<< Предыдущая

стр. 102
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

j?i j?i

Простое вычисление показывает, что ?i= 0 ?i.
*
Имеет место и обратное утверждение о том, что если налоги Кларка оказались равными
нулю, то это говорит о том, что доли финансирования были пропорциональны предель-
ным полезностям.


Теорема 7.
Пусть
! функции полезности и функция издержек дифференцируемы;
! доли финансирования общественного блага не зависят от объема;
! все потребители сообщили истинные функции чистой полезности, т.е.
?i(x) = vi(x) – ?ic(x);
-
! был выбран уровень общественного блага x, такой что
x ? int(X );
(1)
-
! налоги Кларка равны нулю.
Тогда выполнено соотношение
v?(x)
i-
?i = .
¤j v?(x)
j-




Доказательство.
Равенство всех налогов Кларка нулю означает, что

max x ¤?j(x) = ¤?j(x) ?i.
-
j?i j?i

Это означает, что

147
Читателю предлагается доказать этот факт самостоятельно.

438
439

¤??(x) = 0 ?i.
j-
j?i

-
С другой стороны, из того, что x определяется из условия

x ? argmax x ¤?i(x)
-
i?I

следует, что

¤??(x) = 0.
j-
j?I

Таким образом,
??(x) = 0 ?i.
i-

т.е.
v?(x) = ?ic?(x) ?i
i- -
или
v?(x)
i-
?i = ?i.
-
c?(x)
А это означает, что
v?(x)
i-
?i = ?i.
¤j v?(x)
j-


*
В «достаточно большой» экономике влияние отдельного потребителя на результат работы
механизма Гровса—Кларка незначителен, соответственно, можно ожидать, что в такой
экономике размер налогов Кларка мал.
Проиллюстрируем это утверждение на примере, показав, что размер налогов Кларка убы-
вает в «достаточно больших» экономиках, являющихся t-репликами исходной.
Чтобы исследовать влияние изменений только размера экономики на величину налога
Кларка и элиминировать влияние изменений оценок общественного блага при росте числа
потребителей, определим реплику следующим образом.
Будем называть экономику t-репликой исходной экономики, если в ней
— существует технология, позволяющая производить x единиц общественного блага,
затратив tc(x) единиц частного;
— имеется t – 1 «двойник» для каждого потребителя исходной экономики и таким образом
t потребителей каждого типа. Соответственно, доля каждого из них в финансировании
общественного блага равна ?i/t. Поэтому чистая полезность x единиц общественного бла-
га у каждого такого потребителя есть величина
?i(x) = vi(x) – ?i(x)c(x)
Пример 5.
Пусть опять
vi(x) = 2?i ln x, c(y) = y2,

439
440
и потребители финансируют общественное благо поровну, т.е. ?i = 1/m. В данном случае
истинная оценка i-го потребителя равна
vi(x) – c(x)/m = 2?i ln x – x2/m.
Если все потребители сообщат свои истинные оценки, то выбранный уровень обществен-
ного блага окажется равным

x = argmax ¤?i(x) = argmax ¤(2?i ln x – x2/m),
-
i?I i?I

откуда

x = argmax (2¤?i ln x – x2) = ¤ ?i = m? = y.
- -^
i?I i?I

Далее,
m–1
V(i) = max ¤?j(x) = max (2¤?j ln x – m x2),
j?i j?i

откуда
m
V(i) = ¤?j ln(m – 1¤?j) – ¤?j =
j?i j?i j?i
m? – ?i
-
= (m? – ?i) ln(m m – 1 ) – (m? – ?i),
- -

Поскольку
m–1
¤?j(x) = ¤?j ln(¤?i) – m ¤?i =
-
j?i j?i i?I i?I
= (m? – ?i)ln(m?) – (m – 1)?,
- - -
то налог Кларка для i-го потребителя равен

?i = V(i) – ¤?j(x) =
-
j?i

= (m? – ?i)(ln(m – ?i/?) – ln(m – 1)) + ?i – ?.
- - -
Покажем, что если реплицировать эту экономику, то налоги Кларка в ней стремятся к ну-
лю. В t-й реплике будет mt потребителей, которых удобно нумеровать двумя индексами
— i и t, где индекс i означает, что этот потребитель совпадает с i-м потребителем исход-
ной экономики, т.е. ?it = ?i. Функция издержек в t-й реплике будет иметь вид
c[t](y) = tc(y) = ty2.
Пусть опять потребители сообщают истинные оценки, равные
?it(x) = vit(x) – c[t](x)/(mt) = 2?i ln x – x2/m.
Сумма этих оценок равна

¤¤?it(x) = ¤¤(2?i ln x – x2/m) = t(2¤?i ln x – x2).
t i?I t i?I i?I

Отсюда

x[t] = argmax ¤¤?it(x) = m? ,
- -
t i


440
441
то есть выбираемый уровень общественного блага остается таким же, как в исходной эко-
номике. С другой стороны, для потребителя is

V(is) = max (¤¤?jt(x) – ¤?is(x)) =
t j i
tm – 1
= max (2(t¤?j – ?i) ln x – m x2) =
j
tm? – ?i
-
= (tm? – ?i)(ln(m tm – 1 ) – (tm? – ?i),
- -

и

¤¤?jt(x) – ¤?is(x) =
- -
t i i
= (tm? – ?i)ln(m?) – (tm – 1)?,
- - -
откуда получаем налог Кларка

?is = V(is) – ¤¤?jt(x) + ¤?is(x) =
- -
t i i

= (tm? – ?i)(ln(1 – ?i/(?tm)) – ln(1 – 1/tm)) + ?i – ?.
- - -
Переходя к пределу при t > ? получим ?i > 0. Для этого надо воспользоваться тем, что
n ln(1 + 1/n) > 1 при n > ?.
?
Рассмотрим частный случай, когда x принимает два значения, 0 и 1 и доли ?i постоянны.
Считаем, что vi(0) = 0 ?i ? I и c(0) = 0. Величина vi = vi(1) – vi(0) = vi(1) представляет собой
резервную цену — максимальную цену, которую потребитель i готов заплатить за данное
благо, c = c(1) — издержки на производство общественного блага. Чистая полезность для
i-го потребителя при x = 1 равна
vi(1) – ?ic(1) = vi – ?ic,
а при x = 0 равна нулю (vi(0) – ?ic(0) = 0).
Обозначим через ?i объявленные чистые полезности ?i(1) (считая, что действует ограни-
чение ?i(0) = 0).
Согласно механизму Гровса—Кларка y = 1, если ¤i ?i(1) > ¤i ?i(0), т.е. если ¤i ?i > 0, и y =
- -
0, если ¤i ?i < 0. Заметим, что в случае, когда ¤i ?i = 0, потребителям безразлично, произ-
-
водить ли общественное благо. Для определенности будем считать, что в этом случае y
= 1.
-
Если y = 1, а без i-го потребителя был бы выбран объем y = 0, то V(i) = 0 и налог Кларка ра-
вен

?i = ¤?j(0) – ¤?j(1) = V(i) – ¤?j = – ¤?j.
j?i j?i j?i j?i

-
Если же y = 0, а без i-го потребителя был бы выбран объем y = 1, то

V(i) = ¤?j(1) = ¤?j > 0.
j?i j?i

и налог Кларка равен

441
442

?i = ¤?j(1) – ¤?j(0) = V(i) – 0 = ¤?j.
j?i j?i j?i

Выигрыш i-го потребителя равен
vi – ?ic – ?i,
если будет принято решение о покупке телевизора и 0 в противном случае.
В Таблице 3 представлены возможные варианты равновесия с точки зрения s-го потреби-
теля.
Oaaeeoa 3.
Налог Выигрыш s-го
Случай Выбор
Кларка (?s) потребителя

¤?j > 0 и ¤?i > 0 - vs – ?sc
0
x = 1, x(s) = 1
i?s
i?I


¤?j > 0 и ¤?i < 0 – ¤?i vs – ?sc + ¤?i
-
x = 1, x(s) = 0
i?s i?s i?s
i?I


¤?j < 0 и ¤?i > 0 ¤?i – ¤?i
-
x = 0, x(s) = 1
i?s i?s i?s
i?I

<< Предыдущая

стр. 102
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>