<< Предыдущая

стр. 99
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?
?
потребителя (11.6) при ценах p и доходах

? ??
?i = p?i + ?ij pyj + Si ;
j?J

?
# каждая технология yj является решением соответствующей задачи производителя (11.3)
?
при ценах p ;
22
Для упрощения изложения мы не учитываем здесь другие формы влияния политических переменных на по-
ведение и благосостояние потребителей. Можно было, например, ввести зависимость полезности потребителей
от z .
11.7. Равновесие с политическим механизмом 423

# сумма расходов на политику равна сумме трансфертов:
Si = ?i (z1 , . . . , zm ).
i?I i?I

Пример подобной конструкции можно построить на основе равновесия с голосованием про-
стым большинством, рассмотренного в предыдущем параграфе. В таком равновесии перемен-
ными zi могут служить функции ui (·). При этом следует предположить, что потребители не
?
обязательно правдиво сообщают эти функции.
Простейший политический механизм может состоять в том, что участники высказывают
свои заявки zi ? R+ на общественное благо, выраженные непосредственно в единицах этого
блага, и действует какая-то схема «усреднения» этих заявок G(z1 , . . . , zm ), удовлетворяющая
естественному требованию, состоящему в том, что если бы все подали одинаковые заявки, то
был бы выбран соответствующий объем общественного блага:
G(?, . . . , z ) = z .
z ? ?
Например, возможны такие схемы:
V1) среднее арифметическое: G(z) = i?I zi /m,
V2) минимум: G(z) = mini zi ,
V3) максимум: G(z) = maxi zi ,
V4) медиана: G(z) = med(z1 , . . . , zm ), где функция med(·) принимает значение среднего из
упорядоченных по возрастанию чисел z1 , . . . , zm , если же m четно, то среднего арифметиче-
ского из двух средних. Это правило, как мы уже видели выше, практически тождественно в
данном случае голосованию простым большинством.
Заметим, что для первых трех из этих схем при ?i (z) = 0 ?z естественно ожидать равно-
весия, в котором один из потребителей обеспечивает себе желаемый уровень общественного
блага. Так, при схеме V1 в типичном равновесии все потребители называют zi = 0, а один
(тот, кто в сравнительно большей степени «любит» общественное благо) — zi = mxi , где xi —
желательный для него объем общественного блага.

11.7.1 Задачи
v v
 514. Функции полезности двух потребителей равны u1 = G + x1 и u2 = 2 G + x2 , где G и
xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Имеющаяся технология поз-
воляет производить единицу общественного блага из 2 единиц частного. Первый потребитель
несет долю ? расходов на общественное благо, а второй — 1 ? ? .
(A) Вычислите долю ? , при которой достигается консенсус (по возможности, проиллюстри-
руйте на графике). Найдите соответствующее равновесие.
(B) Предположим, что количество общественного блага выбирается по правилу G = min(g1 , g2 ),
где gi 0 — заявка i-го потребителя. Найдите соответствующее равновесие в зависимости от
параметра ? .
(C) Будут ли указанные равновесия Парето-оптимальными? Поясните.
 515. Функции полезности двух потребителей равны u1 = ln G + x1 и u2 = 2 ln G + x2 , где G
и xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Имеющаяся технология
позволяет производить единицу общественного блага из единицы частного. Первый потреби-
тель несет долю ? расходов на общественное благо, а второй — 1 ? ? .
(A) Вычислите долю ? , при которой достигается консенсус (по возможности, проиллюстри-
руйте на графике). Найдите соответствующее равновесие.
(B) Предположим, что количество общественного блага выбирается по правилу M = max(g1 , g2 ),
где gi 0 — заявка i-го потребителя. Найдите соответствующее равновесие в зависимости от
параметра ? .
(C) Будут ли указанные равновесия Парето-оптимальными? Поясните.
11.8. Механизм Гровса—Кларка 424


11.8 Механизм Гровса—Кларка
??
В этом параграфе мы продолжим анализировать долевое финансирование общественного
блага и механизмы коллективного выбора уровня общественного блага.
Оказывается, что в частном случае, когда целевые функции квазилинейны, можно постро-
ить процедуру, корректно выявляющую предпочтения и функцию спроса на общественное
благо. Это механизм Гровса — Кларка.
Вначале мы предложим традиционный анализ механизма Гровса — Кларка, отступив от
равновесного подхода, которого мы последовательно придерживались до сих пор. А именно,
будем предполагать, что рассматриваемое сообщество непосредственно контролирует произ-
водство общественного блага. Потребители, соответственно, принимая решение о потреблении
общественного блага в объеме x, должны, в соответствие с используемой технологией, за-
тратить c(x) единиц частного блага, а не величину px — его стоимость, соответствующую
рыночной цене p.
Позже мы вернемся к предположению о конкурентном производстве общественных благ и
покажем, как можно вписать процедуру Гровса — Кларка в рамки равновесной модели, рас-
смотренной в предыдущем параграфе.
Механизм Гровса — Кларка
(0) Априорно устанавливаются доли финансирования общественного блага ?i (x) для каж-
дого возможного объема потребления общественного блага x ( i?I ?i (x) = 1 ?x ? X ).
(1) Потребители сообщают функции ?i (·) ? ?i — их оценки общественного блага. Здесь
?i — множество возможных функций вида ?i (·) : X > R.
По замыслу процедуры функции ?i (·) должны отражать чистые полезности при данной
схеме финансирования от каждого уровня общественного блага, т. е.

?i (x) = vi (x) ? ?i (x)c(x),

но, вообще говоря, могут не совпадать с ними. Потребители в принципе могут манипулировать
этими оценками с целью увеличения своего благосостояния; задача предлагаемого механизма
как раз и состоит в том, чтобы побуждать потребителей сообщать истинные оценки.
Предполагается, конечно, что ?i включает vi (x) ? ?i (x)c(x).
(2) Выбирается уровень блага, максимизирующий суммарную чистую объявленную полез-
ность:
x ? argmax
? ?i (x),
x
i?I

а также вычисляется максимальное значение суммарной чистой объявленной полезности, ко-
торая получается без учета мнения i-го потребителя:

V(i) = max ?j (x).
x
j=i


(3) Определяется налог Кларка на каждого потребителя за изменение коллективного выбо-
ра, равный убыткам остальных потребителей, рассчитанный на основе функций ?i (·):

?i = V(i) ? ?j (?).
x
j=i

Очевидно, что этот налог неотрицателен. Этот налог должен быть изъят из данной эконо-
мики.
11.8. Механизм Гровса—Кларка 425

В результате данной процедуры полезность i-го потребителя с точностью до константы
определяется величиной
vi (?) ? ?i (?)c(?) ? ?i .
x xx
В данной модели предполагается, что каждый потребитель максимизирует эту величину, вы-
бирая сообщаемую функцию ?i (·). При этом потребитель учитывает влияние этого выбора на
выбранный объем общественного блага x и на величину налога Кларка ?i , которую он дол-
?
жен в результате выплатить. Однако предполагается, что потребитель не учитывает влияние
выбора ?i (·) на величину трансфертов, распределяющих налог Кларка. Мы будем предпола-
гать, что это происходит по той причине, что таких трансфертов обратно рассматриваемым
потребителям попросту не существует: налог Кларка выплачивается в частном благе и не
перераспределяется, а должен быть изъят из данной экономики.
Можно заметить, что приведенное описание механизма Гровса — Кларка не является пол-
ным. Это, прежде всего, относится, к выбору уровня общественного блага. Во-первых, посколь-
ку не задано никаких ограничений на функции ?i (·), то величины argmaxx i?I ?i (x), V(i) ,
значение которых фигурирует в спецификации механизма Гровса — Кларка, не обязательно
существуют. Во-вторых, величина x не задана однозначно (максимум не обязательно дости-
?
гается в единственной точке), поэтому истинные чистые полезности потребителей не заданы
однозначно.
Поэтому специфицируем механизм Гровса — Кларка более детально, указав формальное
представление данного механизма в виде класса игр. Чтобы задать механизм Гровса — Кларка
как игру, нам следует указать соответствующие множество игроков, множество их стратегий
и функции выигрышей.
1. Множество игроков игры, соответствующей данному механизму, совпадает с множеством
потребителей
2. Стратегии каждого игрока — это сообщаемые им оценки ?i (·). В случае, когда множе-
ство возможных вариантов производства общественного блага не является конечным, множе-
ства возможных стратегий ?i должны удовлетворять ограничениям, гарантирующим суще-
ствование максимума суммы оценок, фигурирующих в описании механизма Гровса — Кларка.
Например, в ситуации, когда x ? R+ , достаточно потребовать, чтобы эти оценки были непре-
рывными функциями, которые могут принимать положительное значение лишь на компакт-
ном множестве [0, M ], причем ?i (0) = 0 ?i.
3. Поскольку условие x ? argmaxx i?I ?i (x) неоднозначно определяет объем общественно-
?
го блага, а, следовательно, и возможные выигрыши участников, то для полноты спецификации
игры мы должны указать правило выбора объема общественного блага x = G({?i (·)}i ), такое
?
что
G({?i (·)}i ) ? argmax ?i (x).
x
i?I

Выигрыш i-го потребителя тогда рассчитывается по указанным выше формулам при x =
?
G({?i (·)}i ).
Теорема 122:
Истинная функция чистой полезности

?i (x) = vi (x) ? ?i (x)c(x) —

доминирующая стратегия для каждого потребителя в любой из игр, соответствующих ме-
ханизму Гровса — Кларка.

Доказательство: Пусть x — уровень общественного блага, который будет выбран, если потре-
?
битель сообщит истинную чистую полезность, т. е. назовет ?i (x) = vi (x) ? ?i (x)c(x), а x —
?
11.8. Механизм Гровса—Кларка 426

уровень общественного блага, который будет выбран, если потребитель сообщит некоторую
другую возможную функцию ?i (·) ? ?i .
?
В первом случае его выигрыш будет равен

vi (?) ? ?i (?)c(?) ? V(i) +
x xx ?j (?),
x
j=i

во втором случае —
vi (?) ? ?i (?)c(?) ? V(i) +
x xx ?j (?).
x
j=i

Заметим, что значение V(i) не зависит от выбора потребителя i и в обоих случаях одинаково.
Первая величина не может быть меньше второй, поскольку по определению величины x ?
она выбирается так, что для любого x выполнено

?i (?) +
x ?j (?)
x ?i (x) + ?j (x),
j=i j=i

где ?i (x) = vi (x) ? ?i (x)c(x), в том числе, это выполнено для x = x .
?

Заметим, что равновесие в доминирующих стратегиях является также равновесием в смыс-
ле Нэша.
Таким образом, механизм Гровса — Кларка оказывается неманипулируемым в том смысле,
что потребители не заинтересованы искажать объявляемые оценки с целью повлиять на выбор
объема общественного блага в благоприятном для себя направлении. Заметим, что тот же
механизм без налогов Кларка является манипулируемым. Это происходит потому, что (как и
в любой ситуации с экстерналиями) каждый потребитель не учитывает влияния своих решений
на благосостояние других потребителей.
Теорема 123:
Если все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т. е.

?i (x) = vi (x) ? ?i (x)c(x).

то уровень потребления общественного блага, определенный посредством механизма Гров-
са — Кларка, Парето-оптимален, то есть максимизирует общественное благосостояние W (y) =
i?I vi (y) ? c(y).

Доказательство этого факта очевидно. Достаточно заметить, что если все потребители со-
общили истинные функции чистой полезности, то W (y) = i?I ?i (y).
Итак, естественно ожидать, что при использовании этой процедуры будет выбран опти-
мальный уровень общественного блага. Однако состояние такой экономики окажется неопти-
мальным в случае, когда хотя бы один потребитель выплачивает налог Кларка, поскольку
такие налоги — чистые потери для данной экономики частного блага в размере, равной сумме
налогов Кларка. При этом мы следуем интерпретации, что налоги изымаются, но не перерас-
пределяются. (Если предположить, что налоги идут потребителям, которые не участвуют в
процедуре и включить этих потребителей в вычисление благосостояния, то оптимум в смысле
Парето все же будет иметь место.)
В некоторых случаях, однако, можно гарантировать, что налоги Кларка равны нулю. Для
случая бесконечно делимого общественного блага эти ситуации характеризует следующая тео-
рема.
Теорема 124:
Пусть
функции полезности и функция издержек дифференцируемы;
11.8. Механизм Гровса—Кларка 427

функции полезности вогнуты, а функция издержек выпукла;
доли финансирования общественного блага не зависят от объема его потребления и
равны
vi (?)
x
?i = ,
j?I vj (?)
x
где x — Парето-оптимальный объем общественного блага;
?
все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т. е.

?i (x) = vi (x) ? ?i c(x).

Тогда налоги Кларка равны нулю.

<< Предыдущая

стр. 99
(из 165 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>