<< Предыдущая

стр. 91
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

ма для финансирования блага. Она делает невозможным распределение этого блага посред-
ством обычного конкурентного рынка, на котором цена единая и потребители и производители
считают невозможным для себя повлиять на эту цену.
Неисключаемость создает дополнительную проблему — проблему финансирования обще-
ственного блага, которую часто называют проблемой безбилетника. Ей, в основном, и посвящена
эта глава4 .
Пример «трагедии общин» является иллюстрацией того, что неисключаемость может обу-
славливаться существующими в обществе институтами, и указывает одно из направлений, в
котором может получить разрешение проблема безбилетника — установление собственности
на коллективные блага, чтобы собственник имел право не допускать других субъектов к по-
треблению принадлежащего ему блага. В этой главе мы рассмотрим другие решения проблемы
безбилетника5 .




4
Важно понимать, что для обычных, частных благ неисключаемость (невозможность не допустить к по-
треблению) создает еще более серьезную проблему; количество общественного блага по крайней мере не умень-
шается от того, что его потребляет кто-то другой. Напротив, отсутствие охраны законом и/или моралью прав
собственности на частные блага (например, на урожай огородов в России) быстро приводит к их исчезнове-
нию. Таким образом, мы наблюдаем существование только тех частных благ, права собственности на которые
удается гарантировать (исключаемые блага).
5
Укажем на два вида рыночных решений этой проблемы, которые отличаются распределением прав соб-
ственности. Как мы видели при рассмотрении экстерналий (и увидим в дальнейшем при обсуждении рав-
новесия Линдаля), назначение индивидуализированной цены для каждого потребителя обеспечивает Парето-
оптимальность равновесия. Близкий аналог индивидуализированной платы за коллективное благо — ценовая
дискриминация (англ. discrimination - неодинаковое отношение) при продаже монопольных продуктов. Если
производитель точно знает предпочтения каждого потребителя (и умеет предотвращать воровство — несанк-
ционированное копирование), то монопольное равновесие с индивидуальными ценами окажется Парето-эффек-
тивным. При этом цены должны различаться не только в зависимости от потребителя, но и в зависимости от
количества, купленного потребителем (индивидуальная цена на каждую единицу блага). Для коллективных
благ характерно наличие больших капитальных затрат (англ. lump-sum costs) и небольших затрат на обеспе-
чение потребления их дополнительным субъектом (например, издержки копирования информации). Обычное
для конкурентных рынков установление цены по предельным издержкам здесь невозможно, поскольку не бу-
дут окупаться капитальные затраты. Таким образом, рынок благ коллективного потребления имеет тенденцию
к монополизации — уменьшается количество фирм и увеличиваются их размеры, так что каждая отдельная
фирма получает возможность влиять на цену. Это позволяет проводить ценовую дискриминацию — назначать
разные цены для разных потребителей.
Другое решение той же проблемы — кооператив (или клуб) потребителей. Кооператив собирает деньги на
приобретение блага от своих членов, а затем распределяет благо между ними, не допуская к потреблению не
членов.
По сути дела, и коммерческая фирма, и кооператив решают одну и ту же задачу — задачу дискриминации:
распределить финансирование общих затрат между потребителями в зависимости от их потребностей. Грубо
говоря, платить должен тот, кому благо нужно в большей степени и кто готов больше заплатить. Вопрос
состоит в том, какой из этих институтов может лучше справиться с задачей.
11.1. Экономика с общественными благами 391


11.1 Экономика с общественными благами
Введем теперь модель экономики с общественными благами, которая отличается от класси-
ческой модели введением общественных благ. Обозначим через K1 множество общественных
благ, а через K2 — множество частных благ. Поскольку мы не различаем доступное для
потребления и потребляемое количество общественного блага, то можно считать, что в потре-
бительские функции прямо входит общий имеющийся объем общественного блага xk , поэтому
потребительский набор i-го потребителя приобретает вид
(2)
xi = ({xk }k?K1 , {xik }k?K2 ) = (x(1) , xi ).

Будем предполагать, что множество допустимых потребительских наборов i-го потребителя
Xi имеет следующую структуру:
(2)
Xi = X (1) ? Xi ,
(2)
так что xi = (x(1) , xi ) ? Xi тогда и только тогда, когда
(2) (2)
x(1) ? X (1) и xi ? Xi .

Состояние (x, y) экономики с общественными благами является допустимым, если выполнены
следующие соотношения (напомним, что начальные запасы общественных благ мы считаем
равными нулю):

xi ? Xi , ?i ? I,
yjk , ?k ? K1 , ?i ? I,
xk =
j?J

?ik , ?k ? K2 ,
xik = yjk +
i?I j?J i?I

0, ?j ? J.
gj (yj )

Как и в рассматриваемых ранее моделях, каждое Парето-оптимальное состояние эконо-
мики с общественными благами может быть охарактеризовано как решение m задач опти-
мизации. На их основе можно получить дифференциальную характеристику множества Па-
рето-оптимальных состояний экономики с общественными благами в случае, когда функции
полезности и производственные функции дифференцируемы.
x?
Итак, допустимое состояние экономики (? , y), является Парето-оптимальным тогда и толь-
ко тогда, когда оно является решением следующих оптимизационных задач (i0 = 1, . . . , m):

ui0 (xi0 ) > max
x,y

xi ? Xi , ?i ? I,
ui (? i ), ?i = i0 ,
ui (xi ) x
0, ?j ? J,
gj (yj )
yjk , ?k ? K1 ,
xk =
j?J

?ik , ?k ? K2 .
xik = yjk +
i?I j?J i?I

Последнее равенство выражает материальные балансы для общественных благ, и только
оно отличает эту задачу от соответствующей задачи для классической экономики. Соответ-
11.1. Экономика с общественными благами 392

ствующий этим задачам лагранжиан (в котором пропущены константы ui (? i )) имеет вид:
x

L= ?i ui (xi ) + µj gj (yj ) +
i?I j?J

yjk ? xk ) + ?ik ?
+ ?k ( ?k ( yjk + xik ).
j?J j?J i?I i?I
k?K1 k?K2

Если функции полезности ui (·) и производственные функции gj (·) дифференцируемы, то,
дифференцируя лагранжиан, получим характеристику внутреннего Парето-оптимума (т. е.
при обычном предположении, что xi ? int Xi ).
?
Тогда для любой из указанных выше задач справедливо следующее утверждение (теорема
Джона Фрица): существуют (не все равные нулю) множители Лагранжа (?i , µj , ?k )такие,
что ?i 0 ?i, µj 0 ?j , и

?L ?L
= 0 ?i ? I, ?k ? K1 , = 0 ?i ? I, ?k ? K2 ,
?xk ?xik
?L
= 0 ?j ? J, ?k ? K.
?yjk
Условие регулярности (линейная независимость градиентов ограничений соответствующей
задачи) гарантирует, что можно найти такой набор множителей Лагранжа, что ?i0 = 1. В
рассматриваемом случае выполнение условия регулярности можно гарантировать, например, в
случае, если в любом допустимом состоянии экономики для каждого потребителя i существует
частное благо k ? K2 , такое что ?ui (xi )/?xik > 0, а для каждого производителя j существует
частное благо k ? K2 , такое что ?gj (yj )/?yjk < 0.
В этом случае, исключив из необходимых условий экстремума множители Лагранжа6 , по-
лучим дифференциальную характеристику оптимума:
?gj (? j )/?yjk
y
?ui (? i )/?xk
x
, ?i ? I, ?j ? J, ?k ? K1 ,
=
?ui (? i )/?xik0
x ?gj (? j )/?yjk0
y
i?I
?gj (? j )/?yjk
y
?ui (? i )/?xik
x
, ?i ? I, ?j ? J, ?k ? K2 ,
=
?ui (? i )/?xik0
x ?gj (? j )/?yjk0
y

где k0 ? K1 — частное благо, такое что ?k0 = 0.
Второе из полученных соотношений называют уравнением Самуэльсона7 . Оно говорит, что
сумма предельных норм замещения общественного блага на частное в потреблении равна
предельной норме замещения общественного блага на частное в производстве.
Уравнение Самуэльсона иллюстрирует Рис. 11.1 («диаграмма Самуэльсона»)8 . На трех сов-
мещенных графиках ось ординат соответствует производству и потреблению общественного
блага. Для того, чтобы найти Парето-оптимум, следует задаться некоторой кривой безразли-
чия одного из потребителей, например, 2-го. На третьем графике кривая производственных
возможностей совмещена с выбранной кривой безразличия. Расстояние по горизонтали между
этими кривыми показано на первом графике в виде кривой. Точка касания с кривой безразли-
чия 1-го потребителя соответствует набору 1-го потребителя в Парето-оптимуме. Задавшись
другой кривой безразличия 2-го потребителя, мы нашли бы другой оптимум.
6
Проверьте, что множители Лагранжа ?i > 0 ?i , µj > 0 ?j и существует по крайней мере одно благо
k0 ? K1 , такое что ?k0 > 0 .
7
P. A. Samuelson: The Pure Theory of Public Expenditure, Review of Economics and Statistics 36 (1954):
387–389. См. также статью Г. Боуэна, упомянутую в сноске 18.
8
P. A. Samuelson: Diagrammatic Exposition of a Theory of Public Expenditure, Review of Economics and Sta-
tistics 37 (1955): 350–356. Существуют и другие иллюстрации уравнения Самуэльсона. См. напр. Рис. 11.4
(«диаграмму Кольма») и комментарий к нему.
11.2. Квазилинейная экономика с общественными благами 393
кривая
2-й потребитель
1-й потребитель
производственных
y1
x1
возможностей
y1
?
x1
?

u2 =?2
u
u2 =?2
u


y2 +?2?
x22
x21
? x21 x22
? y2 +?2?
?

Рис. 11.1. Иллюстрация условий Парето-оптимальности для экономики с общественным
благом

11.1.1 Задачи
 489. Уравнение Самуэльсона связывает . . .
а) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены
в производстве;
б) норму замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их замены
в производстве;
в) норму замены общественного блага на частное в потреблении с нормой их замены в
производстве;
г) сумму норм замены общественного блага на частное в потреблении с суммой норм их
замены в производстве.



11.2 Квазилинейная экономика с общественными благами
Особенно простым анализ экономики с общественными благами становится при квазили-
нейности функций полезности. Это соответствует анализу частного равновесия, который про-
водится в начальных курсах микроэкономики.
Будем предполагать, что в экономике два блага, одно из которых общественное, а другое —
частное, причем
(2)
X (1) ? R+ и Xi = R ?i,

а предпочтения потребителей описываются квазилинейными функциями полезности:

ui (x, zi ) = vi (x) + zi ,

где x — объем потребления общественного блага (он равен объему производства y ), а zi —
объем потребления частного блага (который можно интерпретировать как объем потребления
всей совокупности частных благ). Поскольку предпочтения линейны по zi , последнее удобно
считать денежной стоимостью частных благ.
Производственные возможности экономики описываются функцией издержек c(y), (обрат-
ной к производственной функции), которая показывает минимальное количество частного бла-
га, r , необходимое для производства y единиц общественного блага.
В дальнейшем будем различать два случая. Первый— ситуация, когда общественное бла-
го может производится и потребляться в любом количестве, является безгранично делимым,
(«непрерывный» случай), функции полезности и издержек — дифференцируемы. Второй —
ситуация, когда производитель и (или) потребитель может выбирать лишь из конечного числа
11.2. Квазилинейная экономика с общественными благами 394

вариантов, как правило двух («производить — не производить», «потреблять — не потреб-
лять»). Этот случай будем называть «дискретным».
Рассмотрим сначала непрерывный случай. Для него уравнение Самуэльсона имеет вид:

vi (?) = c (?).
x x
i?I

Это соотношение можно установить независимо на основе характеристики Парето-опти-
мальных состояний квазилинейной экономики. Действительно, как было установлено ранее,
Парето-оптимальное состояние квазилинейной экономики полностью характеризуется задачей
максимизации индикатора благосостояния. Для рассматриваемой экономики эта задача имеет
следующий вид:

<< Предыдущая

стр. 91
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>