<< Предыдущая

стр. 12
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

66. Пусть в экономике присутствует один потребительский товар, продаваемый по цене p .
Доход потребителя складывается из фиксированной части R > 0 и заработной платы wh,
где h – время, которое потребитель посвящает работе, а w – почасовая ставка оплаты тру-
да. Потребитель не может работать больше 24 часов в сутки. Запишите бюджетное мно-
жество для этой задачи. Постройте его эскиз. Является ли оно выпуклым? Что произойдет,
если в модель ввести налог с заработной платы? Дохода? Предложите схему налогообло-
жения, когда бюджетное множество невыпукло.


67. Предположим, что потребитель живет бесконечное число периодов времени (время
дискретно). В каждый период t он, используя имеющийся у него капитал kt, исходя из во-
гнутой производственной функцией f(kt) производит некоторый товар, который может
либо потребить ct, либо направить на увеличение своего капитала (инвестировать)–it. Ка-
питал предполагается убывающим от периода к периоду, с постоянной нормой выбытия 1
> ? > 0. Начальный запас капитала в нулевой момент времени равен k0. Предположим так-
же, что значения ct, it, kt могут принимать только неотрицательные значения. Запишите
бюджетное множество для этой задачи. Покажите, что оно выпукло.


68. Для случая двух товаров изобразите эскиз бюджетного множества, если цена первого
товара зависит от объема, а цена второго постоянна, причем цена первого товара убывает
при росте объема. Доход потребителя предполагаем фиксированным. Является ли данное
бюджетное множество выпуклым?




54
55

69. Докажите теорему 13.


70. При каких условиях в пунктах (7), (8) теоремы 13 нестрогие знаки могут быть замене-
ны строгими? Покажите, что без дополнительных предположений этот факт, вообще го-
воря, не верен.

Задача потребителя. Основные понятия и свойства
Как уже отмечалось, гипотеза рациональности предполагает, что экономический агент,
ориентируясь на свои вкусы, предпочтения выбирает наилучший вариант из числа дос-
тупных ему альтернатив. Это предположение фактически однозначно задает определение
функции спроса и постановку задачи потребителя, в случае, когда известны отношение
предпочтения и бюджетное множество.

Определение 14.
Пусть на X задана система неоклассических предпочтений {}, }, ˜}, B – совокупность
_
бюджетных множеств B ? X. Тогда отображение x: B >2 , определяемое как x(B)
X

={x?B | ? y?B x } y}, называется спросом Маршалла. В случае если x(B) – одноэле-
_
ментное множество ? B?B, то x(B) называется функцией спроса Маршалла.33


В случае если предпочтения потребителя представимы функцией полезности u:X>R,
значение спроса в точке может быть альтернативным образом определено как x(B)
=argmaxy?Bu(y). Если потребитель, имеет фиксированный доход и осуществляет выбор
среди наборов из B(p, R), отображение (функция) спроса представляет собой решение
следующего (параметризованного) семейства задач математического программирования,
каждая из которых называется (прямой или маршаллианской) задачей потребителя при ценах
p и доходе R
u(x) > maxx
x?B(p, R)
или, что эквивалентно, семейства задач
u(x) > maxx
px <R, x?X.
Для удобства обозначений, в случае, когда семейство бюджетных множеств явным обра-
зом параметризуется, вместо общего обозначения x(B) будем писать x(a), где a – вектор
параметров параметризующих семейство бюджетных множеств. Так в случае задачи по-
требителя с фиксированными доходами вместо x(B(p, R)) будем писать x(p, R).
Сейчас, на примере лексикографического предпочтения (его свойства обсуждались в при-
мере 3) мы продемонстрируем способ нахождения функции спроса.
Пример 6.
2 2
Пусть допустимое потребительское множество X= + , R > 0 и p? ++. Рассмотрим потре-
R
бительский набор (p , 0) и покажем, что он предпочтительнее любого отличного потреби-
1
тельского набора принадлежащего бюджетному множеству B(p, R). Для любого потреби-

33
Впервые понятие спроса было введено Франсуа Огюстеном Курно в работе Cournot, A, Recherches sur les
principes mathematiques de la theorie des riches, 1838.

55
56

˜
тельского набора x из бюджетного множества, в который второе благо входит в положи-
R
˜
тельном количестве справедливо, что первая компонента вектора x строго меньше чем p .
1
Таким образом, по определению лексикографического предпочтения имеем, что потреби-
R
тельский набор (p , 0) представляет собой спрос потребителей при ценах p и доходе R .
1

?
Как известно из вводного курса микроэкономики и как, впрочем, несложно догадаться
самостоятельно, задача поиска спроса потребителя имеет достаточно прозрачную геомет-
рическую интерпретацию. Геометрически, в случае локально ненасыщаемых предпочте-
ний (причина появления этого уточнения станет ясной при рассмотрении свойств функ-
ции спроса), спрос представляет собой точку касания кривой безразличия и бюджетной
линии, как это изображено на Рисунке 8. Таким образом, для того чтобы найти спрос
агента, необходимо нарисовать бюджетный треугольник, одну из кривых безразличия и
двигая ее (на самом деле переходя от одной кривой безразличия к другой) найти точку
касания с бюджетной линией.


бюджетная прямая
x2

Кривая безразличия


маршаллианский
спрос


x1

?enoiie 8 Ia?oaeeeaineee ni?in.
Перейдем теперь к рассмотрению свойств функции спроса и задачи потребителя в целом.
Для определенности будем рассматривать случай потребителя с фиксированным доходом.
Отметим, что многие, из получаемых в дальнейшем результатов, без труда могут быть
перенесены и на бюджетные множества общего вида.

Теорема 14. (Свойства маршаллианского спроса)
K
Пусть p? ++, R >infx?Xpx и потребитель описывается системой непрерывных неоклас-
сических предпочтений. Тогда
(1) решение задачи потребителя существует, т.е. x(p, R) ? ?;
(2) если предпочтения потребителя выпуклы, тогда x(p, R) — выпуклое множество;
(3) если предпочтения потребителя строго выпуклы, то x(p, R) — непрерывная функ-
ция;
(4) отображение x(p, R) положительно однородно нулевой степени34, т. е. x(?p, ?R) =
x(p, R);
(5) если предпочтения потребителя локально ненасыщаемы, то x(p, R) удовлетворяет
закону Вальраса, т.е. если x?x(p, R), то px = R;
^ ^



34
В дальнейшем, говоря об однородности, мы будем автоматически предполагать положительную однород-
ность, не уточняя этого специально.

56
57

(6) если x(p, R) – отображение спроса при ценах p и доходе R, а x(p?, R?) – отображе-
ние спроса при ценах p? и доходе R?, x ? x(p, R), x??x(p?, R?), x??B(p, R), x?B(p?,
R?), то x?x(p?, R?).


Доказательство:
(1) Используя теорему 13, получаем что B(p, R)– компакт. В силу того, что непрерывные
неоклассические предпочтения, представимы непрерывной функцией полезности, то по
теореме Вейерштрасса имеем, что x(p, R) ? ?.
(2) Пусть предпочтения индивидуума выпуклы, x(p, R) не пусто и x?, x?? — два элемента
из множества x(p, R), т.е. x?, x???x(p, R). Рассмотрим потребительский набор x?= ? x? +
(1 – ?)x??, где 0<?<1. В силу сделанных предположений множество B(p, R)– выпукло, из
этого с учетом того, что x?, x??? B(p, R) получаем x??B(p, R), т.е. набор x? является до-
пустимым в задаче потребителя. Так как x?, x???x(p, R), то по определению отображения
спроса имеем x?˜x??, что эквивалентно одновременному выполнению x?}x?? и x?{x??. Из
_ _
x?}x?? по свойству выпуклости предпочтений имеем x? } x??, а так как x???x(p, R) то
_ _
?y?B(p, R) x?? } y а значит, имеем ?y?B(p, R) x } y. Это вместе с x??B(p, R) и оз-
?
_ _
начает выпуклость множества x(p, R).
(3) Доказательство того, что x(p, R) – одноэлементное множество несложно, в общих
чертах повторяет доказательство предыдущего и оставляется читателю в качестве упраж-
?
нения. Здесь же докажем ее непрерывность. Рассмотрим последовательность {pn, Rn}n =1>
-- -- -
{p, R}, где Rn >infx?Xpnx для каждого n и (p, R)>(0, infx?Xpx), такую, что порождаемая
?
последовательность {xn}n =1 решений задачи потребителя при ценах pn и доходах Rn (т.е.
?
xn = x(pn, Rn)) сходится, т.е. {xn}n =1> x. Поскольку pn xn <Rn, то, переходя к пределу при
-
-- -
n > ?, получаем px< R. Для доказательства непрерывности функции спроса необходимо
--
- -
показать, что x = x(p, R), т.е. что x является оптимальным выбором потребителя при це-
-
- ^ ^ -
нах p и доходе R. Предположим противное, т.е. существует набор x, такой что u(x) > u(x
-^ -
) и p x <R.
-
В силу замкнутости множества допустимых альтернатив X справедливо, что infx?Xp
-
- - ˜
x=minx?Xpx, то R>minx?Xpx. Таким образом, существует потребительский набор x
такой, что u(x) > u(x) и p x <R. Действительно, возьмем x?= ?x + (1 – ?)z (0<?<1), где
-˜ -
˜ - ^
z?argminx?Xpx. При достаточно больших значениях ? в силу непрерывности имеем, что
-
u(x?) > u(x) и p x? <R и в качестве x возьмем x?.
-
- - ˜
˜
Далее, найдется достаточно большое N такое, что при n>N выполнено pn x <Rn. Пусть
это не так, т.е. существует такая возрастающая последовательность натуральных чисел
-˜ -
{nk}+? , что p x>R ?k. Тогда, перейдя к пределу, мы получили бы px> R, что противо-
n n
˜
k k
k=1

˜ ˜
речит выбору x. Для каждого n такого, что pn x <Rn в силу оптимальности xn мы должны
˜
иметь u(xn) > u(x). Так как функция полезности непрерывна, то, переходя к пределу, по-
лучаем u(x) > u(x). Тем самым мы пришли к противоречию. Это означает, что набор x
- ˜ -
- --
- -
оптимален при ценах p и доходе R, т.е. x = x(p, R). Таким образом, доказана непрерыв-
ность функции спроса x(p, R) по ценам и доходу.




57
58

Замечание. В общем случае можно показать, что отображение спроса имеет замкнутый
график, используя, с незначительными изменениями предложенную схему доказательст-
ва.35
(4) Доказательство не сложно и оставляется читателю в качестве упражнения.
(5) Пусть x(p, R) – отображение спроса, и закон Вальраса не выполнен, т.е. ? x?x(p, R)
^
^
такой, что px<R. Тогда по свойству локальной ненасыщаемости в любой окрестности
точки x должен существовать набор x, такой, что x}x. Если выбрать достаточно малую
^ ˜ ˜^
окрестность, то x будет удовлетворять бюджетному ограничению (px < R), что противо-
˜ ˜
^
речит оптимальности набора x.
(6) Так как x ? x(p, R) и x??B(p, R), то x } x?, аналогично из того, что x??x(p?, R?) и
_
x?B(p?, R?) следует x? } x. В силу транзитивности отношения } имеем, что x˜x?. Откуда
_ _
по определению функции спроса имеем x?x(p?, R?).
*
Поясним содержание данного утверждения. Первые пять пунктов данного утверждения
достаточно прозрачны, и являются стандартными свойствами задач математического про-
граммирования. В них показано существование решения задачи потребителя и базовые
свойства, которым удовлетворяет отображение спроса: однородность, выпуклость, выпол-
нение закона Вальраса (в точке оптимума бюджетное ограничение выходит на равенство).
Наибольший интерес вызывает свойство под номером 6. Его удобно пояснять в терминах
теории выбора, которая подробно будет рассмотрена в дальнейшем. Если в некоторой си-
туации потребителю были доступны потребительские наборы x, x? и был выбран (одно-
значно36) потребительский набор x, то тем самым, выбор явно указывает, что набор x
лучше набора x?. Таким образом, если в какой либо другой ситуации рациональный по-
требитель выбирает набор x?, то, следовательно, набор x ему не доступен, не удовлетво-
ряет бюджетному ограничению. Данное свойство запрещает ситуацию, когда в двух си-
туациях выбора в первой ситуации потребитель своим выбором сигнализирует, что x }
x?, и в то же время выбирает x?, когда в другой ситуации ему доступны и x, и x?.
Следующий пример иллюстрирует дополнительные свойства, которым удовлетворяет

<< Предыдущая

стр. 12
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>