<< Предыдущая

стр. 112
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


MC


D

MR
y


?enoiie 96
Помимо вышеприведенных свойств монопольного равновесия, представляет интерес по-
ведение решения и его характеристик при изменении параметров модели, что составляет
предмет сравнительной статики, рассматриваемой в следующем параграфе.

Сравнительная статика
Сравнительная статика — это изучение поведения оптимального решения или равновесия
при изменении экзогенных параметров. Мы рассмотрим здесь сравнительную статику
равновесия при монополии. Связь монопольного равновесия с функцией издержек описы-
вает следующее утверждение.

Теорема 5.
? ?
Пусть c1(?) и c2(?) — дифференцируемые функции издержек такие, что c1 (y) < c2 (y) при
всех y > 0, и пусть y1 > 0 дает максимум прибыли при издержках c1(?), а y2 > 0 — при из-
M M




держках c2(?). Тогда y1 > y2.169
M M




Доказательство.
По условиям максимальности прибыли в обеих сравниваемых точках y1 и y2 имеем:
M M




p(y1) y1 – c1(y1) > p(y2) y2 – c1(y2),
M M M M M M




p(y2) y2 – c2(y2) > p(y1) y1 – c2(y1).
M M M M M M




Складывая эти соотношения и приводя подобные члены, получим
[c2(y1) – c1(y1)] – [c2(y2) – c1(y2)] > 0,
M M M M




т.е.
M
y1
? [c2?(y) – c1?(y)] dy > 0
M
y2
Поскольку подынтегральное выражение положительно, то нижний предел интегрирования
не может превышать верхний: y1 > y2.
M M




¦
Доказанное утверждение можно проиллюстрировать с помощью рисунка, на котором кри-
вая предельных издержек смещается вверх (MC1 > MC2, см. Рис. 97).


169
Отметим, что мы не предполагаем единственности решения задачи монополиста. В случае множествен-
ности каждое решение, соответствующее меньшим по величине издержкам, больше каждого решения,
соответствующего большим по величине издержкам.

482
483
Для частного случая постоянных предельных издержек вышеприведенная теорема может
быть получена непосредственным использованием условий первого и второго порядка.
Условие первого порядка для случая постоянных предельных издержек (c?(y) = c) имеет
следующий вид:
M M M
y p?(y ) + p(y ) = c.


p

M
p1
M
p2 MR
MC2
D
MC1 y
M M
y1 y2

?enoiie 97
Оно задает в виде неявной функции зависимость объема производства, выбираемого мо-
нополистом, от величины предельных издержек y = y(c). В предположении существова-
M




ния производных обратной функции спроса p(y) и функции y(c), продифференцируем по
c тождество
y(c) p?(y(c)) + p(y(c)) = c.
Получим соотношение
2 p?(y(c)) y?(c) + y(c) p??(y(c)) y?(c) = 1,
1
y?(c) = .
2 p?(y(c)) +y(c) p??(y(c))
В знаменателе дроби стоит вторая производная прибыли, которая (по условиям второго
порядка) неположительна. Отсюда следует, что y(c) — убывающая функция.
По изменению выпуска можно найти изменение цен по следующей формуле.
dp 1
= p?(y(c)) y?(c) = > 0.
dc 2 + y(c) p??(y(c))/p?(y(c))
Это соотношение показывает, что равновесная цена растет при росте издержек.
Приведенные соотношения можно применять для анализа влияния на монопольное равно-
весие изменения в величине издержек (шоков со стороны предложения). В качестве при-
мера такого изменения можно рассмотреть введение налога с продаж. Так, при линейной
функции спроса и постоянных средних издержках введение налога с единицы продукции
при ставке t приводит к росту цены на t/2. В случае же функции спроса с постоянной эла-
стичностью ? < 0 (т.е., y(p) = ap?) введение такого налога приводит к росту цены на вели-
чину t |?| /(1+|?|). (Справедливость этих утверждений проверьте самостоятельно.)
Приведенные свойства позволяют провести анализ потерь благосостояния, связанных с
монопольной организацией рынка, что является основной задачей нашего анализа несо-
вершенных рынков.

Анализ благосостояния в условиях монополии
Предположим, что предпочтения потребителей описываются квазилинейной функцией
полезности ui(xi, zi) = vi(xi) + zi, где xi — объем потребления потребителем i блага, рынок
483
484
которого мы рассматриваем, а zi — сумма денег, расходуемых им на приобретение прочих
благ. Ниже, если не оговорено противное, предполагается, что функция полезности строго
вогнута, функции vi(xi) дифференцируемы, причем v i?(?) > 0.170 По этим функциям полез-
ности может быть построена функция совокупного спроса D(p) на рассматриваемое бла-
го. Тогда, как было показано ранее, при естественных условиях на функции vi(xi) агреги-
рованный спрос D(p) порождается задачей максимизации полезности репрезентативного
потребителя с некоторой квазилинейной функцией полезности вида, u(x, z) = v(x) + z,
причем v(x) вогнута и v ?(?) > 0. Свойства предпочтений гарантируют при этом, что рас-
сматриваемое благо нормальное, т.е. функция спроса D(p) убывает.
Как известно, если предпочтения потребителей описываются квазилинейными функциями
полезности, то в качестве индикатора благосостояния может использоваться величина
W(y) = v(y) – c(y).
При этом множество объемов, которые максимизируют индикатор благосостояния, явля-
ется множеством Парето-оптимальных состояний.
Покажем, что выпуск при монополии не может превышать Парето-оптимальный объем
производства данного блага. Более того, при естественных предположениях он оказыва-
ется не оптимальным, и поэтому меньше оптимального. Доказательство во многом похоже
на доказательство Теоремы 4.

Теорема 6.
Если обратная функция спроса p(y) порождается решением задачи репрезентативного
^
M
потребителя и убывает, y — объем производства, выбранный монополией, а y > 0 —
171
Парето-оптимальный объем производства, то
1. y < y.^
M


M
2. Если, кроме того, функция спроса и функция издержек дифференцируемы и p?(y ) <
0,172 то y < y.
^
M




Доказательство:
Пусть v(y) + z — функция полезности рассматриваемого репрезентативного потребителя.
Так как p(y) — его обратная функция спроса, то должно выполняться неравенство
v(y ) – p(y ) y > v(y) – p(y ) y.
^ ^
M M M M




С другой стороны, по определению оптимума Парето
W(y) = v(y) – c(y) > v(y ) – c(y ) = W(y ).
^ ^ ^
M M M




Сложим эти два неравенства:
p(y ) y – c(y) > p(y ) y – c(y ).
^ ^
M M M M




Поскольку y максимизирует прибыль монополии, то
M




p(y ) y – c(y ) > p(y) y – c(y).
^^ ^
M M M




170
Отметим, что фактически все утверждения, с известными модификациями, справедливы и при выполне-
нии условия v i?(?) > 0. Читателю предлагается проверить это самостоятельно.
171
В доказательстве не используется ни единственность монопольного равновесия, ни единственность оп-
тимального с точки зрения общества объема выпуска. Результат теоремы следует понимать как соотноше-
ние между двумя любыми представителями соответствующих множеств.
что можно гарантировать в условии, когда v??(?) существуют и отрицательны.
172
i


484
485
Таким образом, имеем
p(y ) y – c(y) > p(y) y – c(y)
^ ^ ^^ ^
M




или
p(y ) y > p(y) y.
^ ^^
M




Поскольку, по предположению y > 0, а p(y) убывает, то y < y.
^ ^
M




^
Докажем теперь вторую часть теоремы. Предположим противное, т.е. y = y.
M




Выбор монополиста при y > 0 должен удовлетворять условиям первого порядка:
M

<< Предыдущая

стр. 112
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>