<< Предыдущая

стр. 9
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? x2
0

Однако преобразование ln(·) нельзя применить к значениям функции u(x) в точках, где
v
x1 = 0 или x2 = 0. В качестве упражнения читатель может проверить, что · является
подходящим преобразованием, дающим вогнутую функцию.

Рассмотренные выше свойства выпуклости и строгой выпуклости предпочтений тесно свя-
заны с понятием предельной нормы замены28 . Напомним, что под предельной нормой замены
i-ым благом j -ого понимается величина

ui (x)
M RSij (x) = ? .
uj (x)

Покажем, что из выпуклости предпочтений следует закон неубывания предельной нормы за-
мены. При этом будем предполагать, что предпочтения потребителя представимы непрерывно
дифференцируемой квазивогнутой функцией полезности u : Rn > R.+
Содержательно, норма замены указывает на то количество блага j , на которое необходимо
сократить потребление этого товара в обмен на увеличение потребления блага i с тем, чтобы
уровень полезности потребителя и количество всех остальных товаров оставались неизменны-
ми. Таким образом, в случае если количество блага i изменяется на дифференциально малую
величину dxi , то для того, чтобы потребитель остался на той же самой кривой безразличия
u(x) = u , количество блага j при условии что количество остальных благ остается неизменным
?
должно измениться на величину dxj такую что

ui (x)dxi + uj (x)dxj = 0.

Возьмем некоторую кривую безразличия и зафиксируем количества всех благ, кроме i-го
и j -го. Уравнение u(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xl ) = u задает для данного уровня полезности u
? ?
зависимость xj от xi как неявную функцию xi (xj ). Предельная норма замены равна наклону
функции xi (xj ):
dxj (xi ) u (x)
=? i = M RSij (x).
dxi uj (x)

Проверим, что закон неубывания предельной нормы замены выполняется, если функция
полезности квазивогнута, или, что тоже самое, предпочтения выпуклы. Для этого докажем,
что функция xi (xj ) выпукла.
28
Возможно, что впервые связь между поведением предельной нормы замены и выпуклостью предпочтений
было отмечена Джоном Хиксом и Роем Алленом: «Принцип убывающей предельной полезности должен усту-
пить место возрастающей предельной нормой?? замены. . . . Это условие выражается на диаграмме безразличия
с помощью кривых безразличия, выгнутых по направлению к осям». См. J. R. Hicks and R. G. D. Allen: A
Reconsideration of the Theory of Value: Part I, Economica, New Series 1 (1934): 52–76 (рус. пер. Дж. Р. Хикс и
Р. Г. Д. Аллен: Пересмотр теории ценности, в кн. Теория потребительского поведения и спроса, В. М. Гальпе-
рин (ред.), СПб.: Экономическая школа, 1993: 117–141).
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 40

Пусть xi и xi — некоторые количества i-го блага, и пусть x и x — наборы, в которых
xi = xi , xj = xj (xi ) и xi = xi , xj = xj (xi ) соответственно. Рассмотрим набор x? , являющийся
выпуклой комбинацией наборов x и x (? ? [0, 1]):

x? = ?x + (1 ? ?)x ,

а также набор x? , в котором xi = x? = ?xi +(1??)xi и xj = xj (x? ). По определению функции
i i
xi (xj ) наборы x , x и x? эквивалентны. С другой стороны, из выпуклости предпочтений
x? . В наборах x? и x? все блага, кроме
следует, что x? x ? x . Таким образом, x?
j -го, содержатся в одинаковых количествах. Если предположить, что функция полезности
возрастает по j -му благу, то должно быть, x? xj (x? ) где x? = ?xj (xi ) + (1 ? ?)xj (xi ). Этим
j i j
мы доказали выпуклость функции xj (xi ).
Производная выпуклой функции не убывает (см. Рис. 2.10). Таким образом, в случае вы-
пуклости предпочтений имеем выполнение закона неубывания предельной нормы замены («убы-
вания предельной полезности»).

xj
xj (xi )




xi
xi xi


Рис. 2.10. Неубывание предельной нормы замены для выпуклых предпочтений

Отметим, что в некотором смысле верно и обратное, т. е. выпуклость предпочтений экви-
валентна неубыванию предельной нормы замены29 .
В приложениях экономической теории очень часто рассматриваются также дополнитель-
ные свойства предпочтений, которые налагают более сильные требования на функцию полез-
ности. Так, например, в макроэкономике при рассмотрении поведения агрегированного потре-
бителя часто предполагается выполнение свойства гомотетичности.
Определение 13:
Предпочтения называются гомотетичными, если
• для каждого положительного t tx ? X тогда и только тогда, когда x ? X .

• для каждого положительного t соотношение tx ? ty выполняется тогда и только тогда,
когда выполняется соотношение x ? y .

Гомотетичные предпочтения называют так, поскольку геометрически кривые безразличия
гомотетичны относительно начала координат. Рис. 2.11 иллюстрирует понятие гомотетичных
предпочтений. Наборы x и y , лежащие на кривой безразличия I , получаются из наборов
x и y , лежащих на кривой безразличия I , умножением на одно и то же положительное
число t (x = tx и y = ty ).
29
Доказательство этого факта см. в K. J. Arrow and A. C. Enthoven: Quasi-Concave Programming, Econo-
metrica 29 (1961): 779–800.
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 41

x2
x


x

y
I
y
I
x1


Рис. 2.11. Монотонные гомотетичные предпочтения

Опираясь на схему доказательства существования функции полезности, представляющей
строго монотонные предпочтения, приведенного в предшествующем параграфе (см. Теоре-
му 10), легко показать, что для строго монотонных и гомотетичных предпочтений существует
положительно однородная функция полезности, представляющая эти предпочтения. Особен-
ностью положительно однородной функции полезности является то, что предельная норма
замены для любой пары товаров остается неизменной на луче tx. Это полезное свойство экви-
валентно тому, что кривые Энгеля30 являются лучами, выходящими из начала координат. Кро-
ме того, при выполнении этого свойства, свойств локальной ненасыщаемости, непрерывности
и выпуклости, неоклассические предпочтения допускают представление вогнутой функцией
полезности31 .
В теории отраслевых рынков и других областях микроэкономики важную роль играют
предпочтения, обладающие свойством квазилинейности.
Определение 14:
Предпочтения называются квазилинейными по l -му благу, если
• для каждого положительного t из x ? X следует x + tel ? X ;
• для каждого положительного t и x, y ? X из x ? y следует x + tel ? y + tel .


x2




x1


Рис. 2.12. Квазилинейные предпочтения

Предпочтения, обладающие данным свойством, допускают представление функцией полез-
ности вида u(x) = u(x?l ) + axl . Эта функциональная форма задает такую систему функций
?
30
См. Определение 28 на с. 92.
31
Подробнее см. J. T. Rader: Theory of Microeconomics, New York: Academic Press, 1972, pp. 166–167.
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 42

спроса, что спрос на первые l ? 1 благо не зависит от дохода и, тем самым, для этих благ
полностью отсутствует эффект дохода. Данное свойство оказывается полезно при обсуждении
агрегирования предпочтений и выяснении влияния изменения параметров модели (например,
цен и доходов) на благосостояние потребителя.
Наконец в макроэкономике обычно рассматриваются аддитивно-сепарабельные функции
полезности, т. е. функции полезности вида u(x) = l ui (xi ). Если предпочтения потребите-
i=1
ля описываются функцией такого вида, то они обладают следующим очевидным свойством:
рассмотрим произвольную группу благ N (N ? {1, . . . , l}), а все остальные блага обозначим
через ?N ; при этом ранжировка потребительских наборов x = (xN , x?N ) и x = (xN , x?N )
не зависит от значения x?N . Данное соображение мотивирует следующее определение:
Определение 15:
Предпочтения называются сепарабельными (строго сепарабельными), если

• множество допустимых потребительских наборов имеет вид X = X1 ? · · · ? Xl ;

• для допустимых наборов (xN , x?N ) и (xN , x?N ) выполнено (xN , x?N ) (xN , x?N ), то
(xN , x?N ) (xN , x?N ) для всех x?N ? ?i??N Xi ? где N — произвольное подмножество
множества благ.

Известно, что непрерывные предпочтения сепарабельны тогда и только тогда, когда они
могут быть представлены непрерывной аддитивно-сепарабельной функцией полезности32 . Из
свойств сепарабельных предпочтений отметим, во-первых, что для них предельная норма за-
мены зависит только от количества двух рассматриваемых благ, во-вторых, что если все эле-
ментарные функции ui (·) являются вогнутыми, что и в целом функция полезности является
вогнутой. Кроме того, данный тип предпочтений позволяет нам гарантировать отсутствие то-
варов Гиффена и другие полезные свойства функции спроса.

2.5.1 Задачи
 44. A) «. . . выберем x1 ? x2 . Точка x1 представляет набор, содержащий ‘экстремально
большую’ долю блага x1 по сравнению с набором x2 . Набор x2 , наоборот, содержит экстре-
мально большую долю другого блага, x2 , по сравнению с набором x1 . Хотя каждый из наборов
содержит относительно высокую долю одного из благ по сравнению с другим набором, для
потребителя эти наборы равнозначны. При этом любая выпуклая комбинация x1 and x2 , та-
кая как xt , будет являться набором, содержащим более ‘сбалансированное’ сочетание x1 и x2 ,
чем каждый из ‘экстремальных’ наборов x1 или x2 »33 .
Б) «Условие выпуклости. . . чрезвычайно важно и более ограничительно. Оно означает, что
если каждый из двух векторов x , x предпочитается третьему вектору x, то любая их ‘смесь’
?x +(1??)x , 0 ? 1 также считается лучше x. Вполне вероятно, что вы любите виноград-
ный и томатный соки больше яблочного, но это вовсе не означает, что вы предпочтете выпить
вместо стакана яблочного стакан смеси из виноградного и томатного соков. Однако в теорети-
ческих рассуждениях обычно рассматривают потребление за более длительный промежуток
времени, например за год. Тогда выпуклость предпочтений в приведенном выше примере озна-
чает, что если вы предпочитаете виноградный и томатный соки яблочному, то вы готовы также
пить часть года первый из них, а оставшуюся часть — второй вместо яблочного круглый год.
Такое допущение вполне правдоподобно, хотя возможны и возражения. Одно из них состоит
в том, что предпочтение зависит от способа чередования напитков в течении года. Другое,
32
Подробнее о сепарабельности предпочтений см. A. P. Barten and V. Bohm: Consumer Theory, in Handbook
of Mathematical Economics, vol. II, K. J. Arrow and M. D. Intrilligator (ed.), North Holland, 1982 (pp. 392–394), и
содержащиеся там ссылки.
33
G. A. Jehle and P. J. Reny: Advanced Microeconomic Theory, Addison-Wesley, 1998, p. 118
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 43

быть может, более существенное, относится к самому методу описания поведения: мои предпо-
чтения могут меняться в зависимости от многих причин, например от самочувствия, так что
говорить о предпочтении одного потребительского набора другому не имеет смысла»34 .
Прокомментируйте эти цитаты. Согласны ли вы с ними? Если нет, то почему?
 45. Покажите, что строго монотонные предпочтения локально ненасыщаемы. Приведите
пример монотонных предпочтений, не обладающих свойством локальной ненасыщаемости.
 46. Приведите пример выпуклых локально ненасыщаемых предпочтений, которые не обла-
дают свойством монотонности.
 47. Покажите, что строго выпуклые монотонные предпочтения локально ненасыщаемы.
 48. Покажите, что если непрерывные предпочтения заданы на компактном множестве X ,
то они не могут обладать свойством локальной ненасыщаемости.
 49. ??Будем говорить, что предпочтения являются сильно монотонными, если они монотон-
ны и существует по крайней мере одно благо, большее количество которого всегда предпо-
читается меньшему. Запишите формально это определение. Как это свойство соотносится со
строгой монотонностью? Покажите, что из свойства сильной монотонности следует свойство
локальной ненасыщаемости.
 50. Покажите, что предпочтения потребителя выпуклы тогда и только тогда, когда выпукло
любое верхнее лебеговское множество L+ (x) = { y ? X y x }.
 51. Приведите пример непрерывной квазивогнутой функции полезности, не являющейся
монотонной.
 52. Покажите, что если функция полезности строго вогнута, то представляемые ею предпо-
чтения строго выпуклы.
 53. Покажите, что функция полезности строго квазивогнута тогда и только тогда, когда
представляемые ею предпочтения строго выпуклы.
 54. Покажите, что если дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности строго
вогнута, то для этой функции выполняется закон Госсена об убывании предельной полезности.
Верно ли утверждение о том, что из закона Госсена не следует выпуклость предпочтений?
 55. Докажите Теорему 11.
 56. Покажите, что предпочтения, задаваемые положительно однородной (первой степени)
функцией полезности, являются гомотетичными.
 57. Покажите, что предпочтения, задаваемые квазилинейной функцией полезности, явля-
ются квазилинейными.
 58. Покажите, что предпочтения, задаваемые аддитивно-сепарабельной функцией полезно-
сти, являются сепарабельными.
 59. Покажите, что непрерывные гомотетичные предпочтения представимы однородной функ-
цией полезности.
 60. Известно, что непрерывные и гомотетичные предпочтения на Rn представимы адди-
+
тивно-сепарабельной функцией полезности (т. е. u(x) = ui (xi )). Покажите, что функция
вида
ai x? —
u(x) = i
единственная (с точностью до монотонно возрастающего преобразования) функция, удовлетво-
ряющая этим требованиям. Каковы ограничения на параметры ai и ? в случае, если, кроме
того, предпочтения обладают свойством строгой монотонности? Докажите, что следующая
функция полезности (CES-функция)
1/?
?i x?
u? (x) = ,
i

34
В. М. Полтерович: Экономическое равновесие и хозяйственный механизм, М.: Наука, 1990, с. 10.
2.5. Свойства предпочтений и функции полезности 44

ai x? 35 .
?i = 1, ?i 0, соответствует тем же предпочтениям, что и u(x) =

<< Предыдущая

стр. 9
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>