ?i, k,
= ?i
?xik ?xik
?L ?gj
+ ?k = 0 ?j, k.
= µj
?yjk ?yjk
?L ?ui ?gj
= 0 ?j.
= ?i + µj
?aj ?a ?aj
i?I
Поскольку для соответствующих задач выполнены условия регулярности, то множители Лагран-
жа ?i и µj положительны.
Из дифференциальной характеристики Парето-оптимума следует, что
?gj /?yjk
?ui /?xik ?k
, ?i, ?j, ?k.
= =
?ui /?xik0 ?gj /?yjk0 ? k0
?ui /?a ?gj /?aj
, ?j.12
=
?ui /?xik0 ?gj /?yjk0
i?I
Охарактеризуем теперь обычные рыночные равновесия в этой экономике. Пусть p — цены
благ. Тогда задача потребителя, располагающего доходом ?i , имеет вид:

ui (xi , a) > max pxi ?i , xi ? Xi .
xi

Дифференциальная характеристика внутреннего решения этой задачи имеет вид
?ui /?xik pk
, ?k.
=
?ui /?xik0 pk 0
При тех же ценах задача производителя имеет вид:

pyj > max gj (yj , aj ) 0, aj ? Aj .
yj ,aj

Дифференциальная характеристика внутреннего (по aj ) решения этой задачи имеет вид
?gj /?yjk pk
, ?k.
=
?gj /?yjk0 pk0
12
Это соотношение в теории общественных благ называют уравнением Самуэльсона (см. следующую главу).
10.7. Альтернативная модель экономики с экстерналиями 367
?gj
= 0.
?aj
p???
Пусть (? , x, y, a) — равновесие. Тогда если экстерналии одного типа для всех потребителей
x??
(только положительные или только отрицательные), то состояние экономики (? , y, a) не опти-
мально по Парето. Например, если ?ui /?a 0 ?i и неравенство строгое по крайней мере для
одного потребителя, то
?ui /?a ?gj /?aj
=0= ,
?ui /?xik0 ?gj /?yjk0
i?I
что не совпадает с дифференциальной характеристикой Парето-оптимальных состояний.
В равновесии с налогами должно быть выполнено
tj ?gj /?aj
=? , ?j.
pk0 ?gj /?yjk0
Правило Пигу для оптимальных налогов имеет вид
tj ?ui /?a
=? , ?j.
pk0 ?ui /?xik0
i?I

Отсюда видно, что налоги Пигу одинаковы для всех производителей. С другой стороны, если
в равновесии налоги определены этими соотношениями, то равновесие удовлетворяет диф-
ференциальной характеристике Парето-оптимума, что при вогнутости функций полезности и
производственных функций гарантирует Парето-оптимальность.
Цены экстерналий в равновесии с торговлей экстерналиями удовлетворяют соотношениям
qij ?ui /?a
=? , ?i, ?j,
pk0 ?ui /?xik0
то есть не зависят от производителя, который создает экстерналии. Другими словами, мы
фактически имеем m рынков экстерналий по числу потребителей.
Если равновесие в экономике с налогами и равновесие в экономике с торговлей экстерна-
лиями соответствуют одному и тому же состоянию экономики, то налоги и цены экстерналий
связаны соотношениями
tj qij
, ?j.
=
pk 0 pk0
i?I



10.7.1 Задачи
 477. («Курение») Из двух соседей по комнате первый — некурящий, второй — курильщик.
Функции полезности имеют вид:

u1 = ln(x1 ) ? z 2 ,
u2 = ln(x2 ) ? 0,5z 2 + 10z.

Здесь xi — количество денег на другие блага, z — количество выкуренных 2-м сигарет, ?i —
начальные запасы денег.
(1) Предположим, что сигареты «бесплатные», т. е. производятся из денег с нулевыми из-
держками. Найти равновесие. Построить Парето-улучшение из равновесия (в дифференциа-
лах). Найти Парето-границу.
(2) Пусть теперь сигареты стоят p (т. е. производятся по технологии с постоянной отдачей
от масштаба). Найти равновесие и Парето-границу в зависимости от p. При каких значениях
p равновесие оптимально?
10.8. Экстерналии в квазилинейной экономике 368


10.8 Экстерналии в квазилинейной экономике
В этом параграфе будем рассматривать квазилинейную экономику с экстерналиями. В
этой экономике имеется l + 1 обычных благ. Предпочтения потребителей и технологии фирм
описываются функциями следующего вида13 :

ui (xi , zi , ai , a?i ) = vi (xi , ai , a?i ) + zi ,

где xi 0, ai ? Ai а объемы потребления (l + 1)-го (квазилинейного) блага, zi , могут быть
произвольными, и
gj (yj , rj , aj , a?j ) = rj ? cj (yj , aj , a?j ),
где, как обычно cj (·) — функция издержек, которая показывает затраты (l + 1)-го блага на
производство обычных благ в количестве yj 0 и экстерналий в количестве aj ? Aj .
Известно, что Парето-оптимальные состояния квазилинейной экономики характеризуются
следующей задачей:

vi (xi , a) ? cj (yj , a) > max
W (x, y, a) =
x,y,a
i?I j?J

xi = yj , (WE )
i?I j?J

a i ? Ai , aj ? Aj .
xi 0, yj 0,

Если ((? , z), (? , ?), a) — Парето-оптимальное состояние экономики, то (? , y, a) — решение
x? yr ? x??
x??
данной задачи. Обратно, если (? , y, a) — решение данной задачи, то найдутся числа zi и rj ,
? ?
такие что ((? , z), (? , ?), a) — Парето-оптимум.
x? yr ?
Функция W (x, y, a) является индикатором благосостояния данной экономики.
x?
Воспользуемся приведенной характеристикой Парето-оптимальных состояний. Пусть ((? , z),
(? , ?), a) — Парето-оптимум, такой что ai ? int Ai и aj ? int Aj , а функции полезности и из-
yr ? ? ?
держек дифференцируемы. Дифференцируя функцию Лагранжа данной задачи,

vi (xi , a) ? yjk ?
L= cj (yj , a) + ?k ( xik ),
i?I j?J j?J i?I
k?K

получаем следующие условия первого порядка:

?vi ?vi
= ?k , если xik > 0, ?i, k,
?k ?
и
?xik ?xik

?cj ?cj
= ?k , если yjk > 0, ?j, k,
?k ?
и
?yjk ?yjk
?vi ?vs ?cj
, ?e ? Ei .
+ =
?aie s=i ?aie j?J ?aie

?vi ?cj ?cs
, ?e ? Ej .
= +
?aje ?aje s=j ?aje
i?I

Охарактеризуем теперь обычные рыночные равновесия в этой экономике. Пусть p — цены
первых l благ. Цену (l + 1)-го блага будем считать равной 1. При этих ценах потребление
? ?
первых l благ xi и создание экстерналий ai потребителем i определяется на основе решения
13
См. главу, посвященную «классической» квазилинейной экономике.
10.8. Экстерналии в квазилинейной экономике 369

следующей задачи, которая получается из обычной модели поведения потребителя подстанов-
кой бюджетного ограничения с учетом вида функции полезности:

<< Предыдущая

стр. 85
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>