<< Предыдущая

стр. 122
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

* *

i?j
* *
Пусть (y1, ..., yn) — равновесие Курно. Тогда выполняются следующие соотношения (ус-
ловия первого порядка):
??(yj ) = p(Y*) + p?(Y*) ? yj – c?(yj ) < 0,
* * *
j j




182
То есть, были бы, пользуясь английским термином, price-taker'ами.
183
Cournot, A. A. (1838), «Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses».
184
Часто равновесие в рассмотренной модели называют также равновесием по Нэшу-Курно.
185
Если отклики неоднозначны, то нужно решить аналогичную систему включений.

519
520
n
где Y = ¤yi , причем
*
*

i=1


??(yj ) = 0, если yj > 0.
* *
j

Данные соотношения — необходимые условия первого порядка, представляют дифферен-
циальную характеристику равновесия Курно.
y1 = R1(y2)
y2

?1(y1, y2) = const

?2(y1, y2) =
const
y* y2 = R2(y1)




y1


?enoiie 112
Проиллюстрируем с помощью графика равновесие Курно для случая двух фирм (дуопо-
лии) (Рис. 112). На рисунке изображены кривые постоянной прибыли (?1(y1,y2) = const и
?2(y1,y2) = const) и кривые отклика (y1 = R1(y2) и y2 = R2(y1)), которые можно определить
как множество точек, где касательные к кривым равной прибыли параллельны соответст-
вующим осям координат. Точка пересечения кривых отклика является равновесием Нэша-
Курно (y*).

Свойства равновесия Курно в случае постоянных и одинаковых предельных
издержек
Проведем анализ модели Курно в упрощенном варианте, предположив, что предельные
издержки постоянны и совпадают у всех производителей, т.е. c?(yj) = c. Кроме того будем
j
предполагать выполнение условий:
(C1) p(0) > c,
˜ ˜
(C2) существует Y, такой что p(Y) < c,
(C3) функция p(?) дифференцируема и p?(y) < 0 ?y > 0.

СИММЕТРИЧНОСТЬ РАВНОВЕСИЯ И ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ВЫПУСКОВ
Докажем, что объемы производства у всех олигополистов совпадают. Пусть это не так, и
* *
существуют два производителя, j и k, такие что yj > yk. Запишем условия первого порядка,
* *
учитывая, что выпуск yj положителен, а yk может быть равен нулю:
p(Y*) + p?(Y*) ? yj – c = 0
*


и
p(Y*) + p?(Y*) ? yk – c < 0.
*


Вычитая из второго неравенства первое, получим
p?(Y*) ( yk – yj ) < 0.
* *



520
521
Поскольку p?(Y*) < 0, то yk > yj . Получили противоречие. Таким образом, объем производ-
* *

Y*
ства у каждой фирмы в равновесии Курно одинаков: yj = n ?j = 1, ..., n,
*



а условия первого порядка совпадают и приобретают вид
*
*Y
p(Y ) + p?(Y ) n – c < 0,
*



причем неравенство заменяется на равенство, если суммарный выпуск Y* положителен.
Если p(0) > c, то в равновесии Курно суммарный выпуск не может быть нулевым, по-
скольку, подставляя Y* = 0 в условия первого порядка, получаем
p(0) – c < 0.

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
Таким образом, при p(0) > c, выпуск общий положителен и условия первого порядка име-
ют вид
*
*Y
*
p(Y ) + p?(Y ) n – c = 0,

Заметим, что существование корня этого уравнения можно гарантировать, если выполне-
ны условия C1–C3 и, кроме того, функция p(?) непрерывно дифференцируема, поскольку в
Y
этих условиях непрерывная функция p(Y) + p?(Y) n – c принимает значения разных зна-
˜
ков на концах интервала [0, Y ].
Если дополнительно потребовать, чтобы функция p(y + y?) ? y была вогнута по y при лю-
Y* Y*
бом y? > 0, то можно утверждать, что ( n , ..., n ) — равновесие Курно (выполнено условие
второго порядка).
Заметим при этом, что поскольку при сделанном предположении функция p(y) y вогнута,
то равновесие Курно единственно, поскольку условие первого порядка выполнено в одной
точке.
Y
Действительно, функцию p(Y) + p?(Y) n – c можно представить в виде
1 n–1
[p(Y) + p?(Y)Y] + p(Y) n – c.
n
Первое слагаемое здесь не возрастает, а второе убывает при n > 1, поэтому функция
Y
p(Y) + p?(Y) n – c убывает и может быть равной нулю не более чем в одной точке.

В точке Y = 0 (в которой условие первого порядка может не выполняться как равенство)
равновесия быть не может, поскольку, как мы предположили, p(0) > c.

СРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ КУРНО С РАВНОВЕСИЯМИ ПРИ МОНОПОЛИИ И СОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ
Следует отметить три характеристики равновесия Курно:
1. Объем выпуска Y* в равновесии Курно выше, чем объем выпуска y при монополии
M




(или картеле, когда производители выбирают выпуск, максимизирующий суммарную
прибыль).



521
522
-
2. Объем выпуска Y* в равновесии по Курно ниже, чем объем выпуска Y в условиях со-
вершенной конкуренции (ситуации, когда производители рассматривают цены как дан-
ные).
3. При росте числа участников объем выпуска в равновесии Курно приближается к равно-
весию при совершенной конкуренции.

Теорема 1.
* *
Пусть (y1, ..., yn) — равновесие Курно, и (y1, ..., -n ) — равновесие при совершенной кон-
- y
186
куренции, y — равновесие при монополии. Предположим, что выполнены условия
M



C1–C3. Тогда
n n
- *
Y = ¤yi > Y = ¤yi >y
-
M
*

i=1 i=1



Доказательство.
Как было показано выше, равновесие Курно удовлетворяет условию
*
*Y
*
p(Y ) + p?(Y ) n – c = 0.

Как было доказано в главе о монополии, выполнение C1–C3 гарантирует, что y > 0, по-
M




этому y удовлетворяет условию первого порядка
M




M M M
p(y ) + p?(y )y – c = 0.
С другой стороны, при совершенной конкуренции, как известно, цена равна предельным
издержкам:
-
p(Y) – c = 0.
Вычитая из третьего соотношения первое, получим
*
*Y
-
p(Y) – p(Y ) = p?(Y ) n .
*



Поскольку правая часть соотношения отрицательна, а функция p(?) убывает, то
-
Y* > Y.
Предположим, что y > Y*. Тогда увеличение выпуска одного из производителей (напри-
M




мер, первого) на величину Y* – y приводит к росту суммарной прибыли (до монопольно
M




высокой). Поскольку при этом прибыль остальных производителей может только умень-
шиться, прибыль первого возрастает, что противоречит предположению о том, что Y* —
совокупный выпуск в равновесии Курно. *

РОСТ ВЫПУСКА С РОСТОМ ЧИСЛА УЧАСТНИКОВ

Теорема 2.
Предположим, что выполнены условия C1–C3 и, кроме того, функция p(?) непрерывно
*
дифференцируема. Пусть Yn — суммарный выпуск в равновесие Курно с n участниками.
Тогда
-
*
lim n > ? Yn = Y.


186
Как нетрудно показать, тот же самый объем производства будет выбран, если олигополисты образуют
картель (см. ниже).

522
523


Доказательство:
*
Для любого Yn выполняются соотношения (условия первого порядка)

<< Предыдущая

стр. 122
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>