<< Предыдущая

стр. 98
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

блага задаются функцией
ui (x) = vi (x) ? ?i px.
?
Будем считать, что для любого i функция ui (x) достигает максимума на множестве неотри-
?
цательных чисел при любом положительном p. Обозначим это оптимальное с точки зрения
потребителя i количество общественного блага xi 20 . Тогда соответствующие предпочтения
?
являются однопиковыми (при ai = xi ) на множестве альтернатив A = [0, ?).
? ?
Действительно, по построению величина xi — максимум функции ui (x) на множестве A.
? ?
Несложно также проверить, что, поскольку vi (x), не убывает, эти предпочтения удовлетворя-
ют условиям (b) и (c).
Заметим, что величину ui (?i ) = vi (?i ) ? ?i p?i можно интерпретировать как потребитель-
?x x x
ский излишек, соответствующий индивидуализированной цене общественного блага ?i p.
Если предельные издержки vi (·) являются непрерывной функцией, то xi удовлетворяет
?
соотношениям
vi (?i ) ?i p,
x
причем, если xi > 0, то
?
vi (?i ) = ?i p.
x
Эти уравнения задают равновесие.
Возможное поведение оценок ui (xi ) объемов общественного блага для случая, когда m = 3,
?
приведено на диаграмме:


u1 (x)
?
u3 (x)
?



u2 (x)
?


x
x1
? x2
? x3
?


Заметим, что в случае, когда m — нечетное число (m = 2s + 1), равновесие при голосова-
нии имеет особо простую структуру. В этом случае равновесной является медиана из объемов
xi , то есть (s + 1)-й по порядку возрастания объем. (Если все величины xi разные, ровно
? ?
s = (m ? 1)/2 потребителей предпочитает увеличить потребление общественного блага, а дру-
гие s потребителей желали бы его уменьшить). В приведенном на диаграмме примере это
альтернатива x2 . Таким образом, равновесие при голосовании определяется предпочтениями
?
медианного потребителя. Обозначим индекс такого потребителя через i? . Заметим, что i? , во-
обще говоря, зависит от цены общественного блага p, поскольку от p зависят функции ui (x).
?
20
Условие vi (xi ) > 0 при xi > ? гарантирует существование такого количества.
11.6. Голосование простым большинством 420

Учитывая сказанное, (внутреннее) равновесие на рынке общественного блага в состоянии
равновесия с долевым финансированием и голосованием на основе правила простого большин-
ства характеризуется следующим образом. Если y — равновесный объем, а p — равновесная
?
цена общественного блага, то
p = c (?) и xi? = y ,
y ? ?

где i? — медианный потребитель при цене p.
В общем случае при нахождении равновесия для нахождения медианного потребителя
нужно знать равновесную цену, которая, в свою очередь, зависит от медианного потребителя
(желаемого им объема потребления общественного блага).
Но если предельные издержки производства общественного блага постоянны, то (во внут-
реннем равновесии) равновесная цена известна заранее — она равна предельным издержкам
и i? — медианный потребитель при этой цене.
В общем случае найти медианного потребителя при «правильной» цене можно на основе
следующего приема.
Заметим сначала, что поскольку p = c (?i? ), то величина xi? является решением одного из
x ?
следующих m уравнений
vi (xi ) = ?i c (xi ).

Предположим, что xi? — медиана из рассматриваемых величин {?i } — решений таких урав-
? x
нений. Тогда xi? является предпочитаемым медианным потребителем объемом потребления
?
общественного блага (то есть xi? = xi? ), а величина p = c (?i? ) — равновесной ценой обще-
? ? ? x
ственного блага.
Для доказательства этого факта достаточно показать, что при цене p = c (?i? ) потребитель
? x
i? является медианным потребителем. Покажем это. Для каждого потребителя i, такого что
xi
? xi? , величина c (?i ) не превышает величину равновесной цены p = c (?i? ). Поэтому
? x ? x
предпочитаемое при цене p потребителем i количество общественного блага xi? — решение
?
уравнения vi (xi ) = ?i p — не превышает величину xi . Таким образом xi xi? . Аналогичным
? ? ? ?
xi? . А это и означает, что потребитель i?
образом показывается, что если xi ? xi? , то xi
? ? ?
21 .
является медианным при ценах p = c (?i? )
? x
С другой стороны, если предельные полезности, деленные на доли, vi (xi )/?i , упорядочены
одинаково вне зависимости от уровня общественного блага, то медианный потребитель не
зависит от цены.
Сравним оптимальное количество общественного блага и его объем в равновесии при голо-
совании с долевым участием.
В особой ситуации, когда доли расходов равны предельным полезностям, соответствующим
его оптимальному количеству, т. е. ?i = vi (?), для всех участников выполнено соотношение:
x
xi = x , т. е. x предпочитается всеми потребителями (а не только более чем их половиной)
? ? ?
любой другой альтернативе.
Но при определении «правильных» долей финансирования мы должны опираться на при-
ватную информацию о предпочтениях потребителей, т. е. решить проблему выявления предпо-
чтений, трудности решения которой мы уже обсуждали и будем обсуждать ниже.
21
Можно рассмотреть и несколько другую процедуру — голосование относительно величины издержек на
производство общественного блага, r = c(x) (с индуцированными на множестве возможных общественных
издержек предпочтениями vi (r) = vi (c?1 (r)) ). Анализ этого механизма проводится по той же схеме. При
?
этом оказывается, что величина c(?i? ) представляет собой равновесное значение издержек. Таким образом,
x
медианные общественные издержки соответствуют медианному уровню общественного блага, хотя эти две
процедуры голосования подразумевают разные расходы (так как величина

p?i? = c (?i? )?i? ,
x xx

вообще говоря, отлична от величины c(?i? ) ).
x
11.6. Голосование простым большинством 421

В общем случае мы можем ожидать как недопроизводства общественного блага (?i? , x)),
x?
так и его перепроизводство.
1
Пусть, например, потребители финансируют общественное благо поровну, т. е. ?i = m ,
где число потребителей m нечетное. Тогда в равновесии при голосовании объем потребления
общественного блага xi? будет таким, что
?

1
vi? (?i? ) =
x c (?i? ).
x
m

С другой стороны, оптимальный (по Парето) объем потребления общественного блага есть
величина x , такая что
?
1 1
vi (?) = c (?).
x x
m i?I m

Таким образом, объем производства общественного блага в равновесии при голосовании с рав-
ными долями финансирования xi? является оптимальным тогда и только тогда, когда средняя
?
предельная полезность для этого количества равна предельной полезности медианного потре-
бителя.
Легко придумать такой набор функций vi (x), что для любого объема потребления обще-
ственного блага x средняя предельная полезность больше предельной полезности медианного
потребителя. В этом случае (при убывающей отдаче) можно доказать, что x > xi? . Если бы
? ?
x xi? , то
??
1 1 1
c (?) =
x vi (?) > vi? (?) vi? (?i? ) = c (?i? ).
x ?x ?x x
m m i?I m

Наоборот, если для любого объема потребления общественного блага x средняя предельная
полезность меньше предельной полезности медианного потребителя, то x < xi? . Если бы x
?? ?
xi? , то
?
1 1 1
c (?) =
x vi (?) < vi? (?) vi? (?i? ) = c (?i? ).
x ?x ?x x
m m i?I m

Пример 56 ((продолжение Примеров 54 и 55)):
В рассмотренном выше примере, когда

vi (xi ) = 2?i ln xi и c(y) = y 2 ,
v
v
имеем xi? = m?i? и x = m? , где ? = i?I ?i /m. Поэтому x
? ? ? ? ? xi? тогда и только тогда,
?
когда ? ?i? .
?
Пусть, например, ?i = i, и m нечетно. Тогда

m+1
? = ?i? = i? =
? ,
2

и объем производства общественного блага в равновесии при голосовании совпадает с опти-
мальным.
Если ?i = i2 , то
(m + 1)2
(m + 1)(2m + 1) ?2
?=
? и ?i? = (i ) = .
6 4
Поскольку ? > ?i? при m > 1, то x > xi? .
? ??
Если ?i = exp(?i), то при ? > 0 выполнено ? > ?i? и x > xi? . В то же время при ? < 0
? ? ?
выполнено ? < ?i? и x < xi? .
? ??
11.7. Равновесие с политическим механизмом 422


11.7 Долевое финансирование: равновесие с нерыночным
(политическим) механизмом коллективного выбора
В этом параграфе мы охарактеризуем общие свойства равновесий с различными механиз-
мами принятия коллективных решений об объемах производства общественных благ (согласо-
вания предпочтений потребителей относительно этих количеств). Одним из примеров таких
механизмов является рассмотренный выше механизм голосования по правилу простого боль-
шинства.
Мы будем использовать следующее (общее) представление механизма принятия коллектив-
ных решений об объемах производства общественных благ.
Y Потребители могут влиять на общественное решение путем выбора значений некото-
рых «политических» переменных. Поэтому каждый механизм характеризуется множеством
возможных значений политических переменных Zi (произвольной природы, т. е. это не обяза-
тельно действительные числа), правилом выбора их значений zi ? Zi каждым потребителем, а
также процедурой принятия коллективного решения G(z1 , . . . , zm ) относительно объемов про-
изводства общественных благ. Объем производства общественных благ x(1) ? X (1) выбирается
так, что
x(1) = G(z1 , . . . , zm ).
Y На выбор потребителя в данных моделях, в свою очередь, влияет размер бремени финан-
сирования общественного блага. Будем, как и выше, рассматривать долевое финансирование
с априорно устанавливаемыми долями потребителей в финансировании общественного блага
?ik (xk ).
Будем предполагать, что выбор каждого определяется из решения следующей задачи
(1)
ui (x(1) , xi ) > max
(xi ,zi )

?ik (xk )pk xk + pk xik + ?i (z1 , . . . , zm ) ?i , (11.6)
k?K1 k?K2

x(1) = G(z1 , . . . , zm ),
xi ? Xi , zi ? Zi .

Функция ?i (z1 , . . . , zm ) отражает расходы потребителя связанные с политической деятель-
ностью. Например, это могут быть расходы на лоббирование, подкуп должностных лиц, взносы
в фонды политических партий22 .
Определение 80:
Равновесие с долевым финансированием и процедурой принятия коллективного решения G(z1 , . . . , zm )
p???
есть набор (? , x, y, z), такой что
x?
???list # (? , y) — допустимое состояние экономики с общественными благами;
?
# для каждого потребителя пара xi и zi является решением соответствующей задачи

<< Предыдущая

стр. 98
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>