<< Предыдущая

стр. 93
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

dxk? = dyjk? > 0 и dyjk0 < 0, dyjk0 = dxi1 k0 + dxi2 k0

причем dxi1 k0 < 0, dxi2 k0 < 0,
где j — произвольное предприятие.
Другими словами, предлагаемое изменение заключается в увеличении производства и по-
требления общественного блага k ? на величину dyjk? , компенсированное уменьшением произ-
водства частного блага k0 на величину dyjk0 и, соответственно, его потребления потребителя-
ми i1 и i2 на величину dxi2 k0 и dxi1 k0 соответственно.
Для того, чтобы новое состояние экономики было допустимым, величины dyjk? и dyjk0
должны удовлетворять соотношению
?gj ?gj
dyjk0 + dyjk? = 0.
?yjk0 ?yjk?

Указанные изменения объемов потребления благ k ? и k0 приводят к изменениям в уровне
полезности потребителя i1 на величину
?ui1 ?ui1 ?ui1 ?ui1
dui1 = dxk? + dxi1 k0 = dyjk? + dxi1 k0 =
?xk? ?xi1 k0 ?xk? ?xi1 k0

?ui1 ?ui1 /?xk?
= ( dyjk? + dxi1 k0 )
?xi1 k0 ?ui1 /?xi1 k0
Учитывая дифференциальную характеристику равновесия (равенство предельных норм
замещения блага k ? на благо k0 в производстве и потреблении для потребителя i1 ), эту вели-
чину можно выразить как
?ui1 ?gj /?yjk?
dui1 = ( dyjk? + dxi1 k0 ) =
?xi1 k0 ?gj /?yjk0
?ui1 ?ui1
(?dyjk0 + dxi1 k0 ) = ?
= dxi2 k0 .
?xi1 k0 ?xi1 k0
Поскольку ?ui1 /?xi1 k0 > 0, то при dxi2 k0 < 0 прирост полезности dui1 положителен.
Аналогичные преобразования можно провести и для изменения полезности потребителя
i2 :
?ui2 ?ui2 ?ui2 ?ui2
dui2 = dxk? + dxi2 k0 = dyjk? + dxi2 k0 =
?xk? ?xi2 k0 ?xk? ?xi2 k0
?ui2 ?ui2 /?xk?
= ( dyjk? + dxi2 k0 ) =
?xi2 k0 ?ui2 /?xi2 k0
?ui2 /?xk? ?gj /?yjk0
?ui2
= (? dyjk0 + dxi2 k0 ) =
?xi2 k0 ?ui2 /?xi2 k0 ?gj /?yjk?
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 399

Представим изменения потребления блага k0 в виде

dxi2 k0 = ?dyjk0 ,

где ? ? (0, 1) — доля потребителя i2 в уменьшении потребления блага k0 . Тогда
?ui2 /?xk? ?gj /?yjk0
?ui2
(?dyjk0 ?
dui2 = dyjk0 ) =
?xi2 k0 ?ui2 /?xi2 k0 ?gj /?yjk?
?ui2 /?xk? ?gj /?yjk0
?ui2
(? ?
= )dyjk0 =
?xi2 k0 ?ui2 /?xi2 k0 ?gj /?yjk?
Поскольку dyjk0 < 0, то dui2 > 0 тогда и только тогда, когда
?ui2 /?xk? ?gj /?yjk0
?< .
?ui2 /?xi2 k0 ?gj /?yjk?

Мы можем всегда подобрать долю ? ? (0, 1), удовлетворяющую этому неравенству11 . Та-
ким образом, существует строгое Парето-улучшение в дифференциалах.

Заметим, что при отказе от любого из условий теоремы ее утверждение, вообще говоря,
перестает быть справедливым. Так, равновесие при добровольной подписке может быть Па-
рето-оптимальным в перечисленных ниже ситуациях.
1) Потребитель всего один m = 1. (В этой ситуации, однако, едва ли уместно говорить об
общественном благе.)
2) Общественное благо в рассматриваемой экономике единственно и его «ценит» только
один потребитель (сверх уровня, финансируемого этим потребителем), т. е. предельная полез-
ность общественного блага при данной величине его потребления положительна только для
одного потребителя (и равна нулю для остальных).
3) Предельные полезности всех общественных «благ» у одних участников положительны,
у других отрицательны, и происходит точное уравновешивание.
4) Частные и общественные блага комплементарны в потреблении. Заметим, что при этом
не выполнено условие дифференцируемости функций полезности.
5) Равновесие не является внутренним. Здесь полезно различать два возможных случая.
Случай (а): множество допустимых потребительных наборов обуславливают ограничение
0 по общественному благу k ? , и в равновесии производство этого блага равно
вида xk?
нулю. Такое равновесие может быть Парето-оптимальным, если производство его оказывается
«слишком дорогим», экономически неоправданным.
Случай (б): в равновесии потребление всех благ, за исключением одного (общественного)
блага равно нулю.
6) Равновесие может быть Парето-оптимальным и в случае, когда общественное благо
является неделимым.
Пример 53 ((комплементарность частного и общественного блага)):
В экономике имеется два потребителя с функциями полезности

ui (x1 , xi2 ) = min(x1 , xi2 ),

где x1 0 — потребление общественного блага, xi2 0 — потребление частного блага i-м
потребителем, и один производитель с неявной производственной функцией

g(y1 , y2 ) = y1 + y2 ,
?u /?x ? ?g /?y ?
11
Заметим, что если ?ui i2 i kk = ?gj /?yjk , то ? можно выбрать произвольно, другими словами, Парето-
/?x 2 0 j jk0
2
улучшение гарантируется при любых пропорциях уменьшения потребления первого блага. С другой стороны,
если ?ui2 /?xk? = 0 , то мы не можем подобрать ? и построить Парето-улучшение рассматриваемого типа.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 400

где y1 — производство общественного блага, y2 — чистое производство частного блага (?y2 —
затраты частного блага). Другими словами, имеющаяся технология позволяет произвести еди-
ницу общественного блага из единицы частного.
Потребители имеют только запасы частного блага в размере ?i > 0. Баланс по обществен-
ному благу имеет вид x1 = y1 , а по частному благу —

x12 + x22 = y2 + ?1 + ?2 .

Покажем, что любое равновесие в этой модели Парето-оптимально и любой Парето-оптимум
можно реализовать как равновесие (при подходящем выборе трансфертов).
Опишем сначала Парето-оптимальные состояния данной экономики. Можно заметить сле-
дующие факты:

• В Парето-оптимуме количество общественного блага не может быть ниже потребления
частного блага любым потребителем. Пусть, это не так, например, x1 < x12 . Тогда можно
немного уменьшить x12 и произвести за счет этого больше общественного блага x1 . При
этом полезность обоих потребителей возрастет.

• В Парето-оптимуме количество общественного блага не может быть выше потребления
частного блага каждым из потребителем. Пусть это не так, т. е. x1 > x12 и x1 > x22 . Тогда
можно уменьшить немного производство общественного блага, произвести за счет этого
больше частного блага и увеличить x12 или x22 . При этом полезность соответствующего
потребителя возрастет, а полезность другого потребителя не изменится.

• В любом Парето-оптимуме используются все ресурсы, т. е. выполнено

x1 + x12 + x22 = ?1 + ?2 .

Отсюда следует, что Парето-оптимальные состояния в этой экономике могут быть трех типов:

(i) x12 < x1 = x22 , (ii) x22 < x1 = x12 , (iii) x1 = x12 = x22 .

Можно показать, что если в допустимом состоянии экономики выполнено одно из этих трех
условий и используются все ресурсы, то это Парето-оптимум.
Опишем теперь равновесия в этой модели. Заметим, что в любом равновесии цены обще-
ственного и частного блага совпадают. Можно выбрать их равными единице: p1 = p2 = 1.
Учитывая это, в равновесии задача потребителя имеет вид

min(x1 , xi2 ) > max
xi ,ti

xi2 + ti ?i ,
x1 = ti + t?i ,
x1 0, xi2 0,
ti 0.

Потребителю в равновесии выгодно полностью истратить свой доход ?i . Поэтому мы мо-
жем подставить xi2 = ?i ? ti и x1 = ti + t?i в целевую функцию:

min(ti + t?i , ?i ? ti ) > max 0 ti ?i .
ti

Решение задачи потребителя будет зависеть от соотношения параметров t?i и ?i .
(A) Если t?i > ?i , то ti = 0, x1 = t?i и xi2 = ?i .
(B) Если t?i ?i , то ti = (?i ? t?i )/2, x1 = xi2 = (?i + t?i )/2.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 401

ui ui
?i
(B) (A)
t?i
?i

ui =min(x1 ,xi2 )
ui =min(x1 ,xi2 )
t?i

ti ti
(?i ?t?i )/2 ?i
?i


Рис. 11.2. Комплементарность частного и общественного блага


Логически возможны 4 варианта равновесия: AA, AB, BA, BB. Вариант AA невозможен,
так как при этом t1 = t2 = 0, а это, поскольку доходы потребителей неотрицательны, про-
тиворечит условиям t1 > ?2 и t2 > ?1 . Все остальные варианты возможны. Охарактеризуем
соответствующие им состояния равновесия.
(AB) Несложно проверить, что в таком равновесии

t1 = 0, t2 = x1 = x22 = ?2 /2, x12 = ?1 .

Это равновесие возможно при условии, что ?2 > 2?1 .
(BA) Этот вариант получается из предыдущего заменой индексов:

t2 = 0, t1 = x1 = xi1 = ?1 /2, x22 = ?2 .

Такое равновесие возможно при условии, что ?1 > 2?2 .
(BB) Такое равновесие должно удовлетворять уравнениям

t1 = (?1 ? t2 )/2, x1 = x12 = (?1 + t2 )/2,

t2 = (?2 ? t1 )/2, x1 = x22 = (?2 + t1 )/2.
Откуда получаем

t1 = (2?1 ? ?2 )/3, t2 = (2?2 ? ?1 )/3, x1 = x12 = x22 = (?1 + ?2 )/3.

Это равновесие возможно при условиях t1 ?2 , t2 ?1 , т. е. ?1 2?2 , ?2 2?1 .
Заметим, что в любом равновесии

?1 + ?2 = p1 ?1 + S1 + p2 ?2 + S1 = ?1 + ?2 .

Несложно проверить, что каждом из этих типов равновесий выполнено

x1 + x12 + x22 = ?1 + ?2 .

Поскольку ?1 + ?2 = ?1 + ?2 , то в любом равновесии ресурсы используются полностью. В
равновесиях типа (AB) выполнены условия (i), в равновесиях типа (BA) выполнены условия
(ii), а в равновесиях типа (BB) выполнены условия (iii). Таким образом, любое равновесие
Парето-оптимально.
Более того, в этой экономике любое Парето-оптимальное состояния можно реализовать
как равновесие с добровольным финансированием. Так, например, Парето-оптимуму, удовле-
творяющему условию (i), соответствует равновесие типа (AB), такое что

?1 = x12 , ?2 = 2x1 = 2x22 , t1 = 0, t2 = x1 = x22 .
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 402

Парето-оптимуму, удовлетворяющему условию (iii), соответствуют равновесия типа (BB), та-
кие что
?1 + ?2 = 3x1 = 3x12 = 3x22 , t1 = (2?1 ? ?2 )/3, t2 = (2?2 ? ?1 )/3.

Мы привели пример экономики, соответствующей ситуации (4). Читателю предлагается
привести примеры экономик, соответствующих ситуациям (2), (3), (5) и (6) самостоятельно.
Комментируя теорему, отметим, что при добровольном финансировании возможны ситуа-
ции, когда некоторые потребители не делают взносы на финансирование общественного блага.
Таких потребителей называют «безбилетниками». В том случае, когда, например, предельные
?u /?x ?
нормы замещения ?ui i1 i kk общественного блага k ? частным благом k0 различны, только
/?x 1 0
1
один потребитель финансирует производство общественного блага. Остальные оказываются
безбилетниками. Ниже, для случая квазилинейной экономики мы покажем, что такая ситуа-
ция является типичной.
В случае квазилинейной экономики равновесие с добровольным финансированием обще-
ственного блага это набор (?, ? x, y ) такой что
p t, ? ?

?
 При цене p взнос ti является решением задачи потребителя
?

?p
ts )/?) ? ti > max .
vi ((ti +
ti 0
s=i


 Суммарная величина взносов совпадает с суммой, требуемой для финансирования обще-
ственного блага в объеме x по цене p :
? ?

?
t i = p x.
??
i?I

<< Предыдущая

стр. 93
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>