<< Предыдущая

стр. 116
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

потребителей. Типичного потребителя первого типа, назовем господином Low, а типично-
го потребителя второго типа — господином High.179 В дальнейшем будем предполагать,
что господин Low при любых количествах оценивает рассматриваемое благо ниже, чем
господин High, т.е.
v?(x) < vh
?(x) ?x,
l

что влечет за собой, при vi(0) = 0 (i = l, h) также и соотношение
vl(x) < vh(x) ?x > 0.

ДИСКРИМИНАЦИЯ ВТОРОГО ТИПА: ПАКЕТНАЯ ДИСКРИМИНАЦИЯ
В общем случае монополист может предложить потребителям на выбор k пакетов: (xj, tj),
j = 1, ..., k. Задача монополиста состоит в том, чтобы выбрать пакеты так, чтобы получить
наибольшую прибыль (от тех пакетов, которые ему удастся продать). Прежде всего, при-
ведем модель к эквивалентному, но более простому виду.
Во-первых, отметим, что нам достаточно рассмотреть случай, когда монополист предлага-
ет только два пакета (k = 2). (Читатель может сам провести рассуждения, доказывающие
это.)



179
Тот, кто не приемлет англицизмы, может заменить, например, имена на «Коротышку» и «Дылду».

497
498
Во-вторых, вспомним факт, упоминавшийся выше в контексте дискриминации первого
типа, что если ограничение участия не выполнено, то потребитель уйдет с рынка, и моно-
полист получит такую же прибыль, как и в случае, когда потребитель выбрал пакет вида
(xi, ti) = (0, 0). Поэтому можно ограничится рассмотрением только таких схем, при кото-
рых ни один потребитель не уйдет с рынка. Добавим это ограничение — условие участия
— к задаче монополиста. Тем самым мы получим эквивалентную задачу (с точки зрения
прибыли монополиста), но анализ упростится, так как целевая функция перестанет быть
разрывной.
В-третьих, мы можем считать, что пакеты помечены индексом участников:
(xl, tl) и (xh, th).
Первый из пакетов предназначен для господина Low, а второй — для господина High. При
этом в задачу монополиста добавляется ограничение, которое гарантирует, что ни одному
потребителю не выгодно выбирать пакет, который ему не предназначен — так называемое
условие самовыявления.

Для «господина Low» условие самовыявления имеет вид
vl(xl) – tl > vl(xh) – th,
а для «господина High» —
vh(xh) – th > vh(xl) – tl.
При добавлении этих ограничений задача остается эквивалентной исходной. Действи-
тельно, если потребители «поменяются пакетами», то можно просто поменять индексы
пакетов. Если же все потребители выберут один и тот же пакет, то можно сделать другой
пакет совпадающим с выбранным потребителями. В обоих случаях прибыль не изменится.
Таким образом, мы будем анализировать модель, в которой монополист выбирает сделки
из семейства сделок (xl, tl), (xh, th), задаваемого условиями участия и самовыявления. Если
xl < xh, то соответствующая схема оплаты имеет вид
?tl, x < xl,
?
t(x) = ?th, xl < x < xh,
?+ ?, x > xh.
?
Сначала покажем графически (см. Рис. 105), что те пакеты, которые монополист выбрал
бы при идеальной дискриминации, в данном случае не являются оптимальными. При этом
будем использовать дополнительное упрощающее предположение, что предельные из-
держки постоянны, c > 0. Каждому из типов потребителей при идеальной дискриминации
будет предложена сделка
(xi, ti) = (x*, t*),
i i

причем объем x* будет выбран так, чтобы выполнялось
i

v?(x*) = c,
i i

а плата t* будет выбрана равной потребительскому излишку.
i

На Рис. 105 плате господина Low, t*, соответствует площадь A + B + C, а плате господина
l
High, th, — площадь A + B + C + D + E + F.
*




498
499
p

v?(x)
l



C
?(x)
vh
B
F
c
E
A
D x
x* *
xh
l


?enoiie 105. «Ia?niieoeoe?iaaiiay» aene?eieiaoey aicii?ia
Если «персонифицированная» дискриминация неосуществима и потребители обоих типов
могут выбирать любую из двух предложенных им сделок, то все они предпочтут сделку
первого типа, (x*, t*). Господин High предпочтет сделку первого типа, поскольку если он
l l
покупает x l блага по цене, равной площади A + B, то его излишек составит величину C, в
*

то время как в случае, когда он соглашается на сделку второго типа, его излишек равен
нулю.
Таким образом, производитель должен так сконструировать второй тип сделки, чтобы он
кому-то был нужен. Для того, чтобы сделка второго типа для господина High оказалась не
менее привлекательной, чем сделка первого типа, монополист должен уменьшить взи-
маемую с него плату на величина не меньшую, чем площадь фигуры C (т.е. vh(x*) – vl(x*)).
l l
При этом господин High оказывается безразличным к выбору между сделкой первого и
второго типа, но мы будем считать, как и ранее, что из каких-то внемодельных соображе-
ний он всегда будет предпочитать то, что ему предназначено, т.е. сделку второго типа.
Таким образом, оптимальные сделки будут иметь вид
(x*, vl(x*)) и (xh, vh(xh) – [vh(x*) – vl(x*)]).
*
l l l l

Эта система сделок удовлетворяет условию самовыявления: потребитель каждого типа
предпочитает предназначенную для него сделку. На Рисунке 105 плата по сделкам второ-
го типа равна площади A + B + D + E + F.
Хотя данная система сделок удовлетворяет условиям участия и самовыявления, она не
оптимальна с точки зрения производителя, что проиллюстрировано на Рис. 106. Действи-
тельно, монополист может увеличить совокупную прибыль от этих сделок, понижая x* на
l
?xl.
Если уменьшим x* на ?xl > 0, тогда прибыль монополиста упадет от того, что он сокраща-
l
ет количество, предлагаемое для сделки первому потребителю на величину площади тре-
угольника 7 (раньше монополист получал всю площадь B, а сейчас — площадь B за вы-
четом площади малого треугольника 7, т.е. площадь B?). При этом в первом приближе-
нии прибыль от каждой сделки первого типа уменьшится на величину, пропорциональную
квадрату ?xl (при достаточно малом ?xl площадь треугольника 7 величина того же поряд-
ка, что и (?xl)2).
Напомним, что монополист вынужден обеспечить господину High некоторый излишек,
для того, чтобы он не претендовал на сделку, предназначенную для господина Low.
Прежнему количеству x* соответствовал излишек C. Сократив количество x*, предлагае-
l l
мое господину Low, на величину ?xl, монополист должен обеспечить господину High из-
лишек C ?, который меньше C на площадь трапеции 8. Площадь этой трапеции в первом
приближении пропорциональна ?xl.


499
500
p v?l(x)

8

7
C?
v?h(x)
B?
F?
c
E?
A?
D? x
xl* – ?xl xh*

?enoiie 106. Aaiiay nenoaia naaeie ia iioeiaeuia n oi?ee c?aiey iiiiiieenoa
Таким образом при малых ?xl потери прибыли от сделки с господином Low будут ком-
пенсированы увеличением прибыли от сделки с господином High. Тем самым, прибыль
монополиста вырастет.
Можно продолжать сокращать xl. При некоторой величине xl прирост прибыли от сделки
с господином High не будет покрывать падение прибыли от сделки с господином Low. По-
видимому, должна существовать некоторая величина xl, которая соответствует оптималь-
ной системе сделок, дающей монополисту максимальную прибыль.


Проанализируем теперь задачу отыскания оптимальной системы сделок формально. Мы
будем далее предполагать, что монополист имеет дело с ml > 0 одинаковыми участниками
типа «господин Low» и mh > 0 одинаковыми участниками типа «господин High». Таким
образом, оптимальная система сделок {(xl , tl ), (xh, th)} определяется решением следую-
P P P P




щей задачи:
? = ml tl + mh th – c(mlxl + mhxh) > max x , t , x , t >0. l l h h



при ограничениях:
tl < vl(xl), (1l)
th < vh(xh), (1h)
(условия участия)
vl(xl) – tl > vl(xh) – th , (2l)
vh(xh) – th > vh(xl) – tl. (2h)
(условия самовыявления)
Поскольку монополист максимизирует прибыль, то по крайней мере одно из каждой пары
((1l), (2l)) или ((1h), (2h)) ограничений является существенным в точке максимума. В про-
тивном случае возможно увеличить прибыль, повысив, не нарушая ограничений, плату
для того участника, для которого это не выполняется.
Покажем, что для господина Low активным окажется только первое из его ограничений
(добровольность), а для господина High, наоборот, только второе (самовыявление).
Предположим противное. Пусть выполнено соотношение th = vh(xh). Подставляя данное
P P




соотношение в ограничение самовыявления этого же участника и произведя соответст-
вующие упрощения, получим tl > vh(xl ).
P P




И используя предположение, что vl(x) < vh(x) ?x > 0, придем к соотношению tl > vl(xl ),
P P




которое противоречит ограничению добровольности (1l). Таким образом,
500
501
vh(xh) – th = vh(xl ) – tl . (2h=)
P P P P




Предположим теперь, что (2l) выполнено как равенство, т.е. имеет место соотношение
vl(xl ) – tl = vl(xh) – th. Сложив его с (2h=), получим
P P P P




vh(xh) – vh(xl ) = vl(xh) – vl(xl ).
P P P P




Представим это соотношение в виде
P P
xh xh
? v?h(x)dx = ? v?l(x)dx.
P P
xl xl
Это равенство противоречит условию, что v?(x) < vh
?(x) ?x > 0, (подынтегральное выраже-
l
ние справа всегда меньше, чем подынтегральное выражение слева). Здесь предполагается,
что xh ? xl , что читателю предлагается установить самостоятельно. Таким образом, для
P P




решения задачи выполняется соотношение
tl = vl(xl ), (1l=)
P P


<< Предыдущая

стр. 116
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>