<< Предыдущая

стр. 92
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

vi (x) ? c(x) > max .
W (x) =
x0
i?I
Таким образом, в этой экономике Парето-оптимальные состояния характеризуются объемом
производства общественного блага, максимизирующим благосостояние, x . Этот объем есте-
?
ственно назвать Парето-оптимальным объемом общественного блага. Если предельные по-
лезности vi (x) неотрицательны и не возрастают, причем хотя бы у одного потребителя они
убывают, а предельные издержки c (y) положительны и не убывают, то такой объем будет
единственным.
Для Парето-оптимального объема общественного блага выполняется соотношение:

vi (?)
x c (?),
x
i?I

причем, если общественное благо производится, т. е. y > 0, то
?

vi (?) = c (?),
x x
i?I

В дальнейшем мы будем считать, что x > 0.
?
Заметим, что в случае, когда первое благо — частное, условия Парето-оптимальности его
производства и потребления имеют вид (случай, когда xi > 0 ?i):

vi (?i ) = c (?), ?i,
x y xi = y .
? ?
i?I

Указанное различие можно проиллюстрировать следующим примером. Сравним, как при-
нимаются решения в случае приобретения одного и того же блага (например, телевизора) в
личное (частное благо) и коллективное пользование (общественное благо). В первом случае
телевизор приобретается только в том случае, если цена не выше оценки телевизора для по-
купателя. Если же телевизор устанавливается в холле студенческого общежития, то решение
о его приобретении должно приниматься уже на основе сравнения его цены и суммы оценок
этого блага всеми студентами, живущими в общежитии.
Этот пример уместнее проанализировать в контексте второй ситуации, поскольку рассмат-
риваемое благо (телевизор) либо производится (и приобретается), т. е. x = 1 (при соответству-
ющем выборе единиц измерения), либо нет, т. е. x = 0.
Будем предполагать без потери общности, что vi (0) = 0, c(0) = 0, и обозначим vi (1) = vi
и c(1) = c. Тогда
vi ? c.
W (0) = 0 и W (1) =
i?I

Поэтому x = 0, если
? i?I vi < c и x = 1, если
? i?I vi > c. В случае, когда i?I vi =
c, задача имеет два решения, поэтому оптимальным является любое решение относительно
объема производства общественного блага.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 395

11.2.1 Задачи

 490. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функ-
циями полезности вида:


u1 = av(x) + z1 u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).
и


Производная v (x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию
издержек вида c(y) = 2y .
При a = a , b = b в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен
x . При a = ka , b = kb (k > 0) в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного
блага равен x , где x > x . Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные
точки внутренние.
Можно ли утверждать, что k > 1 или k < 1? Обоснуйте свое утверждение.
 491. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функ-
циями полезности вида uj = vj (x) + zj . Производные vj (x) положительны и убывают. Един-
ственный производитель имеет функцию издержек вида c(y) = ?y .
При ? = ? в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x . При
? = ? (? > ? ) в Парето-оптимальном состоянии уровень общественного блага равен x .
Предполагаем, что обе рассматриваемые Парето-оптимальные точки внутренние.
Можно ли утверждать, что x > x или x < x ? Обоснуйте свое утверждение.




11.3 Равновесие с добровольным финансированием
общественного блага (равновесие без координации)

Заметим предварительно, что рассматриваемому случаю однородных экстерналий соответ-
ствует рыночное равновесие, в котором, как правило, общественное благо не производится,
так как в нем нет механизма возмещения производителям общественных благ их затрат на та-
кое производство9 . Альтернативная возможность — механизм финансирования общественного
блага на основе добровольных вкладов (пожертвований) потребителей этого блага. Примера-
ми служат добровольные взносы в благотворительные фонды, финансирующие какие-либо
общественные блага, например, научные исследования.
Рассмотрим одну из возможных формализаций такого механизма. Обозначим доброволь-
ный взнос i-го участника на приобретение k -го общественного блага через tik 0. Будем пред-
полагать также, что существуют рынки общественных благ. Поскольку благосостояние потре-
бителя зависит от общего количества этих благ, то при определении своего взноса tik потре-
битель i формирует ожидания (te , ?s = i) относительно взносов других участников.
isk
Собранная сумма идет на приобретение общественного блага:


tik , ?k ? K1 .
pk xk = pk yk =
i?I



9
Есть исключения, например ситуации, когда производство общественного блага по технологическим при-
чинам является побочным результатом производства частных (рыночных) благ.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 396

Таким образом, задача потребителя i имеет вид:

ui (xi ) > max
xi ,ti

pk xik + tik ?i , (11.1)
k?K1 k?K2

te , ?k ? K1 ,
pk xk = tik + isk
s=i

xi ? Xi ,
tik 0, ?k ? K1 .

Определение 75:
Равновесие без координации или, иначе, равновесие с добровольным финансированием обще-
ственных благ10 есть набор (? , ? x, y), такой что
p t, ? ?

x?
# (? , y) — допустимое состояние экономики с общественными благами;

# каждый набор xi и взносы ?i являются решением соответствующей задачи потребителя
? t
?
(11.3) при ценах p , доходах
? ??
?i = p?i + ?ij pyj + Si
j?J

?
и ожиданиях {te }s=i, k?K2 , таких что te = tsk ?s = i, ?k ? K1 ;
isk isk

?
# каждая технология yj является решением соответствующей задачи производителя ?? (11.3)
?
при ценах p ;

# сумма взносов равна совокупным расходам на каждое общественное благо:

tik , ?k ? K1 .
pk xk =
?? pk yjk =
??
j?J i?I


Охарактеризуем решение задачи потребителя в состоянии равновесия в предположении,
что xi ? int Xi . Функция Лагранжа этой задачи:;

te ? pk xk ) + ?i (?i ? tik ?
Li = ui (xi ) + ?ik (tik + pk xik ).
isk
k?K1 s=i k?K1 k?K2

Условия первого порядка:

?Li ?ui
? ?ik pk = 0, ?k ? K1 ,
=
?xk ?xk

?Li ?ui
? ?i pk = 0, ?k ? K2 ,
=
?xik ?xik
?Li
= ?ik ? ?i 0, причем ?ik ? ?i = 0, если tik > 0,
?tik
где ?i — множитель Лагранжа бюджетного ограничения, а ?ik — множитель Лагранжа бюд-
жета для k -го общественного блага.
10
По-видимому, впервые эту концепцию равновесия ввел Эдмон Маленво. См. его учебник E. Malinvaud:
Le?ons de th?orie micro?conomique, Paris: Dunod, 1969 (рус. пер. Э. Маленво: Лекции по микроэкономическому
c e e
анализу, М.: Наука, 1985). Маленво называл такое равновесие равновесием с подпиской (фр. souscription). В
русском языке есть более удачное слово складчина.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 397

Предположим, что для любого потребителя i существует частное благо k , такое что ?ui /?xik >
0. Тогда ?i > 0 ?i, что, в свою очередь, означает, что равновесная цена любого такого блага
положительна.
Пусть k0 — некоторое частное благо, такое что его цена положительна. Тогда ?ui /?xik0 >
0 ?i. Если потребитель i делает положительный взнос на общественное благо k (tik > 0), то
из дифференциальной характеристики решения задачи потребителя следует, что
?ui /?xk pk
= .
?ui /?xik0 pk 0
Для потребителя, делающего нулевой взнос, такое равенство нормы предельной замены отно-
шению цен может не выполняться. Можно проверить, что если равновесная цена обществен-
ного блага k положительна, то, вообще говоря,
?ui /?xk pk
.
?ui /?xik0 pk 0
Из решения задачи j -го производителя
?gj /?yjk pk
, ?j, ?k ? K1 .
=
?gj /?yjk0 pk0
Предположим, что в равновесии суммарный взнос на общественное благо k ? положительный,
и пусть i1 — потребитель, который делает положительный взнос на приобретение этого обще-
ственного блага. Тогда в равновесии должно выполняться соотношение
?gj /?yjk?
?ui1 /?xk? pk ?
= = ,
?ui1 /?xi1 k0 pk0 ?gj /?yjk0
В Парето-оптимуме же должно выполняться условие Самуэльсона:
?gj /?yjk?
?ui /?xk?
= .
?ui /?xik0 ?gj /?yjk0
i?I

Отсюда следует, что равновесие и Парето-оптимум могут совпадать только если
?ui /?xk?
= 0.
?ui /?xik0
i=i1

В случае, когда ?ui /?xk 0 ?i, это соотношение имеет место только тогда, когда ?ui /?xk =
0 ?i = i1 .
Следующая теорема неэффективности резюмирует эти рассуждения. По смыслу она про-
тивоположна обеим теоремам благосостояния.
Теорема 119:
Пусть (? , ? x, y) — равновесие с добровольным финансированием, такое что xi ?
p t, ? ?
int Xi ?i ? I , функции полезности и производственные функции дифференцируемы. Пусть,
кроме того,
для любого потребителя i существует частное благо k0 , такое что???

?ui (? i )/?xik0 > 0 и ?gj (? j )/?yjk0 < 0 ?j;
x y

все предельные полезности по общественному благу k ? неотрицательные,
?ui (? i )
x
0, ?i;
?xk?
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 398
?
в равновесии существует потребитель i1 с ti1 k? > 0, причем по хотя бы для одного
потребителя i2 = i1 неравенство строгое.
x?
Тогда состояние (? , y) не оптимально по Парето.

Доказательство: Приведенные выше рассуждения, фактически, доказывают эту теорему.
Уместно привести альтернативное доказательство, показав, что можно построить Парето-
улучшение, увеличив объем производства общественного блага и соответствующим образом
перераспределив ресурсы. Существование такого Парето-улучшения можно неформально ин-
терпретировать как локальную недостаточность количества общественного блага в равновесии.
Рассмотрим следующий дифференциально малый сдвиг из точки равновесия:

<< Предыдущая

стр. 92
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>