<< Предыдущая

стр. 95
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

нология единственного предприятия позволяет из единицы частного блага произвести единицу
общественного блага.
(A) Запишите систему уравнений, задающую границу Парето.
(B) Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.
 500. Функции полезности двух потребителей равны u1 = Gx1 и u2 = G2 x2 , где G и xi —
потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо производит-
ся единственным предприятием по технологии G3 = r , где r — производственные затраты
частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и равны
?1 = 0,5, ?2 = 2,5. Прибыль предприятия целиком идет второму потребителю.
(A) Проверьте, что x1 = 0,5, x2 = 1,5, G = 1, r = 1, pG = 3, px = 1, t1 = 0, t2 =
3 — равновесие с добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть
полным.
(B) Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.
v v
v v
 501. Функции полезности двух потребителей равны u1 = z + x1 и u1 = 2 z + x2 , где
z и xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо
производится единственным предприятием по технологии 9z = a, где a — производственные
затраты частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и
равны ?1 = 4, ?2 = 117. Прибыль предприятия целиком идет первому потребителю.
(A) Проверьте, что x1 = 4, x2 = 81, z = 4, a = 36, pz = 9, px = 1, t1 = 0, t2 =
36 — равновесие с добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен быть
полным.
(B) Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.
Функции полезности двух потребителей равны u1 = ?3/a ? 1/x1 и u2 = ?1/a ? 1/x2 , где
a и xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо
производится единственным предприятием по технологии a = 3h, где h — производственные
затраты частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и
равны ?1 = 2/3, ?2 = 2/3. Прибыль предприятия делится пополам между потребителями.
(A) Проверьте, что x1 = 2/3, x2 = 2/3, a = 2, h = 2/3, pa = 1, px = 3, t1 = 2,
t2 = 0 — равновесие с добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен
быть полным.
(B) Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.
11.3. Равновесие с добровольным финансированием 407
4
 502. Функции полезности двух потребителей равны u1 = xz1 и u2 = xz2 , где x и zi —
потребление общественного и частного блага соответственно. Общественное благо производит-
ся единственным предприятием по технологии x2 = z0 , где z0 — производственные затраты
частного блага. Начальные запасы потребителей состоят только из частного блага и равны
?1 = 9/4, ?2 = 3/4. Прибыль предприятия целиком идет первому потребителю.
(A) Проверьте, что z1 = 2, z2 = 3/4, x = 1/2, z0 = 1/4, px = 1, pz = 1, t1 = 1/2,
t2 = 0 — равновесие с добровольным финансированием общественного блага. Ответ должен
быть полным.
(B) Продемонстрируйте, что это состояние не оптимально по Парето.
 503. В квазилинейной экономике с двумя благами, одно из которых — общественное, пред-
почтения потребителей i = 1, . . . , m и заданы функциями полезности

ui (G, zi ) = ?i f (G) + zi ,

где G — общественное благо, zi — оставшиеся деньги, f (·) — функция с убывающей произ-
водной. При этом выполняются неравенства ?i < ?j при i < j . Технология задана функци-
ей издержек единственного предприятия, c(G). Охарактеризуйте равновесие с добровольным
финансированием. Будут ли в этой ситуации безбилетники, и если будут, то кто? Обоснуйте.
Сравните с Парето-оптимумом.
 504. Пусть в квазилинейной экономике предпочтения потребителей описываются функцией
полезности вида
ui (x, zi ) = ?i ln x + zi ,
а функция издержек имеет вид
c(y) = y 2 /2.
Начальные запасы частного блага у потребителей достаточно велики. Найдите равновесие
с добровольным финансированием общественного блага. При каких условиях в этой экономике
будет по крайней мере один «безбилетник»? Какие потребители окажутся «безбилетниками»?
 505. Предположим, что в экономике с тремя потребителями производство общественного
блага финансируется с помощью добровольных взносов частного блага ti 0, причем единица
общественного блага производится из единицы частного. Функции полезности равны ui = Gxi .
Найдите равновесие и Парето-оптимум, если начальные запасы частного блага равны а) ? =
(2, 3, 7), б) ? = (2, 4, 6).
 506. [Bergstrom] (Субсидирование добродетели)
Благосостояние Аристотеля и Платона зависит от двух благ — одного частного и одного
общественного. Их предпочтения совпадают и задаются вогнутой дважды дифференцируемой
функцией полезности ui = u(x1 , xi2 ). Аристотель и Платон располагают одинаковыми запа-
сами частного блага. Единицу общественного блага можно произвести из единицы частного.
Его производство финансируется за счет добровольных взносов, и каждый из философов рас-
сматривает взнос другого как данный. Добровольные взносы Аристотеля субсидируются из
расчета ? руб. субсидии за 1 руб. взносов (другими словами, Аристотель фактически выпла-
чивает (1 ? ?) руб. на 1 руб. взносов). Субсидии финансируются за счет аккордных налогов,
бремя которых делится поровну между философами. Известно, что в равновесии производство
общественного блага положительно.
(1) Кто из философов может делать в равновесии положительные взносы?
(2) Выиграет ли Платон, если субсидию будут выплачивать ему, а не Аристотелю? Как
можно объяснить полученный результат?
(3) Предположим, что благовоспитанные философы получают моральное удовлетворение
от того, что часть общественного блага куплена за их средства, другими словами, функция
полезности зависит дополнительно от количества общественного блага, купленного за счет
11.4. Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля 408

чистого взноса данного философа (т. е. без учета субсидий). Поменяется ли от этого ответ на
предыдущий вопрос?
 507. Благосостояние двух потребителей зависит от двух благ — одного частного и одного об-
щественного. Их предпочтения совпадают и задаются функцией полезности Кобба — Дугласа.
Потребители располагают запасами только частного блага. Единицу общественного блага мож-
но произвести из единицы частного. Его производство финансируется за счет добровольных
взносов. При каких различиях начальных запасах можно гарантировать, что оба потребителя
делают положительные взносы?
 508. В экономике с двумя благами, частным и общественным, имеются m потребителей,
предпочтения которых совпадают и задаются функцией полезности Кобба — Дугласа. Потре-
бители располагают запасами только частного блага, при чем общие запасы частного блага
делятся поровну между первыми n потребителями. Единицу общественного блага можно про-
извести из единицы частного. Его производство финансируется за счет добровольных взносов.
Как зависит объем потребления общественного блага от n?




11.4 Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля

Ранее в этой главе были выведены дифференциальные характеристики Парето-оптималь-
ных состояний экономики. Можно ли, по аналогии с экономиками без общественных благ,
реализовать эти состояния экономики как рыночные равновесия, установив тем самым вари-
ант второй теоремы благосостояния для таких экономик?
Покажем, что это возможно сделать, модифицировав должным образом понятие равно-
весия13 . Сравнение дифференциальных характеристик Парето-оптимальных состояний эконо-
мик с общественными благами и классических экономик указывает направление такой модифи-
кации. Так, уравнения Самуэльсона, связывающие предельные нормы замещения общественно-
го на частное благо в потреблении и производстве, не влекут за собой равенство предельных
норм замещения общественного блага на частное для всех потребителей: в общем случае в
Парето-оптимальных состояниях эти предельные нормы замещения могут быть разными. А
поскольку в рыночном равновесии отношение предельных норм замещения благ равны отно-
шению их цен, то возможная модификация рыночного равновесия состоит в отказе от единой
цены для общественных благ и введении индивидуализированных цен таких благ.
Другими словами, будем считать, что каждый потребитель сталкивается с индивидуализи-
рованной ценой общественного блага, qik , (k ? K1 ). Далее, уравнение Самуэльсона подсказы-
вает, что сумма индивидуализированных цен должна равняться цене, с которой сталкиваются
производители общественного блага, т. е.


qik = pk , ?k ? K1 .
i?I



Такое равновесие с индивидуализированными ценами общественных благ называют равнове-
сием Линдаля.
Приведем точную формулировку модели Линдаля.


13
Заметим, что аналогичное исследование мы провели в общем случае экстерналий. Здесь мы его конкрети-
зируем для частного случая рассматриваемых в этой главе — общественных благ.
11.4. Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля 409

Задача потребителя в модели Линдаля имеет вид14

ui (xi ) > max
xi

qik xk + pk xik ?i , (11.2)
k?K1 k?K2
xi ? Xi .

Задача производителя имеет обычный вид

pyj > max . (11.3)
yj

0, ?j.
gj (yj )

Определение 76:
Назовем (? , q , x, y) равновесием (псевдоравновесием) Линдаля15 , если
p? ??
x?
# (? , y) — допустимое состояние экономики с общественными благами;
?
# каждый набор xi является решением соответствующей задачи потребителя (11.2) при
ценах p , и индивидуализированных ценах общественных благ {?ik }k?K1 и доходах
? q

? ??
?i = p?i + ?ij pyj + Si
j?J

? ?
# технология yj является решением задачи производителя (11.3) при ценах p ;
# сумма индивидуализированных цен общественного блага равна цене производителя:

qik = pk ?k ? K1 .
? ?
i?I

В равновесии Линдаля достигается консенсус в том смысле, что каждый потребитель при
равновесных ценах предъявляет спрос именно на существующий (произведенный) объем об-
щественного блага:
yjk , ?i, ?k ? K1 .
xik = xk =
? ? ?
j?J

Для случая дифференцируемых функций мы можем убедиться в совпадении дифференци-
альных характеристик внутренних Парето-оптимальных состояний и внутренних равновесий
Линдаля.
Действительно, при сделанных ранее предположениях дифференциальная характеристика
решения задачи потребителя (11.2) имеет вид:

?ui /?xk qik
, ?i, ?k ? K1 ,
=
?ui /?xik0 pk0
14
В случае частных благ все потребители сталкиваются с одинаковыми ценами и выбирают разные набо-
ры, в случае общественных благ все наоборот: потребители сталкиваются с разными ценами и потребляют
одинаковые наборы.
15
E. Lindahl: Die Gerechtigkeit der Besteuerung: eine analyse der Steuerprinzipien auf Grundlage der
Grenznutzentheorie, диссертация, Lunds universitet, 1919 (ч. I, гл. 4 “Positive L?sung”) (англ. пер. E. Lindahl:
o
Just Taxation—A Positive Solution, in Classics in the Theory of Public Finance, R. A. Musgrave and A. T. Peacock
(ed.), London: Macmillan, 1958: 168–176). Эрик Линдаль, развивая идеи Кнута Викселя, предложил концепцию
решения проблемы финансирования общественных благ, которую ниже мы называем равновесием при кон-
сенсусе. Более поздние исследователи назвали рассматриваемое в этой главе конкурентное псевдоравновесие
«равновесием Линдаля», поскольку между двумя равновесными концепциями существует близкая связь (см.
напр. D. K. Foley: Lindahl’s Solution and the Core of an Economy with Public Goods, Econometrica 38 (1970):
66–72.
11.4. Равновесие (псевдоравновесие) Линдаля 410
?ui /?xik pk
, ?i, ?k ? K2 .
=
?ui /?xik0 pk0
где k0 ? K1 — частное благо, такое что pk0 = 0.
Аналогично, дифференциальная характеристика решения задачи производителя (11.3) име-
ет вид:
?gj /?yjk pk
, ?j, ?k ? K.
=
?gj /?yjk0 pk0
Учитывая, что для общественных благ i?I qik = pk , исключим из этих характеристик
цены и получим уравнения, совпадающие с полученной ранее дифференциальной характери-
стикой оптимума.
Совпадение дифференциальных характеристик равновесия и Парето-оптимума при допол-
нительных предположениях вогнутости функций полезности и производственных функций
гарантирует справедливость первой и второй теорем благосостояния для данного варианта
экономик с общественными благами.
Равновесие Линдаля иллюстрирует Рис. 11.4 («диаграмма Кольма»16 ). На рисунке изоб-
ражена экономика с двумя благами, общественным (k = 1) и частным (k = 2), и двумя
потребителями, в которой технология позволяет производить из единицы частного блага еди-
ницу общественного. Точки A, B и C соответствуют суммарным начальным запасам частного
блага, ??2 = ?12 + ?22 , отложенным по осям x1 , x12 и x22 соответственно. Они задают тре-
угольник ABC допустимых состояний экономики. Две дуги, показанные штриховой линией, —
это кривые безразличия потребителей в равновесии Линдаля в соответствующих системах ко-
ординат. Их касаются бюджетные прямые потребителей, показанные пунктирными линиями.
Все эти линии из систем координат потребителей 1 и 2 проецируются на плоскость ABC па-
раллельно осям x22 и x12 соответственно. Проекции двух бюджетных прямых совпадают —
?
это прямая, проходящая через точку начальных запасов ? и через точку x равновесия Лин-
?
даля. В точке x две проекции кривых безразличия касаются друг друга (показаны сплошной
линией). Касание проекций кривых безразличия говорит о Парето-оптимальности равновесия
Линдаля.

x1
A



?
x



?22
C x22
?12

?
B
x12



Рис. 11.4. Иллюстрация равновесия Линдаля

<< Предыдущая

стр. 95
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>