<< Предыдущая

стр. 109
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

дующие два неравенства:
Uv(v) > Uv(v) и Uv`(v) > Uv`(v).
` `

470
471
Из этих неравенств следует, что
Uv(v) – Uv`(v) > Uv(v) – Uv(v) > Uv(v) – Uv`(v)
`` ` `
или
(v – v) Xv(v) > Uv(v) – Uv(v) > (v – v) Xv(v).
` `` ` `
Переходя к пределу в этих неравенствах (v > v), получим, что
`
dUv(v) v
dv = X (v).
Отсюда, беря интеграл161,
v
Uv(v) = Uv (v1) + ? Xv(z) dz.
1
v1

Поскольку ожидаемый объем торговли Xv(z) неотрицателен, то коль скоро условие доб-
ровольности участия выполнено для покупателя с оценкой v1, то оно выполнено для всех
покупателей:
Uv (v1) > 0 ? Uv(v) > 0 ?v.
1



Применяя аналогичные рассуждения к поведению продавцов разных типов, получим, что
dUc(c)
= –Xc(c),
dc
откуда
c2
Uc(c) = Uc (c2) + ?Xc(z) dz.
2
c

Кроме того, коль скоро условие добровольности участия выполнено для продавца с из-
держками c2, то оно выполнено для всех продавцов.
Uc (c2) > 0 ? Uc(c) > 0 ?c.
2



Вспомним, что
Uv(v) = v Xv(v) – Pv(v),
и
Uc(c) = Pc(c) – c Xc(c).
Отсюда
v
P (v) = v X (v) – Uv (v1) – ? Xv(z) dz
v v
1
v1

и
c2
P (c) = c X (c) + Uc (c2) + ?Xc(z) dz.
c c
2
c

Предположим теперь, что равновесие является оптимальным по Парето, т.е. объем тор-
- -
говли в этом равновесии должен удовлетворять условиям x(c, v) = 1 при v > c и x(c, v) = 0
при v < c.


161
Из приведенных неравенств следует, что Xv(v) — неубывающая функция. Отсюда следует, что она ин-
тегрируема.

471
472
Покажем, что справедливо следующее соотношение для ожидаемой платы в равновесии:
E[min{c2, v} x(c , v)] < Ep(c , v) < E[max{c , v1} x(c , v)].
˜ -˜˜ ˜˜ ˜ -˜˜
Рассмотрим сначала покупателя и получим оценку сверху для ожидаемой платы в равно-
весии, т.е. Ep(c , v) < E[max{c , v1} x(c , v)].
˜˜ ˜ -˜˜
Поскольку Uv (v1) > 0, то
1


v
P (v) < v X (v) – ? Xv(z) dz.
v v

v1
c2
Подставляя X (v) = ? x(c, v)g(c) dc, получим, что величина в правой части неравенства рав-
-
v

c1
на
v c2 v c2
v X (v) – ? X (z) dz = v ? x(c, v)g(c) dc – ? ? x(c, z)g(c) dc dz =
- -
v v

v1 c1 v1 c1
c2 c2 v
= ? v x(c, v)g(c) dc – ? ? x(c, z)dz g(c) dc =
- -
c1 c1 v1
c2 v
= ? [v x(c, v) – ? x(c, z)dz] g(c) dc =
- -
c1 v1
c2
= ? max{c, v1} x(c, v) g(c) dc.
-
c1

В последнем равенстве мы использовали, что в Парето-оптимальном равновесии выпол-
нено
v
v x(c, v) – ? x(c, z)dz = max{c, v1} x(c, v).
- - -
v1

Это равенство можно установить на основе перебора возможных случаев:
Если c = v, то интеграл равен нулю и max{c, v1} = v.
Если c > v, то x(c, z) = 0 при z < v, и таким образом, обе части доказываемого равенства
-
равны нулю.
Если c < v и c < v1, то x(c, z) = 1 при z ? (v1, v] и поэтому
-
v
? x(c, z)dz = v – v1 = (v – v1) x(c, v).
- -
v1

Если c < v и c > v1, то x(c, z) = 1 при z ? (c, v] и поэтому
-
v
? x(c, z)dz = v – c = (v – c) x(c, v).
- -
v1

Учитывая это соотношение,
c2
P (v) < ? max{c, v1} x(c, v) g(c) dc.
-
v

c1

Беря интеграл по v, получим оценку сверху для ожидаемой платы в оптимальном равнове-
сии:




472
473
v2
Ep(c , v) = EP (v) = ? Pv(v)f(v) dv <
˜˜ ˜ v

v1
v2 c2
< ? ? max{c, v1} x(c, v) g(c) dcf(v) dv
-
v1 c1

или
Ep(c , v) < E[max{c , v1} x(c , v)].
˜˜ ˜ -˜˜
Для продавца рассуждения аналогичны. Из Uc (c2) > 0 следует
2


c2
P (c) > c X (c) + ?Xc(z) dz
c c

c

или
v2
P (c) > ? min{c2, v} x(c, v)f(v) dv.
-
c

v1

Отсюда получим оценку снизу для ожидаемой платы в оптимальном равновесии:
c2
Ep(c , v) = EP (c ) = ? Pc(c)g(c) dc >
˜˜ ˜ c

c1
v2 c2
> ? ? min{c2, v} x(c, v) g(c) dcf(v) dv
-
v1 c1

или
Ep(c , v) > E[min{c2, v} x(c , v)].
˜˜ ˜ -˜˜
Окончательно получаем
E[min{c2, v} x(c , v)] < Ep(c , v) < E[max{c , v1} x(c , v)].
˜ -˜˜ ˜˜ ˜ -˜˜
Для любой оценки покупателя v ? [v1, v2] и любых издержках продавца c ? [c1, c2], таких что
v > c, выполнено min{c2, v} > max{c, v1}, поскольку v1 < c2. Кроме того, поскольку c1 < v2, то
˜˜ -˜˜
вероятность того, что v > c , т.е. того, что x(c , v) = 1, не равна нулю. Отсюда следует
˜ -˜˜ ˜ -˜˜
E[max{c , v1} x(c , v)] < E[min{c2, v} x(c , v)].
Тем самым, получено противоречие, что и доказывает несовместимость трех условий:
участия, самовыявления и эффективности.
Есть вариант этой теоремы для модели, в которой сумма, выплаченная покупателем, не
обязательно равняется сумме, полученной продавцом. Данная модель позволяет рассмат-
ривать и такие механизмы торга, которые требуют издержек для своего осуществления, а
также такие, которые предусматривают субсидии третьих лиц. Этот вариант теоремы
Майерсона—Саттертуэйта утверждает, что несовместимы четыре условия. Четвертым
условием является сбалансированность платежей: ожидаемая сумма, выплаченная поку-
пателем, не меньше ожидаемой суммы, полученной продавцом. Это условие можно ин-
терпретировать как отсутствие субсидий со стороны. Заметим, что имеются в виду субси-
˜˜
дии не для каждой реализации типов (c , v), а в среднем. (Т.е., неявно предполагается воз-
можность воспользоваться услугами нейтрального к риску стороннего страховщика. Ясно,
что это довольно слабое требование).
Действительно, если в приведенном доказательстве рассмотреть плату, которая может не
совпадать для продавца и покупателя, т.е. pc(c, v) и pv(c, v), то, по аналогии с приведенным
выше доказательством, можно получить неравенство
Epc(c , v) > E[min{c2, v} x(c , v)] > E[max{c , v1} x(c , v)] > Epv(c , v).
˜˜ ˜ -˜˜ ˜ -˜˜ ˜˜

473
474
Таким образом, в такой модели двусторонней монополии Парето-оптимальность равнове-
сия может иметь место только в играх торга с недобровольным участием или же с субси-
диями.




474
475


11. Монополия
Как показывают теоремы благосостояния, мир совершенной конкуренции достаточно
просто и хорошо устроен: каждое равновесие оказывается (при естественных предполо-
жениях) Парето-оптимальным и каждое оптимальное по Парето состояние экономики
можно реализовать (при подходящем перераспределении начальных запасов, прав собст-
венности, налогах и т.д.) как равновесие. Предположения совершенной конкуренции, од-
нако, не всегда достаточно удовлетворительно описывают ситуации на существующих
рынках. Так, с гипотезой рационального поведения несовместима предположение о том,
что производитель рассматривает цену как «данную» в ситуации, когда у него нет конку-
рентов или их немного. В этой главе мы изучим, чем принципиально рынки, где отсутст-
вуют условия совершенной конкуренции (так называемые несовершенные рынки), отли-
чаются от совершенных рынков.
Анализ естественно начать с наиболее простого для анализа случая несовершенного рын-
ка, когда имеется всего один производитель рассматриваемого продукта.

Модель обычной монополии
называют фирму, которая является единственным производителем некоторого
Монополией
блага. Напомним классическую (статическую) модель поведения монополиста.
Предположим, что существует «много» потребителей данного блага, и поэтому условия
совершенной конкуренции выполняются «на стороне потребителей». Мы предполагаем,
таким образом, что потребители рассматривают условия покупки, предлагаемые монопо-
листом, как данные.162 Монополист предлагает всем потребителям производимое благо по

<< Предыдущая

стр. 109
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>