<< Предыдущая

стр. 111
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?(p) = D?(p) D(p).

С учетом наших предположений о функции спроса эластичность как функцию от объема
производства можно записать как
1 p(y)
?(y) = .
p?(y) y
Поскольку мы предполагаем, что функция спроса убывает, то эластичность отрицательна,
и
1y
|?(y)| = – ?(y) = – .
p?(y) p
Используя эластичность, условие первого порядка можно записать в виде
1?
?
p(y ) ?1 – ? = c?(y ).
M M

? |?(y )| ?
M

? ?

Заметим, что из условий первого порядка при естественном предположении о положи-
тельности предельных издержек (c?(y) > 0) следует, что выбранный монополистом объем
производства лежит на «эластичном» участке кривой спроса, т.е.
M
|?(y )| > 1.
Другая форма записи условия первого порядка максимума прибыли монополии имеет вид:
M M
p(y ) – c?(y ) 1
.
=
M M
p(y ) |?(y )|
Выражение справа называется индексом Лернера.167 Он измеряет степень монополизации
отрасли (монопольную силу производителя) через относительную величину отклонения
цены от предельных издержек. Заметим, что индекс Лернера принимает значения мень-
шие единицы и равен нулю в условиях, когда спрос на продукция данного производителя
является совершенно эластичным (при монопольном выпуске y ).
M




Если обратная функция спроса p(?) и функция издержек монополиста c(?) дважды диффе-
ренцируемы, то объем производства y максимизирующий прибыль, удовлетворяет также
M




и условию второго порядка:

167
Абба Лернер — американский экономист российского происхождения. Он предложил использовать пока-
затель монопольной силы, который впоследствии был назван по его имени, в статье A. P. Lerner, "The Con-
cept of Monopoly and the Measurement of Monopoly Power", Review of Economics and Statistics, Vol. 1 (1934),
pp. 157-75.

479
480
2p?(y ) + y p?(y ) – c?(y ) < 0.
M M M M




Это условие можно также представить в виде

MR ?(y ) < MC ?(y ).
M M




Данное соотношение означает, что тангенс угла наклона кривой предельной выручки не
превышает тангенс угла наклона кривой предельных издержек в точке их пересечения y .
M




Другими словами, кривая предельной выручки пересекает кривую предельных издержек
сверху вниз. В дальнейшем будем считать, что условие второго порядка выполняется как
строгое неравенство, т.е.
M M M M
2p?(y ) + y p?(y ) – c?(y ) < 0.
Это условие вместе с условием первого порядка гарантирует, что удовлетворяющий им
объем производства y отвечает точке локального максимума прибыли.
M




Докажем, что если p(0) > c?(0), то выпуск монополии будет положительным. Выполнение
этого условия необходимо, чтобы сделать анализ содержательным, так как при p(0) < c?(0)
предмет анализа — рынок — отсутствует, поскольку максимум прибыли как монополи-
ста, так и производителя в условиях совершенной конкуренции достигается при нулевом
объеме производства (предполагается убывающая отдача, т.е. возрастание функции пре-
дельных издержек).

Теорема 3.
Пусть функция издержек c(y) и обратная функция спроса p(y) дифференцируемы и p(0)
M
> c?(0). Тогда в равновесный выпуск при монополии положителен, т.е. y > 0.


Доказательство.
Объем производства y , являющийся решением задачи максимизации прибыли:
M




?(y) = p(y) y – c(y) > max,
y>0

должен удовлетворять условию первого порядка
??(y ) = p(y ) + p?(y ) y – c?(y ) < 0
M M M M M




(причем по условию дополняющей нежесткости ??(y ) = 0, если y > 0).
M M




Максимум не может достигаться в нуле, так как если y = 0, то по условию оптимальности
M




должно быть выполнено
??(0) = p(0) – c?(0) < 0,
что противоречит предположению p(0) > c?(0). Таким образом, y > 0. *
M




Поскольку монополия учитывает, что ее выпуск влияет на цену, то она при прочих равных
условиях не может производить больше, чем фирма в условиях совершенной конкурен-
ции, которая этого не учитывает.




480
481
Теорема 4.
M
Предположим, что (обратная) функция спроса убывает, y > 0 — объем производства,
-
выбранный монополией, а y — объем производства, который был бы выбран фирмой с
такой же функцией издержек при конкурентном поведении.168 Тогда
1. y < y.-
M


M
2. Если, кроме того, функция спроса и функция издержек дифференцируемы и p?(y ) <
0, то y < -.
M
y


Доказательство:
По определению, y максимизирует прибыль монополии. Поэтому
M




p(y ) y – c(y ) > p(y) y – c(y).
-- -
M M M




-
С другой стороны, поскольку при конкурентном поведении фирма, выбирая выпуск y,
максимизирующий прибыль, рассматривает цену как данную, то
p(y) y – c(y) > p(y) y – c(y ).
-- - -
M M




Сложив эти два неравенства, получим
p(y ) y > p(y) y .
-
M M M




Поскольку, по предположению, y > 0, то p(y ) > p(y), откуда, при убывании обратной
-
M M




функции спроса, следует, что y < y.
-
M




Докажем вторую часть теоремы. Так как y > 0, функции спроса и издержек дифференци-
M




руемы, то выполнено условие первого порядка в следующем виде:
M M M M
y p?(y ) + p(y ) = c?(y ).
Другими словами,
M M M M
p(y ) – c?(y ) = – y p?(y ) > 0,
-
Выпуск y по определению максимизирует прибыль в условиях, когда производитель рас-
сматривает цены p(y) как данные. Так как y положителен (y > y > 0), то выполнено соот-
- - -
M




ношение
- -
p(y) – c?(y) = 0.
Отсюда следует, что y не может совпадать с y , следовательно, y < y. *
- -
M M




Монотонности функции спроса, вообще говоря, недостаточно для справедливости второй
части утверждения (т.е. условие p?(y ) < 0 теоремы существенно), что показывает контр-
M




пример, показанный на Рис. 96, где p(y) = (y – 1)3 + 1 и c(y) = y2/2. В этом примере кривая
предельной выручки касается кривой спроса в точке y = 1, и через ту же самую точку про-
ходит кривая предельных издержек.




168
-
Понятно, что «конкурентного» объема y может не существовать, если предельные издержки убывают.

481
482
p

<< Предыдущая

стр. 111
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>