<< Предыдущая

стр. 87
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

тировки фиаско рынка.
Парето-оптимум.
Индикатор благосостояния для данной экономики имеет вид

W = v1 (y1 ) + v2 (y2 ) ? c1 (y1 ) ? c22 (y2 ) ? c21 (y1 ).

Дифференцируя его, получаем следующую дифференциальную характеристику Парето-опти-
мальных состояний:
v1 (?1 ) = c1 (?1 ) + c21 (?1 ),
y y y
v2 (?2 ) = c22 (?2 ).
y y
Если общие издержки c1 (y1 )+c21 (y1 ) не убывают, то при сделанных выше предположениях, эта
дифференциальная характеристика однозначно определяет объемы производства первых двух
благ в Парето-оптимальных состояниях. Поэтому мы можем говорить о Парето-оптимальных
объемах производства y1 и y2 .
? ?
Рыночное равновесие.
Поскольку обратные функции спроса и обратные функции предложения имеют вид:

pD (y1 ) = v1 (y1 ), pD (y1 ) = v2 (y2 ),
1 2

pS (y1 ) = c1 (y1 ), pS (y1 ) = c22 (y2 ),
1 2

то рыночное равновесие определяет следующая дифференциальная характеристика (равен-
ство цен спроса и предложения на обоих рынках):

v1 (?1 ) = c1 (?1 ),
y y

v2 (?2 ) = c2 2(?2 ).
y y
Сепарабельность функции полезности приводит к независимости объемов спроса и предло-
жения первого и второго блага от других благ и поэтому позволяет анализировать их рынки
независимо друг от друга. В дальнейшем мы будем характеризовать только рынок первого бла-
га, так как характеристики рынка второго не зависят от выбранных способов регулирования
первого. Заметим также, что отсутствие внешнего влияния первого производителя на второго
приводит к тому, что производство второго блага в рыночном равновесии равно его количе-
ству в каждом Парето-оптимальном состоянии y2 = y2 (Парето-оптимальному количеству). С
? ?
другой стороны, сравнивая характеристики равновесного и Парето-оптимального количества
первого блага, можем заключить, что при сделанных предположениях относительно внешних
влияний (отрицательные экстерналии) выполнено y1 < y1 . Это следует из того, что функция
? ?
v1 (y1 ) ? c1 (y1 ) убывает, равна c21 (?1 ) > 0 при y1 = y1 и равна 0 при y1 = y1 .
y ? ?
Рис. 10.2 показывает оптимальный y1 и равновесный y1 выпуски первого производителя и
? ?
иллюстрирует причину фиаско рынка: первый производитель в своих расчетах издержек и до-
хода принимает во внимание только часть действительных предельных издержек, связанных
с производством первого блага. Здесь c1 (y1 ) — частные предельные издержки 1-го предприя-
тия, а c1 (y1 ) + c21 (y1 ) — общественные предельные издержки. Разница, c21 (y1 ), соответствует
предельному ущербу от экстерналии.
10.8. Экстерналии в квазилинейной экономике 374

pD (y1 )=v1 (y1 )
1 c1 (y1 )+c21 (y1 )



c1 (y1 )




y1
y1
? y1
?


Рис. 10.2.


Квотирование.
При количественном ограничении (квоте) на объем выпуска первого производителя в раз-
мере y1 = y1 равновесие с квотами на рынке 1-го блага установится при цене p1 = p1 (?1 ) и
? ? y
объеме производства y1 .
?
Налог Пигу .
Ставка налога Пигу на загрязнение равна

t = c21 (?1 ),
y

поскольку при таком налоге равновесие с налогами Парето-оптимально. Действительно, реше-
нием задачи 1-го производителя,

?1 (y1 ) = p1 y1 ? c1 (y1 ) ? ty1 > max,

при цене первого блага p1 = pD (?1 ) является величина y1 .
1y ?
Дотации за сокращение загрязнений.
Другое возможное решение проблемы экстерналий — дотации за уменьшение объема их
производства ниже некоторой установленной квоты y1 . Пусть s — ставка такого дотационного
?
возмещения. Тогда прибыль от выпуска y1 единиц продукции в условиях дотаций приносит
прибыль в размере
?1 (y1 ) = p1 y1 ? c1 (y1 ) + s(?1 ? y1 ),
y
и поэтому достигает максимального размера при объеме выпуска y1 (единиц продукции),
который определяется из уравнения

p1 = c1 (y1 ) + s.

Как и выше, ставка дотационных выплат в размере s = c21 (?1 ) при цене первого блага p1 =
y
D (? ) обеспечивает производство оптимального объема продукции y (и оптимального объема
p1 y 1 ?1
экстерналий). Это означает, что p1 = pD (?1 ) — цена равновесия на рынке 1-го блага при таком
1y
выборе ставки дотаций.
Заметим, что величина квоты не влияет на равновесие на рынке первого блага. При y1 = 0
?
дотация оказывается налогом, так как в равновесии y1 > y1 = 0.
?
Торговля экстерналиями.
Напомним, что К. Эрроу видел проблему экстерналий в отсутствии рынка экстерналий.
Предположим, что существует рынок экстерналий и пусть цена единицы экстерналии состав-
ляет q . Объем производства экстерналий обозначим a.
Тогда задача первого производителя имеет вид

?1 = p1 y1 ? qa ? c1 (y1 ) > max, y1 = a,
y1 ,a
10.8. Экстерналии в квазилинейной экономике 375

а задача второго производителя имеет вид

?2 = p2 y2 + qa ? c22 (y2 ) ? c21 (a) > max .
y2 ,a

Покажем, что цены p1 = pD (?1 ), p2 = pD (?2 ) и q = c21 (?1 ) являются ценами равновесия на
1y 2y y
рынках первых двух благ и экстерналий, а равновесные объемы производства будут равны
y 1 = a = y 1 и y 2 = y2 .
? ?
Предложение экстерналий (их производство первым производителем) составляет тогда ве-
личину a, определенную соотношением

p1 ? q = c1 (a),

а спрос — соотношением
q = c21 (a).
Равновесие (равенство спроса и предложения) на рынке экстерналий определяет объем их
производства, удовлетворяющий соотношению

p1 = c1 (a) + c21 (a).

При p1 = pD (?1 ) решением этого уравнения является y1 .
1y ?
При указанных ценах и объемах производства первых двух благ цены спроса и предложе-
ния на первые два блага равны:

pD (y1 ) = c1 (y1 ) + c21 (y1 ) = pS (y1 )
1 1

и
pD (y2 ) = c2 2(y2 ) = pS (y1 ),
2 2

что означает, что соответствующие цены являются равновесными.

10.8.1 Задачи
 478. Прибыль птицефабрики (фирмы 1) находится в зависимости от того, насколько сильно
два алюминиевых завода (фирмы 2 и 3) загрязняют атмосферу. Цена на кур равна 6, цена
на алюминий равна 2. Функции издержек равны
2
c1 = 2y1 + y1 (y2 + y3 ),
2
ci = 0,5yi , i = 2, 3,
где y1 — объем производства кур, y2 , y3 — объем производства алюминия. Найдите (а) равно-
весные объемы производства, (б) Парето-оптимальные объемы производства (подразумевая,
что фирмы могут делиться прибылью), (в) налоги/дотации Пигу, (г) равновесную цену экс-
терналии и объемы производства при торговле экстерналиями.
 479. Фирма 1 — пивзавод — сбрасывает в реку отходы, что уменьшает доходы двух оди-
наковых рыболовецких предприятий (фирмы 2 и 3). Цена на пиво равна 12, цена на рыбу
равна 8. Функции издержек равны
2
c1 = 2y1 ,
2
ci = 1,5yi + 2y1 yi , i = 2, 3,
где y1 — выпуск пива, y2 , y3 — улов рыбы. Найдите (а) равновесные объемы производства,
(б) Парето-оптимальные объемы производства (подразумевая, что фирмы могут делиться при-
былью), (в) налоги/дотации Пигу, (г) равновесную цену экстерналии и объемы производства
при торговле экстерналиями.
10.9. Слияние и торг 376

 480. Две фирмы оказывают друг на друга внешние влияния. Цена на продукцию 1-й фирмы
равна 13, цена на продукцию 2-й фирмы равна 11. Функции издержек равны соответственно
2 2
c1 = 2y1 + 4y1 y2 + y2 ,
2 2
c2 = 3/2y2 + 2y1 y2 + 3/2y1 ,
где yj 0 — объемы выпуска. Найдите (а) равновесные объемы производства, (б) Парето-
оптимальные объемы производства, (в) квоты, обеспечивающие Парето-оптимум, (г) нало-
ги/дотации Пигу. Сравните прибыли в каждой из ситуаций.
 481. («Садовод и пчеловод») Один из двух соседей — садовод — принимает ежегодно реше-
ние об объеме производства яблок (apples) ya 0, а второй — пчеловод — об объеме произ-
водства меда (honey) yh 0. Цены этих товаров экзогенны (т. е. ищем частное равновесие) и
равны pa , ph соответственно. Издержки обоих зависят от действий соседа, т. е. они имеют вид
ca (ya , yh ), ch (ya , yh ), причем функции дифференцируемы и известно, что ?ca (ya , yh )/?yh < 0
и ?ch (ya , yh )/?ya < 0, т. е. издержки сбора яблок убывают в зависимости от количества пчел
yh , а издержки сбора меда убывают по переменной ya . Цель обоих — максимизация своей
прибыли
?j = pj yj ? cj (yj , y?j )(j = a, h).
Покажите, что внутреннее нерегулируемое равновесие здесь всегда не оптимально (где оп-
тимум определяется по максимуму совокупной прибыли), причем объем производства обоих
недостаточен (по крайней мере, локально). Постройте локальное Парето-улучшение.
 482. [MWG] На ферме Джонса производится только мед. Существуют два способа производ-
ства меда: без пчел и с пчелами. По первому способу ведро искусственного меда (неотличимого
от настоящего) производится из 1 галлона кленового сиропа с использованием единицы тру-
да. То же самое количество меда можно произвести традиционным способом (с пчелами). Для
этого потребуется k единиц труда и b пчел. В обоих случаях ферма Джонса приспособлена к
производству не более чем H ведер меда.
На соседней ферме, принадлежащей Смиту, выращиваются яблоки. Если имеются пчелы,
то требуется меньше труда, так как тогда опыление производится пчелами, а не работниками,
при этом c пчел заменяют одного работника. Ферма Смита позволяет вырастить A бушелей
яблок.
Предположим, что рыночная ставка заработной платы равна w , цена пчелы — pb , а цена
галлона кленового сиропа — pm . Каждый фермер производит максимально возможное коли-
чество продукции, минимизируя издержки (предполагается, что рыночные цены таковы, что в
оптимуме производство окупается). Является ли это состояние экономики эффективным? Как
оно зависит от параметров k, b, c, w, pb , pm ? Дайте интуитивное объяснение результата. Сколь-
ко Смит будет готов предложить Джонсу за то, чтобы он производил мед с помощью пчел?
Была бы достигнута эффективность, если бы обе фермы принадлежали одному человеку?
Какие налоги должно ввести правительство для достижения эффективности?


10.9 Слияние и торг
Малочисленность участников торговли экстерналиями позволяет заключить, что конку-
рентный рынок как механизм перераспределения прав собственности (контроля над произ-
водством экстерналий) не может возникнуть — здесь мы сталкиваемся с типичным случаем
двухсторонней монополии при любом определении прав собственности. Поэтому уместно рас-
смотреть и другие варианты механизмов координации действий экономических субъектов,
связанных между собой посредством экстерналий.
10.9. Слияние и торг 377

Слияние
Выше в Примерах 44 и 50 мы рассмотрели экстерналии в производстве, которыми затро-
нуты две фирмы. Поскольку экстерналиями затронуты только эти две фирмы, то естественно
было бы рассмотреть возможность их объединения в одну фирму.
Пример 51 ((продолжение Примера 44, с. 345)):

В результате слияния предприятий образуется фирма, максимизирующая суммарную при-
быль
?? = p1 y1 + p2 y2 ? p3 (a1 + a2 )
по объемам производства и yj и затратам труда aj при технологических ограничениях

y1 f1 (a1 , y2 ) и y2 f2 (a2 , y1 ).

Лагранжиан этой задачи имеет вид

L = p1 y1 + p2 y2 ? p3 (a1 + a2 ) + ?1 (f1 (a1 , y2 ) ? y1 ) + ?2 (f2 (a2 , y1 ) ? y2 ).

Дифференцируя лагранжиан и приравнивая производные к нулю, получим следующую диф-
ференциальную характеристику решения задачи максимизации суммарной прибыли:

p1 1 ?f2 /?y1 p2 1 ?f1 /?y2
? ?
= = .
и
p3 ?f1 /?a1 ?f2 /?a2 p3 ?f2 /?a2 ?f1 /?a1

Учитывая дифференциальную характеристику решения задачи потребителя,

?u/?x1 p1 ?u/?x2 p2
= =.

<< Предыдущая

стр. 87
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>