<< Предыдущая

стр. 10
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

^
так и отрицательной и, таким образом, функция u(.) не является вогнутой. Отметим, что,
тем не менее, данная функция является квазивогнутой. (Проверьте это!) Этот результат,
вообще говоря, не удивителен, так как выше мы установили два факта: 1) каждая вогнутая
функция является квазивогнутой; 2) монотонно возрастающее преобразование переводит
квазивогнутую функцию в квазивогнутую.
?




45
46

Рассмотренные выше свойства выпуклости и строгой выпуклости предпочтений тесно
связаны с понятием предельной нормы замены25. Покажем теперь, что из выпуклости
предпочтений следует закон неубывания предельной нормы замены.
Предположим, что предпочтения потребителя представимы дважды непрерывно диффе-
ренцируемой квазивогнутой функцией полезности u:  + > . Содержательно, норма заме-
n


ны указывает на то количество блага j, на которое необходимо сократить потребление
этого товара в обмен на увеличение потребления блага i с тем, чтобы уровень полезности
потребителя и количество всех остальных товаров оставались неизменными. Таким обра-
зом, в случае если количество блага i изменяется на дифференциально малую величину
-
dxi, то для того, чтобы потребитель остался на той же самой кривой безразличия u(x) = u
количество блага j при условии что количество остальных благ остается неизменным
должно измениться на величину dxj такую что
ui?(x) dxi + uj?(x) dxj = 0.
Отсюда
u ?(x)
dxj
.
=– i
uj?(x)
dxi

Под предельной нормой замены i-ым благом j-ого обычно понимается величина
ui?(x)
.
MRSij(x) = –
uj?(x)
Найдем производную предельной нормы замены по xi, помня о том, что количества благ,
кроме i-го и j-го, не изменяются, и, мы находимся на одной и той же кривой безразличия
(т.е. фактически предполагая зависимость xj от xi). В этом случае
dMRSij(x) ?MRSij(x) ?MRSij(x) ?xj(xi)
?
= + =
?xi ?xj ?xi
dxi

?MRSij(x) ?MRSij(x)
? MRSij(x).
= +
?xi ?xj
С учетом того, что
?MRSij(x) u ??(x) uj?(x) – ui?(x) uij??(x)
,
= – ii
?xi (uj?(x))2
?MRSij(x) u ??(x) uj?(x) – ui?(x) ujj??(x)
= – ij
?xj (uj?(x))2
получаем что
u ??(x) uj?(x) – ui?(x) uij??(x) uij??(x) uj?(x) – ui?(x) uij??(x) ui?(x)
dMRSij(x)
?
= – ii + ==
(uj?(x))2 (uj?(x))2 uj?(x)
dxi
2uij??(x)ui?(x)uj?(x) – (ui?(x))2ujj??(x)– (uj?(x))2uii??(x)
.
(uj?(x))3


25
Возможно, что впервые связь между поведением предельной нормы замены и выпуклостью предпочтений
было отмечена Джоном Хиксом и Роем Алленом: «Принцип убывающей предельной полезности должен
уступить место возрастающей предельной нормой замены…. Это условие выражается на диаграмме безраз-
личия с помощью кривых безразличия, выгнутых по направлению к осям.» (Hicks, J.R., Allen R.G.D., A Re-
consideration of the Theory of Value, Economica, 1934 (Цитировано по: Теория потребительского поведения и
спроса, под ред. В.М. Гальперина, Спб.: Экономическая Школа, 1993 )).

46
47

Проверим, что закон неубывания предельной нормы замены выполняется, если функция
полезности квазивогнута, или, что тоже самое, предпочтения выпуклы. В случае непре-
рывной дифференцируемости функции полезности квазивогнутость эквивалентна отрица-
тельной полуопределенности матрицы Гессе на гиперплоскости ?u(x)z = 0. Рассмотрим
вектор z равный 0 для всех индексов не равных i, j и zi = – uj?(x), zj = ui?(x). Очевидно, что
?u(x)z = 0. Проведя непосредственные вычисления, получаем что
z?Hz= (ui?(x))2ujj??(x) – 2uij??(x)ui?(x)uj?(x) + (uj?(x))2uii??(x) < 0.
Таким образом, в случае выпуклости предпочтений при uj?(x) > 0 мы имеем выполнение
закона неубывания предельной полезности. Отметим, что в некотором смысле верно и
обратное, т.е. выпуклость предпочтений эквивалентна неубыванию нормы предельной
замены26.
В приложениях экономической теории очень часто рассматриваются также дополнитель-
ные свойства предпочтений, которые налагают более сильные требования на функцию
полезности. Так, например, в макроэкономике при рассмотрении поведения агрегирован-
ного потребителя часто предполагается выполнение свойства гомотетичности.

Определение 10.
Отношение предпочтения называется гомотетичным , если
(1) для каждого положительного t tx?X тогда и только тогда, когда x ?X.
(2) для каждого положительного t соотношение tx ˜ ty выполняется тогда и только то-
гда, когда выполняется соотношение x˜y.


Опираясь, на приведенную в прошлом параграфе схему доказательства существования
функции полезности представляющей строго монотонные предпочтения легко показать,
что для строго монотонных и гомотетичных предпочтений существует положительно од-
нородная функция полезности, представляющая эти предпочтения. Особенностью поло-
жительно однородной функции полезности является то, что предельная норма замены для
любой пары товаров остается неизменной на луче tx. Это полезное свойство эквивалентно
тому, что кривые Энгеля27 являются лучами, выходящими из начала координат. Кроме
того, при выполнении этого свойства, свойств локальной ненасыщаемости, непрерывно-
сти и выпуклости, система неоклассических предпочтений допускает представление во-
гнутой функцией полезности28.
В теории отраслевых рынков важную роль играют предпочтения, обладающие свойством
квазилинейности.

Определение 11.
Отношение предпочтения называется квазилинейным на X по K-му благу, если
• для каждого положительного t из x ?X следует x + teK?X;
• для каждого положительного t и x,y? X из x˜y следует x + teK˜ y + teK.



26
Доказательство этого факта смотри в Arrow K.J., Enthoven A.C., Quasi-Concave Programming,
Econometrica, V. 29(4), 1961
K+1
27
Кривыми Энгеля при ценах p в микроэкономике называется функция ?(R) = x(p,R), где x:  + >  + –
- -
-
функция спроса, p – некоторый фиксированный вектор цен, R – доход потребителя.
28
Подробнее смотри Rader, T., Theory of Microeconomics, NY, Academic Press,1972, pp. 166-67.

47
48

Отношения предпочтения, обладающие данным свойством, допускают представление
˜
функцией полезности вида u(x) = u(x–K) + axK. Эта функциональная форма задает такую
систему функций спроса, что спрос на первые K–1 благо не зависит от дохода и, тем са-
мым, для этих благ полностью отсутствует эффект дохода. Данное свойство оказывается
полезно при обсуждении агрегирования предпочтений и выяснении влияния изменения
параметров модели (например, цен и доходов) на благосостояние потребителя.
Наконец в макроэкономике, обычно рассматриваются функции полезности потребителя
n
вида u(x)=¤ui(xi). Такие функции полезности получаются в случае так называемых сепа-
i=1
s
рабельных предпочтений. Пусть {Ni}i=1 – разбиение множества {1, ..., K}, т.е. [i=1Ni = {1,
s


..., K}, Ni]Nj=? при i?j и, кроме того, X =X1 ?X2 ?...? Xs. Такое разбиение допустимого
потребительского множества довольно естественно, если мы рассматриваем предпочтения
индивидуума во времени, и Xi рассматривается как «сужение» допустимого потребитель-
ского множества на i–ый период (год). Отметим, что неявно предполагается такая нуме-
рация благ, где номера благ из Ni+1 идут сразу за номерами благ из Ni. Если исходно это
не так, то данного свойства можно достичь простой перенумерацией.

Определение 12.
s
Отношение предпочтения называется слабо сепарабельным, если для разбиения {Nj}j=1
множества {1, ..., K} из того, что (xj,x–j)} (yj,y–j), для xj,yj?Xj и некоторых x–j,y–
^_ ^ ^^
j??i?jXi следует что (xj,x–j) } (yj,y–j) для всех x–j,y–j??i?jXi.
_


Очевидно, что в случае, если предпочтения представимы аддитивно–сепарабельной
функцией полезности, то это свойство выполнено, и, ранжировка потребительских набо-
ров x=(x–I, xI) и x?=(x?–I, xI) не зависит от значений xI. Очевидно, также, что данное
свойство должно быть выполнено при любом выборе подмножества I. Данное соображе-
ние мотивирует следующее определение:

Определение 13.
Слабо сепарабельные отношения предпочтения называются строго сепарабельными,
если свойство слабой сепарабельности выполняется при любом разбиении множества {1,
..., K}.


Относительно предпочтений удовлетворяющих свойству строгой сепарабельности спра-
ведливо, что непрерывные предпочтения строго сепарабельны, тогда и только тогда, когда
каждое их непрерывное представление функцией полезности аддитивно–сепарабельно29.
Данный тип предпочтений позволяет нам гарантировать отсутствие товаров Гиффена и
многие другие полезные свойства функции спроса.
Итак, к данному моменту отталкиваясь от нескольких достаточно разумных аксиом о
свойствах индивидуальных предпочтений, были получены достаточные условия сущест-
вования функции полезности и рассмотрены условия на предпочтения, гарантирующие
такие ее естественные свойства как монотонность, квазивогнутость и т.д. Тем самым, был
описан способ, которым потребитель упорядочивает потребительские наборы из множе-
ства допустимых альтернатив. Для того чтобы перейти к анализу выбора потребителя ос-
талось рассмотреть дополнительные ограничения на альтернативы, которые совместно с

29
Подробнее о сепарабельности предпочтений смотри Barten, A.P., Bohm, V., Consumer Theory, in Handbook
of Mathematical Economics, V.2, K.J. Arrow, M.D. Intriligator, eds., North-Holland, 1982 (pp. 392-94), и содер-
жащиеся там ссылки.

48
49

ограничениями налагаемыми множеством допустимых альтернатив и формируют ту си-
туацию выбора, с которой сталкивается потребитель.

Задачи
38.
A) “…suppose we choose x1˜ x2. Point x1 represents a bundle containing a proportion of the
good x1 which is relatively “extreme,” compared to the proportion of x1 in the other bundle x2.
The bundle x2, by contrast, contains a proportion of the other good, x2, which is relatively ex-
treme compared to that contained in x1. Though each contains a relatively high proportion of one
good compared to the other, the consumer is indifferent between the two bundles. Now, any
convex combination of x1 and x2, such as xt, will be a bundle containing a more “balanced”
combination of x1 and x2 than does either “extreme” bundle x1 or x2 ”30
Б) “Условие выпуклости … чрезвычайно важно и более ограничительно. Оно означает,
что если каждый из двух векторов x’, x’’ предпочитается третьему вектору x, то любая их
“смесь” ?x’+(1-?) x’’, 0 < ? < 1 также считается лучше x. Вполне вероятно, что вы люби-
те виноградный и томатный соки больше яблочного, но это вовсе не означает, что вы
предпочтете выпить вместо стакана яблочного стакан смеси из виноградного и томатного
соков. Однако в теоретических рассуждениях обычно рассматривают потребление за бо-
лее длительный промежуток времени, например за год. Тогда выпуклость предпочтений в
приведенном выше примере означает, что если вы предпочитаете виноградный и томат-
ный соки яблочному, то вы готовы также пить часть года первый из них, а оставшуюся
часть – второй вместо яблочного круглый год. Такое допущение вполне правдоподобно,
хотя возможны и возражения. Одно из них состоит в том, что предпочтение зависит от
способа чередования напитков в течении года. Другое, быть может, более существенное,
относится к самому методу описания поведения: мои предпочтения могут меняться в за-
висимости от многих причин, например от самочувствия, так что говорить о предпочте-
нии одного потребительского набора другому не имеет смысла.”31
Прокомментируйте эти цитаты. Согласны ли Вы с ними? Если нет, то почему?


39. Покажите, что функция полезности монотонна (не убывает) тогда и только тогда, ко-
гда монотонно представляемое ею отношение предпочтения.


40. Покажите, что строго монотонные предпочтения локально ненасыщаемы. Приведите
пример монотонных предпочтений, не обладающих свойством локальной ненасыщаемо-
сти.


41. Приведите пример выпуклых локально ненасыщаемых предпочтений, которые не об-
ладают свойством монотонности.


42. Покажите, что строго выпуклые монотонные предпочтения локально ненасыщаемы.




30
Jehle, G.A. and Reny P.J., Advanced Microeconomic Theory, Addison-Wesley, 1998, p. 118
31
Полтерович, В.М., Экономическое равновесие и хозяйственный механизм, М.: Наука, 1990, стр. 10.

49
50

43. Покажите, что если полные транзитивные и непрерывные предпочтения заданы на
компактном множестве X, то эти предпочтения не могут обладать свойством локальной
ненасыщаемости.

<< Предыдущая

стр. 10
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>