<< Предыдущая

стр. 110
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

одной и той же цене p. Исходя из этой цены, каждый потребитель предъявляет свой спрос
на благо. Сумму индивидуальных функций спроса (функцию совокупного спроса) мы
обозначим через D(p). Будем считать также, что рассматриваемое благо — нормальное,
т.е. функция спроса D(p) не возрастает.
Предположим далее, что функция издержек монополиста равна c(y). Обычно предполага-
ется, что цель монополиста состоит в максимизации прибыли. Таким образом, объем про-
изводства монополиста y находится как решение следующей задачи:163
M




?(y) = p(y) y – c(y) > max,
y>0
–1
где p(y) = D (y) — обратная функция спроса. Этот объем производства y и соответст-
M




вующий ему вектор цен p = p(y ) называется равновесием при монополии164.
M M




Существование равновесия при монополии
Заметим, что множество допустимых решений задачи монополиста (y > 0) неограниченно,
и поэтому мы можем гарантировать существование равновесия лишь при некоторых


162
Заметим, что модель монополии можно рассматривать как двухэтапную игру с почти совершенной ин-
формацией. На первом этапе монополия выбирает цену. На втором этапе потребители одновременно выби-
рают количества блага, которые они хотели бы приобрести при данной цене. Модель монополии является
при такой интерпретации редуцированной игрой первого этапа для описанной динамической игры.
163
Здесь и далее, если не оговорено противное, мы не накладываем ограничение на положительность при-
были. Предполагается, что производитель не может свернуть производство и уйти из отрасли.
164
Равновесие при монополии можно рассматривать как исход, соответствующий совершенному в подыграх
равновесию в описанной выше двухэтапной игре с почти совершенной информацией.

475
476
предположениях относительно поведения функций спроса и издержек. Приведенная ниже
теорема существования указывает на такие условия.
Идея доказательства состоит в том, чтобы выделить множество «возможных» монополь-
ных выпусков, показать его ограниченность (при данных предположениях относительно
функций спроса и издержек), а затем использовать теорему Вейерштрасса о существова-
нии экстремумов непрерывной функции на компактном множестве. Другими словами, мы
доказываем, что при естественных условиях относительно функций издержек и спроса
задача максимизации прибыли монополиста на y > 0, эквивалентна задаче максимизации
на некотором отрезке действительной прямой (в том смысле, что множества решений этих
двух задач совпадают). А для этого достаточно доказать, что прибыль вне этого отрезка
ниже, чем в какой-либо точке, принадлежащей этому отрезку.

Теорема 1.
Пусть выполнены следующие условия:
1) функция издержек, c(y), дифференцируема на [0, ?),
2) обратная функция спроса p(y) дифференцируема165 и p?(y) < 0 при [0, ?),
3) существует y > 0 такой, что p(y) < c?(y) при y > y.
˜ ˜
Тогда равновесие при монополии существует.


Доказательство.
Докажем, что при сделанных предположениях ?(y) < ?(y) при y > y. Действительно, при
˜ ˜
˜
y>y

??(y) = p(y) – c?(y) + p?(y) y < 0.
Это неравенство следует из убывания обратной функции спроса и предположения 3) тео-
˜ ˜
ремы. Таким образом, прибыль в точке y выше, чем в любой большей точке y > y, поэтому
задача максимизации прибыли при y > 0 сводится к задаче максимизации прибыли на от-
˜
резке [0, y].
Из предположений теоремы следует, что функция прибыли ?(y) непрерывна. Непрерыв-
ная функция прибыли по теореме Вейерштрасса должна достигать максимума на ком-
˜
пактном множестве [0, y], откуда следует существование точки y , которая максимизирует
M




прибыль при ограничении y > 0. *


Заметим, что предположения теоремы можно ослабить, сделав предположения относи-
тельно поведения совокупного излишка, а не относительно его производной p(y) – c?(y)
(предположение 3) теоремы). Под совокупным излишком мы будем понимать
y
GS(y) = ?p(t)dt – [c(y) – c(0)].
0

При этом, если функция издержек дифференцируема, то



165
Данное условие предполагает, в числе прочего, что функция p(y) определена при y = 0, что, безусловно,
является слишком ограничительным предположением. Так, оно не выполнено для функции p(y) = 1/ y .
Тем не менее несложно доказать аналог данного утверждения для этой функции и ей подобных.

476
477
y
GS(y) = ?[p(t) – c?(t)]dt.
0

Другими словами, совокупный излишек равен площади фигуры заключенной между кри-
вой спроса, кривой предельных издержек, осью ординат и параллельной ей прямой, про-
ходящей через точку (y, 0).
˜
Нам достаточно предположить, что существует объем производства y > 0 такой, что
GS(y) < GS(y) при y > y. Поскольку совокупный излишек используется как показатель
˜ ˜
благосостояния, указанное условие означает, что нельзя увеличивать благосостояние про-
стым увеличением выпуска одного блага.

Теорема 2.
Пусть выполнены следующие условия:
1) функция издержек, c(y), непрерывна на [0, ?),
2) обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает на [0, ?),
3) существует y > 0 такой, что GS(y) < GS(y) при y > y.
˜ ˜ ˜
Тогда равновесие при монополии существует.


Доказательство.
Представим функцию прибыли в следующем виде:
y
?(y) = p(y) y – c(y) = p(y) y – ?p(t)dt + GS(y) – c(0).
0

Достаточно доказать, что при сделанных предположениях ?(y) < ?(y) при y > y. Разность
˜ ˜
прибылей равна
y

?(y) – ?(y) = p(y) y – p(y) y – ?p(t)dt + GS(y) – GS(y).
˜ ˜˜ ˜
˜
y

Поскольку p(y) убывает, то p(y) < p(t) при t < y, и поэтому
y
?p(t)dt > p(y)(y – y).
˜
˜
y

Воспользовавшись этой оценкой интеграла имеем:
?(y) – ?(y) < [p(y) – p(y)]y + GS(y) – GS(y) < 0.
˜ ˜˜ ˜
Дальнейшие рассуждения совпадают с соответствующей частью доказательства Теоремы
1. *
p



˜
p(y)

D
˜
MR(y)


MR
y
˜
y

477
478
?enoiie 94


Свойства монопольного равновесия
Если решение задачи существует и внутреннее (y > 0), то условие первого порядка имеет
M




следующий вид:
M M M M
y p?(y ) + p(y ) = c?(y ),
где y — выпуск, максимизирующий прибыль. Таким образом, так же, как и в условиях
M




совершенной конкуренции предельная выручка равна предельным издержкам
M M M M M M
y p?(y ) + p(y ) = MR(y ) = MC(y ) = c?(y ).
Отличие состоит в том, что в ситуации монополии цена, по которой фирма-монополист
может продать продукцию, p(y), меняется в зависимости от количества, поэтому предель-
ная выручка не равна цене.


Приведем стандартную графическую иллюстрацию равновесия при монополии. Укажем
сначала простой способ построения на графике точек MR(y). Проведем касательную к
˜
кривой спроса в точке, отвечающая объему производства y. Соответствующая объему
˜
производства y точка кривой предельной выручки строится следующим образом: проек-
˜ ˜
ция точки (y, p(y)) на ось ординат отстоит от точки пересечения с этой осью касательной
˜ ˜
на в два раза большее расстояние, чем проекция самой этой точки (y, MR(y)) на кривую
166
спроса (см. Рис. 94).
˜
Другими словами, точка предельной выручки для объема производства y лежит на медиа-
не треугольника, отсекаемого от положительного ортанта касательной к кривой спроса в
˜
той же точке y. В случае же линейной функции спроса кривая предельной выручки ока-
зывается просто соответствующей медианой треугольника, гипотенуза которого — кривая
спроса.
p


M
p
MR D

MC
y
M
y

?enoiie 95
Для решения монополиста можно привести графическую иллюстрацию (Рис. 95). Здесь
MR(y) = p(y) + p?(y) y — кривая предельной выручки монополиста, а MC(y) = c?(y) —
кривая предельных издержек.


Пример 1.
Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a – b y, и издержки заданы функцией c(y)
= cy (a, b, c – константы). Тогда прибыль монополии равна

166
Этот способ построения кривой предельного дохода основывается на определении и свойствах касатель-
˜
ной в точке y к кривой спроса.

478
479
?(y) = y (a – by) – c y = (a – c) y – b y2.
Максимум прибыли будет достигнут при
a–c a+c
и p= 2 .
M M
y = 2b

(


Условие равновесия при монополии можно представить в виде, где явно указывается за-
висимость монопольной цены от издержек производителя и эластичности спроса на его
продукцию.
Напомним определение эластичности спроса по цене в заданной точке p:
p

<< Предыдущая

стр. 110
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>