<< Предыдущая

стр. 108
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

c(s) ?s, что эквивалентно условию p > c(1), поскольку функция c(?) возрастает (мы
-
предполагаем здесь благожелательность продавца, т.е. что он будет продавать благо, даже
-
если p = c(s)). Следовательно, такое равновесие существует тогда и только тогда, когда
1
?v(s)ds > c(1).
0

2. Рассмотрим теперь равновесие, в котором часть благ продается, а часть — нет. Тогда в
равновесии стратегии продавцов должны быть такими: существуют числа (p, -) такие, что
-s
продавец не продает при s > -, и назначает цену p = p, если продает. (Мы не будем рас-
-
s
сматривать стратегии продавца следующего типа: если продавцу невыгодно продавать
-
товар некоторого качества s по цене p, то он выставляет его на продажу и назначает цену
такую, чтобы его не купили).
Значит, в равновесии если благо продается, то s < c–1(p).
-
- -
Если потребителю предложен товар по цене p = p = c(s ), то он ожидает, что не продаются
товары с качеством s > - (потому что таковы стратегии продавцов). При этом - = c–1(p).
-
s s



466
467
Если потребителю предложен товар по цене p = - = c(s ), то он ожидает, что не продаются
-
p
товары с качеством s > - (потому что таковы стратегии продавцов). Следовательно (по
s
правилу Байеса), ожидания имеют вид s ˜ U[0; -]. Поскольку концепция совершенного
˜ s
байесовского равновесия не предписывает никаких ограничений на формирование ожида-
ний в ситуации отклонения от равновесных стратегий, то ожидания покупателя в случае,
если он наблюдал бы цену p ? p, могут быть любыми. Мы рассмотрим равновесие, в кото-
-
ром покупатель ожидает, что отклонение от равновесной стратегии p ? p не влечет за со-
-
бой отклонение от равновесной стратегии «продавать при s ? U[0; -]», т.е. его ожидания
s
при цене p ? p имеют вид s ˜ U[0; -].
- ˜ s
При данных ожиданиях покупатель должен действовать оптимальным образом: если ожи-
даемая полезность неотрицательна, то он покупает благо. (Математическое ожидание
здесь следует считать по ожиданиям, что s ˜ U[0; -]. Плотность этого равномерного рас-
˜ s
-
пределения равна 1/s ). Таким образом,
-
s
1
E(u | s < -) = E(v(s ) – px | s < -) = ?v(s) ds x – px = (V(s ) – p)x,
˜s ˜ ˜s -
-
s
0

где мы ввели обозначение
1s
V(s) = s ?v(t) dt.
0

Если эта величина не меньше нуля, то благо покупается.
Продавцы максимизируя прибыль, назначат максимальную цену, при условии, что благо
покупается, т.е. при условии, что
E(u(1) | s < -) = V(s ) – p > 0.
˜s -
Т.е. в равновесии
- -
p = V(s ).
Получаем систему уравнений, для равновесных параметров p и -:
-s
- -
p = c(s ),
- -
p = V(s ).
Заметим, что такое равновесие существует тогда и только тогда, когда эта система урав-
нений имеет решение (p, -), такое что 0 < - < 1.
-s s
3. Рассмотрим, наконец, равновесие, в котором товары любого качества не продаются.
Тогда при любых ожиданиях покупателя его ожидаемая оценка блага не меньше, чем v(0),
поскольку v(?) возрастает. Таким образом, производитель мог бы выставить товар на про-
дажу по цене не ниже v(0), и такой что потребитель бы его купил. Если производитель
этого не делает, то его издержки выше v(0). Поскольку мы рассматриваем равновесие, в
котором товары любого качества не продаются, то, в частности, издержки при качестве
s = 0 выше, чем v(0). Следовательно, если равновесие указанного типа существует, то
v(0) < c(0).
Наоборот, если условие v(0) < c(0) выполняется, то существует равновесие, в котором то-
вар любого качества не продается. Для того, чтобы это показать, следует указать ожида-
ния покупателей, поддерживающих это равновесие.
Один из возможных вариантов таких ожиданий состоит в том, что s ˜ U[0; -], где - выби-
˜ s s
-
рается так что p = V(s ), если
467
468
1
V(1) = ?v(s)ds < p,
0

˜
и s ˜ U[0; 1] в противном случае.
Равновесие может быть не единственным, причем разные равновесия могут отличаться с
точки зрения объема продаж и ожидаемого уровня благосостояния.
Пусть, например, функции v(?) и c(?), таковы, что
v(0) < c(0), V(1) > c(1).
Тогда в модели имеется как минимум два вида равновесия: в одном из них товар не про-
дается вне зависимости от качества, в другом — товар любого качества продается.

Задачи
4. Сформулируйте модель Акерлова с двумя градациями качества благ и условия, когда
блага низшего качества вытесняют блага высшего качества.


5. Автомобили трех градаций качества встречаются с одинаковой вероятностью. Оценки
продавцов для этих трех типов автомобилей равны 1, 3 и f, а оценки покупателей 2, 5 и 8
соответственно. Качество автомобилей известно только продавцам. Найдите максималь-
ную величину f, при которой будет существовать равновесие, в котором продаются все
три типа автомобилей.


6. Модель Акерлова для рынка «лимонов» с тремя градациями качества. Пусть резервные
оценки продавцов для трех типов товара составляют $2000, $2300, $2600, а оценки поку-
пателей — $2000 + ?, $2300 + ?, $2600 + ? соответственно. Пусть частота существования в
природе первого типа товара — 1/3, второго — 1/3, третьего — 1/3. При каких парамет-
рах ? существует равновесие, в котором продаются (а) все типы, (б) только два худших
типа, (в) только самые плохие?


7. Рассмотрите в рамках модели Акерлова рынок товара, имеющего 5 градаций качества.
Цену назначает продавец (рынок продавца). Покупатели нейтральны к риску. Предпочте-
ния продавцов и покупателей заданы следующей таблицей
?1 ?2 ?3 ?4 ?5
Вероятность (доля)
Качество 1 2 3 4 5
Оценка продавцов 1 2 3 4 5
Оценка покупателей 1 3 5 7 9
При каком условии на вероятности ?j на этом рынке может существовать равновесие, в
котором будут продаваться только товары двух худших градаций качества?


8. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равно-
мерное распределение на отрезке
I) [0; 50], II) [40; 50].
Пусть оценка продавцом своего товара (резервная цена для продавца) совпадает с пара-
метром качества s, а оценка товара покупателем равна ?s (? > 1). При каких значениях
468
469
параметра ? будет происходить разрушение рынка лучших автомобилей (неблагоприят-
ный отбор)? Как ведет себя равновесная доля продаваемых автомобилей при возрастании
??


9. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет равно-
мерное распределение на отрезке [40; 50]. Пусть оценка продавцом своего товара (резерв-
ная цена для продавца) совпадает с параметром качества s, а оценка товара покупателем
равна s + ?. Найдите равновесие как функцию параметра ?. Как ведет себя равновесная
доля продаваемых автомобилей при возрастании ??


10. Рассмотрите модель Акерлова, в которой товар с вероятностью 1–s может иметь де-
фект, из-за которого он негоден (s — вероятность того, что товар годен). Все потребители
ценят годный товар в 10 у.е. , а негодный — в 0 у.е. Тип продавца определяется величиной
s. Тип s имеет равномерное распределение на отрезке [0; 1]. Издержки продавцов: c(s) = (s
+ 1) у.е. Найдите и опишите равновесие.


11. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет рав-
номерное распределение на отрезке [10; 100]. Пусть оценка продавцом своего товара (ре-
зервная цена для продавца) равна 2s, а оценка товара покупателем равна 3s. На рынке
имеются оценщики, которые готовы сообщить покупателю истинное качество товара за
цену ? > 0. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра ?.


12. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет рав-
номерное распределение на отрезке [?, 200], ? > 0. Пусть оценка продавцом своего товара
(резервная цена для продавца) равна 3s, а оценка товара покупателем равна 5s. На рынке
имеются оценщики, которые готовы сообщить покупателю истинное качество товара за
цену 100. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра ?.


13. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет рав-
номерное распределение на отрезке [3, 50]. Пусть оценка продавцом своего товара (ре-
зервная цена для продавца) равна 4s – ?, ? > 0, а оценка товара покупателем равна 5s. На
рынке имеются оценщики, которые готовы сообщить покупателю истинное качество то-
вара за цену 20. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра ?.


14. Рассмотрите модель Акерлова для рынка «лимонов». Параметр качества s имеет рав-
номерное распределение на отрезке [1, 10]. Пусть оценка продавцом своего товара (ре-
зервная цена для продавца) равна 3s, а оценка товара покупателем равна 4s + ?, ? > 0. На
рынке имеются оценщики, которые готовы сообщить покупателю истинное качество то-
вара за цену 3. Найдите равновесие на рынке в зависимости от параметра ?.


15. [Tirole] Рассмотрим рынок подержанных автомобилей с градациями качества
s?[s1, s2]. которые непрерывной случайной величиной, которая равномерно распределена
на отрезке [s1, s2]. Продавец оценивает единицу товара качества s как s, а покупатель —
как ?s, где ? — коэффициент разный для разных покупателей. Предполагаем, что ? рас-

469
470
пределены равномерно на отрезке [?1, ?2]. Покупатели нейтральны по отношению к риску
(т.е. покупатель купит автомобиль с ожидаемым качеством se тогда и только тогда, когда
?se > p.
(i) Найдите объем торговли в условиях полной информации.
(ii) Изобразите кривые спроса и предложения при асимметричной информации. Может ли
быть так, что кривая спроса имеет положительный наклон?
(iii) Найдите конкурентное равновесие. Будет ли объем торговли больше или меньше Па-
рето-оптимального?
(iv) Покажите, что на таком рынке равновесие может быть не единственным, и что равно-
весие с более высокой ценой доминирует по Парето равновесие с более низкой ценой.
(v) Государство вводит стандарт качества. Автомобили с качеством ниже s0 продавать
запрещено. Может ли это увеличить общее благосостояние (с точки зрения суммарного
излишка)?


16. Рассмотрите модель Акерлова в предположении, что переговорная сила принадлежит
покупателю (можно интерпретировать такой рынок как рынок труда). Покажите, что если
v(s) > c(s) ?s, то в одном из равновесий продавец назначает цену, равную предельным
издержкам.

Приложение: Доказательство теоремы Майерсона—
Саттертуэйта
Введем обозначение для ожидаемой платы с точки зрения продавца:
v2
P (c) = Ep(c, v) = ? p(c, v)f(v) dv
-˜ -
c

v1

и с точки зрения покупателя:
c2
P (v) = Ep(c , v) = ? p(c, v)g(c) dc,
-˜ -
v

c1

а также ожидаемого объема торговли с точки зрения продавца:
v2
X (c) = Ex(c, v) = ? x(c, v)f(v) dv
-˜ -
c

v1

и с точки зрения покупателя:
c2
X (v) = Ex(c , v) = ? x(c, v)g(c) dc.
-˜ -
v

c1

В этих обозначениях
`
Uv`(v) = v Xv(v) – Pv(v),
и
`
Uc`(c) = Pc(c) – c Xc(c).
`
По условиям самовыявления для двух оценок покупателя, v и v, мы можем записать сле-

<< Предыдущая

стр. 108
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>