<< Предыдущая

стр. 101
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

(B) Предположим, что количество общественного блага выбирается по правилу
G = min(g1, g2), где gi > 0 — заявка i-го потребителя. Найдите соответствующее равновесие
в зависимости от параметра ?.
(C) Будут ли указанные равновесия Парето-оптимальными? Поясните.


25. Функции полезности двух потребителей равны u1 = ln G + x1 и u2 = 2 ln G + x2, где G и
xi — потребление общественного и частного блага соответственно. Имеющаяся техноло-

433
434
гия позволяет производить единицу общественного блага из единицы частного. Первый
потребитель несет долю ? расходов на общественное благо, а второй — 1 – ?.
(A) Вычислите долю ?, при которой достигается консенсус (по возможности, проиллюст-
рируйте на графике). Найдите соответствующее равновесие.
(B) Предположим, что количество общественного блага выбирается по правилу
M = max(g1, g2), где gi > 0 — заявка i-го потребителя. Найдите соответствующее равновесие
в зависимости от параметра ?.
(C) Будут ли указанные равновесия Парето-оптимальными? Поясните.

Механизм Гровса—Кларка
В этом параграфе мы продолжим анализировать долевое финансирование общественного
блага и механизмы коллективного выбора уровня общественного блага.
Оказывается, что в частном случае, когда целевые функции квазилинейны, можно постро-
ить процедуру, корректно выявляющую предпочтения и функцию спроса на обществен-
ное благо. Это механизм Гровса—Кларка.
Вначале мы предложим традиционный анализ механизма Гровса—Кларка, отступив от
равновесного подхода, которого мы последовательно придерживались до сих пор. А
именно, будем предполагать, что рассматриваемое сообщество непосредственно контро-
лирует производство общественного блага. Потребители, соответственно, принимая ре-
шение о потреблении общественного блага в объеме x, должны, в соответствие с исполь-
зуемой технологией, затратить c(x) единиц частного блага, а не величину px — его ры-
ночную цену.
Позже мы вернемся к предположению о конкурентном производстве общественных благ и
покажем, как можно вписать процедуру Гровса—Кларка в рамки равновесной модели,
рассмотренной в предыдущем параграфе.
Механизм Гровса—Кларка
(0) Априорно устанавливаются доли финансирования общественного блага ?i(x) для каж-
дого возможного объема потребления общественного блага x (¤?i(x) = 1 ?x ? X).
i?I

(1) Потребители сообщают функции ?i(?) ? ?i — их оценки общественного блага. Здесь
?i — множество возможных функций вида ?i(?): X &  .
По замыслу процедуры функции ?i(?) должны отражать чистые полезности при данной
схеме финансирования от каждого уровня общественного блага, т.е.
?i(x) = vi(x) – ?i(x)c(x),
но, вообще говоря, могут не совпадать с ними. Потребители в принципе могут манипули-
ровать этими оценками с целью увеличения своего благосостояния; задача предлагаемого
механизма как раз и состоит в том, чтобы побуждать потребителей сообщать истинные
оценки.
Предполагается, конечно, что vi(x) – ?i(x)c(x) ? ?i.
(2) Выбирается уровень блага, максимизирующий суммарную чистую объявленную по-
лезность:

x ? argmax x ¤?i(x),
-
i?I


434
435
а также вычисляется максимальное значение суммарной чистой объявленной полезности,
которая получается без учета мнения i-го потребителя:

V(i) = max x ¤?j(x).
j?i

(3) Определяется налог Кларка на каждого потребителя за изменение коллективного выбо-
ра, равный убыткам остальных потребителей, рассчитанный на основе функций ?i(?):

?i = V(i) – ¤?j(x).
-
j?i

Очевидно, что этот налог неотрицателен. Этот налог должен быть изъят из данной эконо-
мики.
В результате данной процедуры полезность i-го потребителя с точностью до константы
определяется величиной
vi(x) – ?i(x)c(x) – ?i.
- --
В данной модели предполагается, что каждый потребитель максимизирует эту величину,
выбирая сообщаемую функцию ?i(?). При этом потребитель учитывает влияние этого вы-
бора на выбранный объем общественного блага x и на величину налога Кларка ?i, кото-
-
рую он должен в результате выплатить. Однако предполагается, что потребитель не учи-
тывает влияние выбора ?i(?) на величину трансфертов, распределяющих налог Кларка. Мы
будем предполагать, что это происходит по той причине, что таких трансфертов обратно
рассматриваемым потребителям попросту не существует: налог Кларка выплачивается в
частном благе и не перераспределяется, а должен быть изъят из данной экономики.
Можно заметить, что приведенное описание механизма Гровса—Кларка не является пол-
ным. Это, прежде всего, относится, к выбору уровня общественного блага. Во-первых,
поскольку не задано никаких ограничений на функции ?i(?), то величины argmax x ¤?i(x),
i?I
V(i), значение которых фигурирует в спецификации механизма Гровса—Кларка, не обяза-
-
тельно существуют. Во-вторых, величина x не задана однозначно (максимум не обяза-
тельно достигается в единственной точке), поэтому истинные чистые полезности потреби-
телей не заданы однозначно.
Поэтому специфицируем механизм Гровса—Кларка более детально, указав формальное
представление данного механизма в виде класса игр. Чтобы задать механизм Гровса—
Кларка как игру, нам следует указать соответствующие множество игроков, множество их
стратегий и функции выигрышей.
1. Множество игроков игры, соответствующей данному механизму, совпадает с множест-
вом потребителей
2. Стратегии каждого игрока — это сообщаемые им оценки ?i(?). В случае, когда множе-
ство возможных вариантов производства общественного блага не является конечным,
множества возможных стратегий ?i должны удовлетворять ограничениям, гарантирую-
щим существование максимума суммы оценок, фигурирующих в описании механизма
Гровса—Кларка. Например, в ситуации, когда x ?  +, достаточно потребовать, чтобы эти
оценки были непрерывными функциями, которые могут принимать положительное значе-
ние лишь на компактном множестве [0, M], причем ?i(0) = 0 ?i.

3. Поскольку условие x ? argmax x ¤?i(x) неоднозначно определяет объем общественного
-
i?I
блага, а, следовательно, и возможные выигрыши участников, то для полноты специфика-
435
436
-
ции игры мы должны указать правило выбора объема общественного блага x = G({?i(?)}i),
такое, что

G({?i(?)}i) ? argmax x ¤?i(x).
i?I

-
Выигрыш i-го потребителя тогда рассчитывается по указанным выше формулам при x
= G({?i(?)}i).

Теорема 4.
Истинная функция чистой полезности
?i(x) = vi(x) – ?i(x)c(x) —
доминирующая стратегия для каждого потребителя в любой из игр, соответствующих
механизму Гровса—Кларка.

Доказательство.
-
Пусть x — уровень общественного блага, который будет выбран, если потребитель сооб-
щит истинную чистую полезность, т.е. назовет ?i(x) = vi(x) – ?i(x)c(x), а x — уровень об-
˜
щественного блага, который будет выбран, если потребитель сообщит некоторую другую
возможную функцию ?i(?)??i.
˜
В первом случае его выигрыш будет равен

vi(x) – ?i(x)c(x) – V(i) + ¤?j(x),
- -- -
j?i

во втором случае —

vi(x) – ?i(x)c(x) – V(i) + ¤?j(x).
˜ ˜˜ ˜
j?i

Заметим, что значение V(i) не зависит от выбора потребителя i и в обоих случаях одинако-
во.
-
Первая величина не может быть меньше второй, поскольку по определению величины x
она выбирается так, что для любого x выполнено

?i(x) + ¤?j(x) > ?i(x) + ¤?j(x),
- -
j?i j?i

где ?i(x) = vi(x) – ?i(x)c(x), в том числе, это выполнено для x = x.
˜
*
Заметим, что равновесие в доминирующих стратегиях является также равновесием в
смысле Нэша.
Таким образом, механизм Гровса—Кларка оказывается неманипулируемым в том смысле,
что потребители не заинтересованы искажать объявляемые оценки с целью повлиять на
выбор объема общественного блага в благоприятном для себя направлении. Заметим, что
тот же механизм без налогов Кларка является манипулируемым. Это происходит потому,
что (как и в любой ситуации с экстерналиями), каждый потребитель не учитывает влияния
своих решений на благосостояние других потребителей.

Теорема 5.

436
437
Если все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т.е.
?i(x) = vi(x) – ?i(x) c(x).
то уровень потребления общественного блага, определенный посредством механизма
Гровса—Кларка, Парето-оптимален, то есть максимизирует общественное благосостоя-
ние W(y) = ¤i vi(y) – c(y).


Доказательство этого факта очевидно. Достаточно заметить, что если все потребители
сообщили истинные функции чистой полезности, то W(y) = ¤i ?i(y).
Итак, естественно ожидать, что при использовании этой процедуры будет выбран опти-
мальный уровень общественного блага. Однако состояние такой экономики окажется не-
оптимальным в случае, когда хотя бы один потребитель выплачивает налог Кларка, по-
скольку такие налоги — чистые потери для данной экономики частного блага в размере,
равной сумме налогов Кларка. При этом мы следуем интерпретации, что налоги изымают-
ся, но не перераспределяются. (Если предположить, что налоги идут потребителям, кото-
рые не участвуют в процедуре и включить этих потребителей в вычисление благосостоя-
ния, то оптимум в смысле Парето все же будет иметь место).
В некоторых случаях, однако, можно гарантировать, что налоги Кларка равны нулю. Для
случая бесконечно делимого общественного блага эти ситуации характеризует следующая
теорема.

Теорема 6.
Пусть
¦ функции полезности и функция издержек дифференцируемы;
¦ функции полезности вогнуты, а функция издержек выпукла;
¦ доли финансирования общественного блага не зависят от объема его потребления и
равны
v?(x)
i^
?i = ,
¤j v?(x)
j^


^
где x — Парето-оптимальный объем общественного блага;
¦ все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т.е.
?i(x) = vi(x) – ?ic(x).
Тогда налоги Кларка равны нулю.

Доказательство.
Покажем сначала, что максимум функций
v?(x)
i^
?i(x) = vi(x) – c(x),
¤j v?(x)
j^


достигается при x = x. Действительно производная функции ?i(x) в точке x = x равна ну-
^ ^
лю:
v?(x)
i^
??(x) = v?(x) –
i^ i^ ^
c?(x) = 0.
¤j v?(x)
^
j




437
438
Поскольку ?i(?) — вогнутая функция, c(?) — выпуклая функция, а доли финансирования
общественного блага не зависят от объема его потребления, то, значит, необходимые ус-
^
ловия оптимальности здесь являются достаточными. Следовательно, при x = x функция
достигает максимального значения, то есть
x ? argmax x ?i(x).
^
Отсюда следует, что

x ? argmax x ¤?i(x).
^
i?I


Более того, несложно понять, что для любого x ? argmax x ¤?i(x) имеет место равенство
-
i?I
147
?i(x) = ?i(x)
^ - , и поэтому

V(i) = ¤?j(x) = ¤?j(x).
^ -

<< Предыдущая

стр. 101
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>