<< Предыдущая

стр. 94
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


 При цене p величина y является решением задачи производителя
? ?

py ? c(y) > max .
y0


 Спрос на общественное благо равен предложению: x = y .
??

В равновесии выполняются соотношения:

vi (?)
x p, причем vi (?) = p, если ti > 0;
? x ?
p
? c (?), причем p = c (?), если x > 0.
x ? x ?

Предположим, что x > 0 (равновесие внутреннее, с положительным количеством обще-
?
ственного блага). Тогда существует потребитель i1 такой, что ti > 0 и, следовательно, vi1 (?) =
x
c (?).
x
Если vi (?) 0, и существует не совпадающий с i1 потребитель, для которого это неравен-
x
ство строгое, то i?I vi (?) > c (?).
x x
Предположим, что предельные полезности vi (x) неотрицательны и не возрастают, причем
хотя бы у одного потребителя они убывают, а предельные издержки c (y) всюду положительны
и не убывают. Тогда x > x , где x — Парето-оптимальный объем производства (и потребле-
? ? ?
ния) общественного блага. Это следует из того, что W (x) = i?I vi (x) ? c (x) — убывающая
функция, W (?) > 0, и W (?) 0.
x x
Появление этого эффекта недопроизводства общественных благ легко понять в контексте
проводившегося нами анализа экстерналий, когда каждый потребитель, планируя приобрете-
ние общественного блага, не учитывает влияния своих действий (поскольку не заинтересован
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 403

при таком механизме его финансирования учитывать это влияние) на рост благосостояния
других потребителей, а поэтому планирует приобрести его слишком мало. Эта незаинтересо-
ванность учитывать влияние своих действий на благосостояние других участников составляет
суть проблемы безбилетника: каждый потребитель заинтересован в увеличении вклада в фи-
нансирование общественного блага другими, но не заинтересован сам в увеличении своего.
Кто именно из потребителей будет безбилетником в квазилинейной экономике можно в
ситуации, когда потребители ранжированы по их предельной оценке общественного блага без-
относительно объема его потребления, т. е. в случае, если выполняется соотношение

v1 (x) < v2 (x) < · · · < vm (x) ?x > 0.

Проанализируем свойства равновесий с добровольным финансированием в этой ситуации.
Пусть (?, ? x, y ) — такое равновесие. Тогда
p t, ? ?

vm (?)
x p.
?

?
Поскольку vi (?) < vm (?) ?i = m, то vi (?) < p . Это влечет за собой то, что ti = 0, ?i = m,
x x x ?
т. е. все потребители, кроме m не участвуют в финансировании общественного блага.
(Аналогичный результат имеет место и в дискретном случае, когда

v1 < v2 < · · · < vm .

А именно, в равновесии общественное благо может финансировать только m-й потребитель.)
??p
Таким образом, x = tm /?, и возможны равновесия двух типов:
?
(1) tm = 0 и y = 0,
?
?
(2) tm > 0 и y > 0.
?
В первом случае vm (0) p c (0) 12 . Поскольку предельная полезность vm (x) не возрас-
?
тает, а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние будет соответствовать
равновесию.
Во втором случае vm (?) = p = c (?). Как и в первом случае, поскольку предельная по-
x ? x
лезность vm (x) не возрастает, а предельные издержки не убывают, то любое такое состояние
будет соответствовать равновесию. Данную ситуацию иллюстрирует Рис. 11.3.


i vi (y)
c (y)



v2 (y) .vm (y)
.
.
p
?
v1 (y)
y
y
?
y
?


Рис. 11.3. Равновесие с добровольным финансированием при упорядоченности оценок

Если vm (0) < c (0), то равновесие может быть только первого типа, а если vm (0) > c (0),
то равновесие может быть только второго типа.
12
Если величины vm (0) и c (0) не определены, то эти величины в неравенстве следует заменить соответству-
ющими пределами.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 404

Предположим дополнительно, что функция vm (x)?c (x) убывает. Тогда необходимые усло-
вия равновесия являются достаточными. А именно, если

y?
x = y p = vm (?) = c (?), tm = px,
? ?? x ??

и
?
ti = 0, ?i = m,
то (?, ? x, y ) является равновесием с добровольным финансированием. Действительно, необ-
p t, ? ?
ходимые условия решений задач потребителя и производителя выполнены, поскольку

?
vi (?) < vm (?) = p = c (?) и ti = 0, ?i = m.
x x ? y

Сделанные выше предположения относительно поведения предельных полезностей и предель-
ных издержек гарантируют, что необходимые условия решений задач потребителя и произво-
дителя являются достаточными.
Аналогично, если vm (0) p
? c (0), то (?, 0, 0, 0) является равновесием с добровольным
p
финансированием.
Отсюда следует, что (если функция vm (x) ? c (x) непрерывна) равновесие существует то-
гда и только тогда, когда существует объем общественного блага x такой, что c (x) vm (x).
Поскольку равновесный объем x удовлетворяет этому условию, то это условие является необ-
?
ходимым. Поэтому остается доказать достаточность. Действительно, если vm (0) c (0), то
существует равновесие с x = 0. Если же vm (0) > c (0), то по непрерывности существует
?
x > 0, такой что vm (?) = c (?), и на его основе можно сконструировать равновесие.
? x x
Кроме того, в рассматриваемых условиях равновесие единственно. Читатель может дока-
зать это самостоятельно.
Пример 54:
Пусть
ui (x, zi ) = 2?i ln x + zi , c(y) = y 2 .
Оптимальный объем производства общественного блага составляет тогда величину y , удовле-
?
творяющую соотношению Самуэльсона:

vi (?) = c (?).
x x
i?I

В данном примере это соотношение имеет вид

(2?i /?) = 2? или x2 =
x x ? ?i .
i?I i?I

Заметим попутно, что r = x2 — это как раз издержки производства общественного блага.
? ?
Таким образом, оптимальный объем общественных расходов составляет величину

r=
? ?i .
i?I

В случае же равновесия с добровольным финансированием

c (?) ?i,
vi (?)
x x

т. е.
2? ?i или x2 ?i ?i.
2?i /?
x x ?
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 405

Поскольку x > 0, то существует по крайней мере один потребитель, который делает поло-
?
жительный взнос. Это означает, что x2 = maxi ?i . Объем расходов на общественное благо
?
составляет величину
r = max ?i .
?
i

Цена общественного блага равна p = c (?) = 2? , а сумма взносов равна
? x x

ti = px = 2?2 = 2?.
? ?? x r
i?I

Пусть в экономике 3 участника, и ?i = i. Платить будет потребитель, который ценит
общественное благо больше всех, а именно третий. Остальные предпочтут пользоваться благом
бесплатно. Отсюда v v
? ? ?
r = 3, x = y = 3, p = 2 3, t3 = 6, t1 = t2 = 0.
? ??
v
В Парето-оптимуме x = 6, то есть равновесное количество общественного блага меньше
?
оптимального.

11.3.1 Задачи
 492. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функ-
циями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b 0).

Производная v (x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию
издержек вида c(y) = 2y .
При каких a и b (внутреннее) равновесие с добровольным финансированием будет Парето-
оптимальным? Обоснуйте свое утверждение.
 493. В квазилинейной экономике с общественным благом имеются два потребителя с функ-
циями полезности вида:

u1 = av(x) + z1 и u2 = bv(x) + z2 (a, b > 0).

Производная v (x) положительна и убывает. Единственный производитель имеет функцию
издержек вида c(y) = 2y .
(1) Какие условия на a и b гарантируют, что во (внутреннем) равновесии с добровольным
финансированием только у первого потребителя взнос будет положительным? Обоснуйте свое
утверждение.
(2) Какие условия на функцию v(x) гарантируют, что в равновесии с добровольным фи-
нансированием общественное благо будет производиться?
 494. В экономике с общественным благом (s > 0) и частным благом (zi 0) один потреби-
тель имеет функцию полезности u1 = ln s+z1 , а другой — u2 = 2/3 ln s+z2 . Начальные запасы
равны ?1 = (0, 0,5) и ?2 = (0, 0,5). Технология позволяет из единицы частного блага произ-
водить ? единиц общественного (? > 0, 5). При каких значениях параметра ? равновесие с
добровольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.
 495. В экономике с общественным благом (G 0) и частным благом (zi 0) один потреби-
тель имеет функцию полезности u1 = 0,5G + z1 , а другой — u2 = ?G + z2 (? > 0). Начальные
запасы равны ?1 = (0, 40) и ?2 = (0, 20). Технология позволяет из единицы частного блага
производить единицу общественного. При каких значениях параметра ? равновесие с добро-
вольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.
 496. В экономике с общественным благом (Q > 0) и частным благом (zi 0) один по-
требитель имеет функцию полезности u1 = ln Q + z1 , а другой — u2 = ? ln Q + z2 . (? > 0).
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 406

Начальные запасы равны ?1 = (0, 0,5) и ?2 = (0, 0,5). Технология позволяет из единицы част-
ного блага производить единицу общественного. При каких значениях параметра ? равновесие
с добровольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.
 497. В экономике с общественным благом (x 0) и частным благом (zi 0) один потреби-
тель имеет функцию полезности u1 = 2x + z1 , а второй — u2 = ?x + z2 (? > 0). Начальные
запасы равны ?1 = (0, 10) и ?2 = (0, 10). Технология позволяет из единицы частного блага
производить единицу общественного. При каких значениях параметра ? равновесие с добро-
вольным финансированием окажется Парето-оптимальным? Объясните.
 498. В экономике с общественным благом (x > 0) и частным благом первый потребитель
имеет функцию полезности u1 = ln(2 + x) + z1 , а второй — u2 = ? ln(2 + x) + z2 (? > 0).
Технология позволяет из единицы частного блага производить единицу общественного. При
каких значениях параметра ? равновесие с добровольным финансированием окажется Парето-
оптимальным? Объясните.
 499. В экономике двух потребителей с двумя благами — общественным и частным — функ-
ции полезности имеют вид

u1 = ln G + 4 ln x1 и u2 = ln G + 3 ln x2 .

Оба потребителя имеют начальные запасы только частного блага — 5 и 8 соответственно. Тех-

<< Предыдущая

стр. 94
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>