<< Предыдущая

стр. 103
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


¤?j < 0 и ¤?i < 0 - 0 0
x = 0, x(s) = 0
i?s
i?I




Пример 6 (расчет налога Кларка).
Покупка телевизора ценой 6000 руб. тремя соседями по комнате при равных долях финан-
сирования, ?i = 1/3.
Взнос Оценка Полезность
Налог
потребителя, полезности телевизора
?ic Кларка,
телевизора за вычетом
?i
потребителем, взноса,
?i = vi – ?ic
vi
1 2000 1000 –1000 0
2 2000 2000 0 0
3 2000 5000 3000 1000
?
Для рассматриваемой экономики с дискретным общественным благом можно формально
доказать, что при реплицировании экономики налоги Кларка становятся равными нулю.

Теорема 8.
Рассмотрим механизм Гровса—Кларка в случае дискретного общественного блага (x
принимает два значения, 0 и 1). Предположим, что потребители называют свои истинные
чистые полезности, и что ¤vi ? c. Тогда каковы бы ни были доли ?i, найдется номер реп-
i?I
^ ^
лики t такой, что для всех репликах t > t , налоги Кларка равны нулю.


442
443
Доказательство.
Пусть потребитель s платит налог Кларка. Тогда выполняется одно из условий:

(1) ¤?i > 0 и ¤?i < 0
i?s
i?I

или

(2) ¤?i < 0 и ¤?i > 0,
i?s
i?I

где ?i = vi – ?ic. Рассмотрим первый случай (анализ второго оставляем читателю). Посколь-
ку по предположению ¤?i = ¤vi – c ? 0, это означает, что ¤?i > 0 и величина ?s отрица-
i?I i?I i?I


тельная. Поэтому найдется ts такое, что ts¤?i – ?s > 0. Это означает, что налог Кларка для
i?I
любого потребителя типа i в реплике t > ts равен нулю. Справедливость утверждения сле-
дует тогда из того факта, что число потребителей в исходной экономике конечно.
*

Заметим, что если предположение ¤vi ? c не выполняется, это утверждение оказывается
i?I
неверным. Действительно, в этом случае потребитель s, для которого выполняется соот-
ношение ¤?i = 0 и ¤?i < 0 (и любой его двойник) в любой реплике платит налог, равный
i?s
i?I
величине – ?s.
Рассмотрим теперь механизм Гровса—Кларка в контексте модели общего равновесия.
Если общественное благо приобретается на рынке в условиях совершенной конкуренции,
то в процедуре Гровса—Кларка надо c(x) заменить на px. Будем предполагать, в отличие
от рассмотренного выше подхода, что налоги Кларка собираются в денежном выражении,
и что в равновесии налог Кларка перераспределяется между потребителями посредством
трансфертов. При этом трансферты фиксированы априорно и решения потребителей не
влияют на их величину (точнее, потребители не учитывают это влияние).
Если G({?i(?)}i) — функция коллективного выбора, соответствующая механизму Гров-
са—Кларка, то спрос на общественное благо определяется на основе задач потребителя,
которые в данном случае имеют следующий вид:
vi(x) – ?i(x)px – ?i(?1(?),...,?m(?)) > max (x ,? (?))
i i


(30)
x = G(?1(?),...,?m(?)),
?i(?) ? ?i.
Данная задача, фактически, является частным случаем задачи потребителя (29). Отличие
заключается только в том, что мы, пользуясь квазилинейностью функции полезности,
подставили бюджетное ограничение в целевую функцию.
Предложение общественного блага определяется на основе задачи производителя:
py – c(y) > max y (31)
Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса—Кларка — это равновесие
с долевым финансированием и коллективным выбором на основе механизма G({?i(?)}i).
Конкретизируем это определение для рассматриваемого случая.

443
444
Определение 9.
-
есть набор (p,
Равновесие с долевым финансированием и механизмом Гровса—Кларка
--
x, y, {?i(?)}i), такой что
--
# x = y;
# объем потребления общественного блага x и оценка ?i(?) являются решениями задачи
-
потребителя (30);
-
# объем производства общественного блага y является решением задачи производителя
-
(31) при цене p.


Для этого типа равновесия мы можем доказать аналог второй теоремы благосостояния.

Теорема 9.
Предположим, что в квазилинейной экономике с общественными благами функция из-
держек дифференцируема, и предельные издержки не убывают.
Пусть x — Парето-оптимальный объем общественного блага, и ?i(x) = vi(x) – ?i(x)px.
^
^ ^^
Тогда (c?(x), x, x, {?i(?)}i) — равновесие с долевым финансированием и механизмом
Гровса—Кларка.

Доказательство.
Очевидно, что x и ?i(?) — решение задачи потребителя. Доказательство, практически сов-
^
^
падает с доказательством Теоремы 4. Кроме того, поскольку c?(y) не убывает, то x — ре-
^
шение задачи производителя при p = c?(x).
*
Мы не можем гарантировать справедливость первой теоремы благосостояния для любого
такого равновесия. Однако можно выделить класс равновесий, для которых этот результат
имеет место. Это равновесия, в которых оценка ?i(?) любого потребителя i максимизирует
его полезность при любых оценках, сообщаемых другими потребителями, то есть является
аналогом равновесия в доминирующих стратегиях. Выполнение условий предыдущей
теоремы гарантирует существование таких равновесий.

Задачи
26. Отметьте верные из нижеприведенных утверждений, и заполните пробел. Если пред-
почтения потребителей ………………………, тогда механизм Гровса—Кларка приводит
1) к Парето-оптимальному состоянию экономики;
2) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если начальные запасы всех потребите-
лями строго положительны;
3) к Парето-оптимальному состоянию экономики при отсутствии ключевых участников;
4) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если налоги Кларка ненулевые;
5) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если налоги Кларка ненулевые;
6) к тому, что участники объявляют истинные предпочтения.
7) Все вышеприведенные утверждения неверны.


444
445
27. В процедуре Гровса—Кларка налоги Кларка...
а) идут на финансирование общественного блага;
б) распределяются пропорционально между участниками;
в) передаются участникам, пострадавшим от выбора того, с кого взят налог;
г) не передаются ни кому из участников.


28. Укажите, какие из свойств функций полезности (вогнутость, квазилинейность, непре-
рывность, дифференцируемость, локальная ненасыщаемость) и другие дополнительные
характеристики механизма Гровса—Кларка являются достаточными и/или необходимыми
для того, чтобы этот механизм
1) был применим: …
2) корректно выявлял предпочтения: …
3) обеспечивал эффективный уровень общественного блага: …
4) обеспечивал Парето-эффективное для голосующих состояние: …


29. Три соседа по дому решают, приобрести ли в складчину спутниковую антенну. В про-
даже имеются антенны двух типов — дорогие (ценой 3000 руб.) и дешевые (ценой 1200
руб.). Каждый из соседей определил лично для себя ценность антенны. Денежные выра-
жения этих ценностей помещены в таблице:
Имя Полезность доро- Полезность деше-
гой антенны, руб. вой антенны, руб.
A 500 150
B 900 450
C 2000 550
Чтобы каждый из соседей правдиво сообщил свою оценку, используется механизм Гров-
са—Кларка, с равными долями финансирования. Какой из вариантов будет выбран: не
покупать антенну, купить дешевую, купить дорогую? Укажите численные значения ре-
зультирующих налогов Кларка. Какой вариант будет выбран при голосовании по правилу
простого большинства? Какой выбор является Парето-оптимальным?

Задачи к главе
30. Экономика состоит из трех соседей, потребляющих коллективное благо y — внешний
вид их общего двора. Каждый может затрачивать труд hi по уходу за двором, причем
y = h1 + h2 + h3. Каждый имеет неограниченный запас труда. Функции полезности имеют
следующий вид:
2
ui = –hi + iy.
(а) Найдите нерегулируемое равновесие в данной экономике.
(б) Найдите равновесие с равно-долевым финансированием и голосованием по правилу
простого большинства.
(в) Найдите равновесие Линдаля.



445
446
31. В квазилинейной экономике с общественным благом (x) функции полезности трех по-
требителей имеют вид ui = –(i + 1 – x)2 + zi, а функция издержек имеет вид c(y) = 12y.
1) Найдите Парето-границу.
2) Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.
3) Найдите равновесие при финансировании равными долями и голосовании простым
большинством.
4) Найдите доли финансирования, при которых налоги Кларка в процедуре Гровса—
Кларка равны нулю.


32. В квазилинейной экономике с общественным благом (x) функции полезности трех по-
требителей имеют вид ui = –(i + 4 – x)2 + zi, а функция издержек имеет вид c(y) = 12y.
1) Найдите Парето-границу.
2) Найдите равновесие с добровольным финансированием общественного блага.
3) Найдите условия на доли финансирования, которые гарантируют Парето-оптимальный
исход голосования простым большинством.


33. Пусть три соседа по даче хотели ли бы подвести к имеющейся общей емкости водо-
провод с мощностью подачи X тонн/сутки, стоимостью 4 рубля за тонну/сутки, выбирая
размер мощности. Функции полезности имеют вид
ui(X, zi) = (i + 2) ln X + zi.
(1) Охарактеризуйте Парето-оптимум.
(2) Для каждого соседа определите, какую из трех возможных процедур общественного
выбора он бы предпочел:
- равновесие с добровольным финансированием;
- равновесие Линдаля;
- долевое финансирование с равными долями и голосованием простым большинством;
- механизм Гровса—Кларка с долями 1/4, 2/3, 5/12.
Аргументируйте ответ.


34. Рассмотрим долевое финансирование с голосованием по правилу простого большинст-
ва (при стандартных гипотезах) в экономике с квазилинейными функциями полезности с
одним общественным и одним частным благом. Отметьте верные из нижеприведенных
утверждений. Этот механизм обязательно приводит
1) к Парето-оптимальному состоянию экономики;
2) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если начальные запасы всех участников
строго положительны;
3) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если предпочитаемый медианным по-
требителем уровень общественного блага совпал с Парето-оптимальным;
4) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если все участники удовлетворены вы-
бранным уровнем общественного блага (не желают его изменения при данных ценах и
долях);

446
447
5) к такому же состоянию равновесия, как и механизм добровольного финансирования.
6) Все вышеприведенные утверждения, вообще говоря, неверны.


35. Рассмотрим долевое финансирование с голосованием по правилу усреднения заявок
(при стандартных гипотезах). Отметьте верные из нижеприведенных утверждений. Этот
механизм обязательно приводит
1) к Парето-оптимальному состоянию экономики;
2) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если все участники проголосовали за
одинаковый положительный уровень общественного блага;
3) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если доли финансирования пропорцио-
нальны предельным нормам замещения общественного блага на частное;
4) к Парето-оптимальному состоянию экономики, если участники предложили уровни
общественного блага, пропорциональные предельным нормам замещения общественного
блага на частное;
5) к такому же состоянию равновесия, как и механизм Линдаля.
6) Все вышеприведенные утверждения, вообще говоря, неверны.


<< Предыдущая

стр. 103
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>