<< Предыдущая

стр. 123
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

*
Yn
* *
p(Y ) + p?(Y ) n – c = 0.
n n


-
Предыдущая теорема гарантирует ограниченность последовательности Yn (Yn ? (0, Y)).
* *


Так как функция p(?) непрерывно дифференцируема, то из этого следует ограниченность
* *
p?(Yn)Yn. Отсюда
*
Yn
*
lim n>?[p?(Y ) n ] = 0.
n


Следовательно,
*
*
lim n>? p(Yn) = c.

Свойства равновесия Курно в случае функций издержек общего вида
Вышеприведенные результаты получены при достаточно сильном предположении о
функции издержек. Ниже будут приведены естественные обобщения полученных резуль-
татов при отказе от этого предположения.

СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ
Прежде обсудим условия на функции издержек и функции спроса, при которых равнове-
сие Курно существует.

Теорема 3.
Предположим, что в модели Курно выполнены следующие условия:
1) функции издержек cj(y) дифференцируемы при всех возможных объемах выпуска (не-
отрицательных y),
2) обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает при всех неотрицательных y,
3) функция p(y + y?) ? y вогнута по y при любом y? > 0,
4) функции издержек cj(y) выпуклы (функции предельных издержек не убывают)187,
5) существуют yj > 0 j = 1, ..., n такие, что p(yj) < c?(yj) при yj > yj.
˜ ˜
j


Тогда равновесие Курно (y1, ..., yn) существует, причем 0 < yj < yj ?j.188
* * *
˜


187
Обычно условия 3) и 4) теоремы существования заменяют следующие условия Хана: p?(Y) + p??(Y) yj < 0
и p?(Y) – c??(yj) < 0 ? j, Y, yj (Hahn, F. (1962) "The Stability of the Cournot Oligopoly Solution," Review of Eco-
j
nomic Studies, 29, 329-31). Заметим, что они также гарантирует строгую вогнутость функции прибыли и,
таким образом, вместе с другими условиями теоремы — существование равновесия Курно. Анализ поведе-
ния олигополии в ситуации, когда выполнено условие Хана, оказывается достаточно простым и приводится
˜ ˜
в задачах. Условие 5) заменяет условие: существуют Y такое, что p(Y) = 0 для всех Y > Y. В приводимых
ниже доказательствах существования и свойств равновесия Курно акцент делается на свойствах равновесия
и рационального поведения, которые можно рассматривать как аналоги выявленных предпочтений.
188
Условия данной теоремы гарантируют нам существование равновесия Нэша-Курно в чистых стратегиях.
Если мы откажемся от предположений 3)-4), то, применяя теорему Гликсберга:
«Пусть ?I, {Xi}I , {ui}I ? — игра m лиц в нормальной форме. Если для каждого i Xi — компактное вы-
пуклое подмножество метрического пространства, а ui — непрерывная функция, тогда в этой игре
существует равновесие Нэша в смешанных стратегиях» —

523
524


Доказательство.
Доказательство оставляется в качестве упражнения. Ниже приводится возможная схема
такого доказательства.
1) Докажите, что при любых (разумных) ожиданиях относительно выпуска конкурентов
ни одному из производителей не выгодно выбирать объем производства, превышающий
˜
объем yj. Тем самым, выбор каждого участника может быть ограничен компактным мно-
жеством. Можно использовать тот же способ доказательства, что и для монополии. При
y
этом аналогом совокупного излишка будут функции ?p(t)dt – cj(y) – cj(0). При доказатель-
0
стве удобно учитывать, что для каждой фирмы j суммарный выпуск других фирм Y–j есть
константа, поэтому задача максимизации прибыли по yj сводится к максимизации прибы-
ли по Yпри ограничении Y> Y–j.
2) Докажите непрерывность и вогнутость функции прибыли каждого участника при лю-
бых ожиданиях относительно выбора других.
3) Воспользуйтесь теоремой Нэша. *


Сам факт существования равновесия, хоть и повышает доверие к модели Курно, но мало
полезен для анализа олигополистического рынка. Без информации, характеризующей
равновесие, модель Курно, как и любая модель, оказывалась бы мало пригодной. Сле-
дующие далее утверждения позволяют сравнить равновесие Курно с монопольным равно-
весием и равновесием в ситуации совершенной конкуренции.

СРАВНЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ КУРНО С РАВНОВЕСИЕМ ПРИ СОВЕРШЕННОЙ КОНКУРЕНЦИИ
Нижеследующие результаты дают сравнительную характеристику объемов производства
в отрасли при разных типах ее организации.

Теорема 4.
* *
(1) Предположим, что равновесие Курно, (y1, ..., yn), и равновесие при совершенной кон-
куренции, (y1, ..., -n), существуют, и обратная функция спроса p(y) убывает. Тогда сум-
- y
n
*
марный выпуск в равновесии Курно, Y = ¤yi , не превышает суммарный выпуск в усло-
*

i=1
n
-
виях совершенной конкуренции, Y = ¤yi.
-
i=1

(2) Если, кроме того, выполнены следующие условия:
- обратная функция спроса, p(y), и функции издержек, cj(y), j = 1, ..., n дифференциру-
емы при всех неотрицательных y, причем p?(Y*) < 0;
- ?j: p(0) > c?(0);
j

- предельные издержки, c?(y), неубывают (невозрастающая отдача),
j




(См. Glicksberg, I.L. (1952), "A Further Generalization of the Kakutani Fixed Point Theorem with Application to
Nash Equilibrium Points," Proceedings of the National Academy of Sciences, 38,170-174, Рус. пер: И. Л. Гликс-
берг, «Дальнейшее обобщение теоремы Какутани о неподвижной точке с приложением к ситуациям равно-
весия в смысле Нэша», в сб. «Бесконечные антагонистические игры», под ред. Н. Н. Воробьева, Гос. изд.
физ.-мат. лит-ры., М. 1963, стр. 493-503), можно доказать существование равновесия в смешанных стратеги-
ях. При этом поменяется только вторая этап доказательства теоремы.

524
525
-
то Y* меньше Y.


Доказательство:
*
(1) Поскольку выпуск yj максимизирует прибыль j-ого производителя в предположении,
*
что суммарный объем производства остальных равен Y–j, то должно выполнятся неравен-
ство
p(Y*) yj – cj(yj ) > p(Y–j + yj) yj – cj(yj).
* * *
-- -
-
С другой стороны, yj дает j-му производителю максимум прибыли в предположении, что
-
цена неизменна и равна p(Y), поэтому
-- -*
p(Y) yj – cj(yj) > p(Y) yj – cj(yj ).
*
-
Если сложить эти два неравенства, то получается
-- -
p(Y*) yj + p(Y) yj > p(Y–j + yj) yj + p(Y) yj . (*)
* * *
--
Предположим, что существует такая фирма j, которая в равновесии Курно производила
бы больше, чем в конкурентном равновесии:
*
-
yj > yj.
При убывающей функции спроса из этого неравенства следует, что
*
-
p(Y–j + yj) > p(Y*).
Поскольку yj > 0, то из этого следует, что
-
p(Y–j + yj) yj > p(Y*) yj.
*
-- -
Сложив это неравенство с неравенством (*), получим
-- -
p(Y*) yj + p(Y) yj > p(Y*) yj + p(Y) yj
* *
-
или
-
[p(Y*) – p(Y)] (yj – yj) > 0.
*
-
*
-
Поскольку мы предположили, что yj > yj, то
-
p(Y*) > p(Y).
В силу убывания функции спроса это означает, что
-
Y* < Y.
С другой стороны, пусть наше предположение неверно, и для всех фирм выполнено yj < y
*
-
-
j. Суммируя по j, получаем, что Y < Y.
*


(2) Докажем, использовав дополнительные условия, что неравенство здесь строгое. Пред-
-
положим, что это не так, и суммарные выпуски совпадают, т.е. Y* = Y.
* *
- -
Может быть только два случая: либо yj = yj для всех j = 1, ..., n, либо yj < yj для некоторо-
го j. И в том и в другом случае существует производитель j, для которого yj > 0 и yj < yj .
* *
-
Для этого производителя дифференциальная характеристика равновесия Курно имеет вид
p(Y*) + p?(Y*) yj = c?(yj ).
* *
j

Из выпуклости функции издержек следует, что

525
526
c?(yj) < c?(yj ).
*
j- j

Таким образом
-
p(Y*) + p?(Y*) yj > c?(yj) = p(Y).
*
j-

- -
С учетом того, что Y* = Y, имеем p(Y*) = p(Y), откуда
p?(Y*) yj > 0,
*


-
что противоречит условию p?(Y*) < 0. Таким образом, Y* < Y.
*

СИММЕТРИЧНОСТЬ РАВНОВЕСИЯ, ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТЬ ВЫПУСКОВ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
В частном случае, когда издержки у всех производителей одинаковы, т.е. cj(y) = c(y),
можно доказать, что в равновесии выпуски всех производителей одинаковы (равновесие
будет симметричным), и положительны. Кроме того, в предположении одинаковости из-
держек несложно доказать единственность равновесия.

Теорема 5.
* *
Предположим, что равновесие Курно (y1, ..., yn) существует и выполнены следующие
условия:
1) издержки у всех производителей одинаковы, cj(y) = c(y), j = 1, ..., n, причем предель-
ные издержки c?(y) неубывают;
2) обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c(y), дифференцируемы;
3) p(0) > c?(0);
4) p?(y) < 0 ?y > 0.
Тогда верно следующее:
(i) Равновесие симметрично:
Y*
= n ?j = 1, ..., n.
*
yj

и каждая фирма выпускает в равновесии положительное количество продукции, т.е.
*

<< Предыдущая

стр. 123
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>