<< Предыдущая

стр. 11
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



44. Будем говорить, что предпочтения обладают свойством сильной монотонности, если
существует, по крайней мере, одно благо, большее количество которого строго предпочи-
тается меньшему. Запишите формально это определение. Как это свойство соотносится со
свойствами монотонности и строгой монотонности? Покажите, что из свойства сильной
монотонности следует свойство локальной ненасыщаемости.


45. Пусть предпочтения потребителя заданы посредством полного и транзитивного би-
нарного отношения. Покажите, что предпочтения потребителя выпуклы тогда, и только
тогда, когда выпукло множество нехудших элементов, т.е. множество L+(y)={x?X|x }_
y}.


46. Приведите пример непрерывной квазивогнутой функции полезности, не являющейся
монотонной.


47. Покажите, что если функция полезности строго вогнута, то представляемые ею пред-
почтения строго выпуклы.


48. Покажите, что функция полезности строго квазивогнута тогда и только тогда, когда
представляемые ею предпочтения строго выпуклы.


49. Покажите, что если дважды непрерывно дифференцируемая функция полезности стро-
го вогнута, то для этой функции выполняется закон Госсена об убывании предельной по-
лезности. Верно ли утверждение о том, что из закона Госсена не следует выпуклость
предпочтений?


50. Докажите теорему 11.


51. Докажите теорему 12.


52. Покажите, что отношение предпочтения, задаваемое положительно однородной (пер-
вой степени) функцией полезности обладает свойством гомотетичности.


53. Покажите, что полное, транзитивное, гомотетичное и непрерывное отношение пред-
почтения представимо однородной функцией полезности.


54. Пусть предпочтения обладают свойствами полноты, транзитивности, непрерывности и
гомотетичности и задаются на  +. Известно, также, что они представимы аддитивно-
n

сепарабельной функцией полезности, т.е. в виде

50
51

u(x) = ¤ui(xi).
Покажите, что
u(x) = ¤aixi?
единственная (с точностью до монотонно возрастающего преобразования) функция, удов-
летворяющая этим требованиям. Каковы ограничения на параметры ai и ? в случае если
предпочтения ко всему прочему обладают свойством строгой монотонности? Докажите,
что функция
u?(x) = (¤?ixi?)1/?,
где ¤?i=1, ?i>0 порождается теми же предпочтениями, что и u(x) = ¤ aixi?.32


55. (Продолжение) Покажите, что функция полезности
u?(x) = (¤?ixi?)1/?
представляет те же предпочтения, что и функция Кобба-Дугласа.


56. (Продолжение) Покажите, что функция полезности

u?(x) = lim (¤?ixi?)1/?
? > –?

представляет те же предпочтения, что и функция u?(x)=min{x1, x2,..., xn}.


57. (Продолжение) Используя полученные ранее результаты, найдите функции, представ-
ляющие те же предпочтения, что и функции

u?(x) = lim(¤(?ixi)?)1/?,
?> 0


u?(x) = lim (¤(?ixi)?)1/?.
? > –?




58. Пусть предпочтения представимы дифференцируемой функцией u(x). Покажите, что
предельная норма замены инвариантна относительно строго возрастающего преобразова-
ния функции полезности. Как связаны MRSij(x) и MRSji (x)?


59. В случае двух товаров покажите, что дважды непрерывно дифференцируемая функция
полезности аддитивно-сепарабельна (имеет вид u(x)= u1(x1) + u2(x2)) тогда и только тогда,
когда
?2MRS12(x) ?MRS12(x) ?MRS12(x)
MRS12(x) ? ? .
=
?x1?x2 ?x1 ?x2


32
Рассмотренная в данном упражнении функция имеет специальное название – функция с постоянной эла-
стичностью замены, или, CES-функция (constant elasticity of substitution). Впервые в контексте микроэконо-
мической теории она была рассмотрена в работе: Arrow, K.J., Chenery, H.B., Minhas, B.S., Solow, R.M.,
Capital–Labor Substitution and Economic Efficiency, Review of Economics and Statistics, V. 43, 1961.

51
52



60. Пусть некоторая система выпуклых неоклассических предпочтений, заданных на  +,
2


˜
представляется непрерывной, аддитивно–сепарабельной функцией u(x)= u(x1) + u(x2).
˜
Покажите, что функция u(x) вогнута. (Подсказка: покажите, что для любых m и n спра-
m m m m
ведливо u( 2n x + (1– 2n)y) > 2nu(x) + (1– 2n) u(y) и воспользуйтесь непрерывностью)


61. Какими свойствами (монотонность, строгая монотонность, локальная ненасыщае-
мость, выпуклость, строгая выпуклость, гомотетичность, квазилинейность, сепарабель-
ность) обладают предпочтения на  +, представимые следующими функциями полезности?
2


a) u(x)=x1+ x2;
b) u(x)= x1 + x2;
c) u(x)= x1 + x2;
d) u(x)=x1x2;
2
x2
e) u(x)= ln(x1)+ 2 ;
x x2
f) u(x)= x 1 x ;
1+ 2
2 2
g) u(x)= x1 +x2 ;
h) u(x)=min{x1, x2};
i) u(x)=max{x1, x2};
j) u(x)=min{2x1– x2, 2x2– x1};
2 2
k) u(x)=28x1+28x2–2x1 –3x1x2–2x2 ;
l) u(x)=ln(x1– 1) – 2ln(2 – x2).
Какие из этих функций являются вогнутыми? Какие квазивогнутыми? Для каждой из этих
функций постройте эскизы кривых безразличия.

Бюджетное множество
Выше было введено понятие множества допустимых альтернатив X, которое отражает
весь набор физических, институциональных ограничений налагаемых на выбор потреби-
теля. Например, индивидуум физически не может работать более 24 часов в сутки или
потреблять какое-то благо в отрицательных количествах. Ограничения этого типа задают
первичные границы, которые очерчивают область, в которой осуществляется потреби-
тельский выбор. Помимо ограничений на область определения выражаемых через множе-
ство X действия потребителя подчинены разного рода экономическим ограничениям.
Наиболее распространенный тип ограничений этого типа — это так называемое бюджет-
ное ограничение — естественное требование, ограничивающее расходы потребителя его
доходами. Множество потребительских наборов из X, удовлетворяющих этому ограниче-
нию, называют бюджетным множеством. В наиболее простом случае, когда доходы потре-
бителей фиксированы, а расходы представлены затратами на покупку потребительского
набора бюджетное множество имеет вид:
B(p, R) = {x?X | px < R},


52
53
K
где p? + — вектор цен рассматриваемых благ, а R — доход потребителя. Альтернативно,
можно предполагать, что изначально потребитель владеет некоторым начальным запасом
благ – набором (вектором) благ ?? =(?1,.., ?K). Если предположить, что у потребителя нет
иных форм дохода кроме начального запаса, то в этом случае его бюджетное множество
представляется в виде: B?(p, ?) = {x?X | p(x – ?)< 0}= {x?X | px < p?}, то есть стои-
мость покупок не может превышать стоимости продаж. Возможна двоякая интерпретация
данного бюджетного множества. С одной стороны, его можно понимать как продажу все-
го вектора ? с последующей покупкой набора x. С другой стороны, возможно интерпре-
тировать данное ограничение как покупку/продажу только некоторого недостающе-
го/избыточного количества относительно ?. Последней интерпретации мы и будем при-
держиваться. Аналогичные, по сути, бюджетные множества возникают в ситуации, если
предполагается, что потребитель помимо фиксированного дохода (или начальных запа-
сов) получает некоторый доход, например, от принадлежащих акций промышленных
предприятий или из других источников. Естественно, что в конкретных экономических
моделях бюджетное множество может принимать довольно причудливый вид. Оно может
сильно отличаться (формально, но не идеологически) от приведенных выше вариантов, но
многие результаты и методы рассуждения, которые мы проиллюстрируем в дальнейшем, с
некоторыми изменениями могут быть перенесены и на эти более сложные модели.
В заключение данного параграфа сформулируем ряд свойств бюджетных множеств, кото-
рые нам понадобятся в дальнейшем.

Теорема 13.
K
Пусть множество X – множество допустимых альтернатив и p? + . Тогда
(1) Бюджетное множество B(p, R) = {x?X | px < R} не пусто, если R > infx?Xpx.
(2) Бюджетное множество B?(p, ?) = {x?X | px < p?} не пусто, если ??X.
(3) Бюджетные множества B(p, R) и B?(p, ?) замкнуты и выпуклы в   .
K


(4) Бюджетные множества B(p, R) и B?(p, ?) ограничены тогда и только тогда, когда
K
p? ++.
(5) B(p, R) = B(?p, ?R) и B?(p, ?)= B?(?p, ?) для любого ?? .
(6) Если R* > R, тогда B(p, R)?B(p, R*).
(7) Если p*> p, тогда B(p*, R)?B(p, R).


Доказательство:
Доказательство этих фактов несложно и оставляется читателю в качестве упражнения.
*
Введенное понятие бюджетного множество позволяет описывать достаточно много ситуа-
ций, с которыми сталкиваются индивидуумы в процессе принятия экономических реше-
ний. Как уже говорилось во вводном параграфе, для того чтобы было возможно анализи-
ровать и предсказывать поведение индивидуума необходимо описать способ упорядочи-
вания потребительских наборов и ограничения, которым должны удовлетворять допусти-
мые выборы. К данному моменту мы выполнили данную программу и теперь можем при-
ступить к описанию потребительского выбора и его свойств.




53
54

Задачи
62. Пусть допустимое потребительское множество X={x? + | x1x2+x1> 1}, потребитель
K

K
имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p? ++. Изобразите
графически бюджетное множество потребителя при разных значениях (p,R). Является ли
оно выпуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях (p,R) бюджетное мно-
жество пусто?


63. Пусть допустимое потребительское множество X={x? + | x1x2 > 2}, потребитель имеет
K


начальный запас ?=(1,1), цены на товары задаются вектором p? ++. Изобразите графи-
K


чески бюджетное множество потребителя при разных значениях p. Является ли оно вы-
пуклым? Замкнутым? Ограниченным? При каких значениях p бюджетное множество не-
пусто?

K
64. Пусть допустимое потребительское множество X={x? + | x1,x2 – целые}, потребитель
K
имеет фиксированный доход R > 0, цены на товары задаются вектором p? ++. Изобразите
графически бюджетное множество потребителя.

K
65. Пусть допустимое потребительское множество X= + , потребитель имеет начальный
запас ?=(1,1), цены на товары задаются вектором p? ++. Изобразите графически бюд-
K

жетное множество потребителя, в случае если в экономике ввели налог с продаж, взимае-
мый как процент от цены. Является ли бюджетное множество выпуклым?


<< Предыдущая

стр. 11
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>