<< Предыдущая

стр. 124
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

yj > 0,? j = 1, ..., n.
(ii) Если, кроме того, функция p(y)y вогнута, то равновесие единственно.


Доказательство:
(i) Покажем, что если функции издержек одинаковы, то каждый производитель в равнове-
сии Курно выпускает одинаковое количество продукции. Действительно, предположим,
* *
что существуют производители j и k, такие что yj > yk. Тогда из условий первого порядка
следует, что
p?(Y*) ( yk – yj ) < c?(yk) – c?(yj ).
* * * *


Но левая часть данного соотношения положительна, а правая — неположительна. Таким
образом, выпуски всех производителей совпадают:
Y*
yj = n ?j.
*



Суммарный выпуск отрасли, Y*, не может быть равным нулю. В противном случае из ус-
ловия первого порядка любого из участников следует, что
526
527
p(0) – c?(0) < 0,
*
а это противоречит условию теоремы. Таким образом, yj > 0,? j.
(ii) Дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае пере-
писать в виде
*
Y*
*Y
*
p(Y ) + p?(Y ) n – c?( n ) = 0,

или
Y*
n–1 1
* * * *
n p(Y ) + n [p(Y ) + p?(Y )Y ] – c?( n ) = 0.
Из вогнутости функции p(y)y следует, что ее производная p(y) + p?(y)y не возрастает.
Аналогичным образом, из выпуклости функции c(y) следует неубывание предельных из-
держек. Учитывая убывание обратной функции спроса p(y), получаем, что выражение в
левой части дифференциальной характеристики убывает. Отсюда следует единственность
объема Y*, удовлетворяющего данному уравнению. *


Нижеприведенный пример показывает, что в случае, если функции издержек олигополи-
стов не совпадают, то нельзя гарантировать симметричность равновесия и положитель-
ность выпусков; объемы выпуска в модели Курно у некоторых участников могут быть и
нулевыми.


Пример 1.
Пусть в дуопольной отрасли p(y) = 4 – 4y, c1(y1) = 2y12, c2(y2) = 2y22 + 3y1. Легко проверить,
что равновесием Курно в этом случае будет точка y1 = 1/3, y2 = 0. (


Еще один пример показывает, что условие дифференцируемости функции спроса важно
для симметричности и единственности равновесия Курно.


Пример 2.
Пусть в дуопольной отрасли
? 7 – y, y < 1,
p(y) = ? 6
?7 – 6y, y > 1
и cj(y) = y2/4, j = 1, 2. В такой отрасли помимо симметричного равновесия, (1/2, 1/2), су-
ществует бесконечно много асимметричных равновесий, в которых суммарное производ-
ство равно 1, например, (1/3, 2/3).189 (




189
Заметим, что если выполнены условия теоремы существования (Теорема 3), то при одинаковости функ-
ций издержек всегда существуeт симметричное равновесие. В силу симметричности задач олигополистов
мы имеем одинаковые отображения отклика R(y1, ..., yi-1, yi+1, yn). Предположим, что yk = ys, где k, s ? i и
рассмотрим отображение R(y, ..., y, y, y). Оно по теореме Какутани (с помощью которой доказывается тео-
рема Нэша) имеет неподвижную точку, что и доказывает существование симметричного равновесия.

527
528
ПОВЕДЕНИЕ РАВНОВЕСИЯ В МОДЕЛИ КУРНО ПРИ РОСТЕ КОЛИЧЕСТВА ФИРМ
Тот, кто изучал начальный курс микроэкономики, мог встретить неформальное утвержде-
ние о том, что если в отрасли достаточно много примерно одинаковых предприятий, так
что доля отдельного предприятия в общем выпуске отрасли мала, то каждое предприятие
можно рассматривать как не обладающего рыночной властью (принимающего цены как
данные190), и ситуация в отрасли может быть довольно точно описана моделью совершен-
ной конкуренции. Смысл утверждения состоит в том, что с ростом количества участников
олигополии отрасль в некотором смысле все более приближается к конкурентной. Дока-
жем вариант этого утверждения в частном случае, когда в модели Курно издержки у всех
производителей одинаковы, т.е. cj(y) = c(y).

Теорема 6.
* *
Предположим, что равновесие Курно, (y1, ..., yn), и равновесие при совершенной конку-
ренции, (y1, ..., -n), существуют при любом n > 2, и выполнены следующие условия:
- y
1) cj(y) = c(y), j = 1, ..., n, причем c(y) — выпуклая функция;
2) обратная функция спроса p(y) строго убывает, а функция p(y) y вогнута191;
3) обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c(y), непрерывно дифференци-
руемы при всех неотрицательных y,
4) c?(0) > 0, p(0) > c?(0) и существует величина Y° такая, что p(Y°) = c?(0).
Тогда
*
(i) суммарный выпуск в равновесии Курно c n участниками, Yn, растет с ростом n и
меньше величины Y°;
* *
(ii) выпуск отдельного участника, Yn/n, падает с ростом n, причем lim n > ? Yn/n = 0;
* *
* Yn Yn
(iii) прибыль отдельного участника, – c( n ), падает с ростом n;
p(Yn) n

-
(iv) lim n > ? Yn = lim n > ? Yn = Y°,
*


-
где Yn — суммарный выпуск тех же предприятий в условиях совершенной конкуренции.


Доказательство:
Как доказано выше, при сделанных предположениях каждый из участников в равновесии
Курно будет выпускать положительное и одинаковое количество продукции:
Y*
yj = n ?j,
*



и дифференциальную характеристику равновесия Курно можно в данном случае перепи-
сать в виде
*
Y*
*Y
*
p(Y ) + p?(Y ) n = c?( n ).

Решение этого уравнение будет единственным (по Теореме 5) равновесием Курно.
(i) Учитывая это соотношение, запишем дифференциальные характеристики равновесий
Курно в ситуации с n + 1 и n олигополистами:


190
англ. price-taker
191
Эта величина равна суммарной выручке предприятий отрасли от продажи продукции в объеме y.

528
529
* *
Yn+1 Yn+1
* *
p(Y ) + p?(Y ) n+1 = c?( n+1 ).
n+1 n+1


и
* *
Yn Yn
* *
p(Y ) + p?(Y ) n = c?( n ).
n n


Используя эти соотношения, мы можем показать, что суммарное выпуск в олигополисти-
ческой отрасли возрастает с ростом числа олигополистов.
Предположим, обратное: существует такое n, что Yn+1 < Yn. При этом из убывания обрат-
* *

ной функции спроса следует, что
*
Yn
np(Y ) > np(Y ) и 0 > p?(Y ) n .
* * *
n+1 n n


Из вогнутости функции p(y) y следует, что ее производная не возрастает, т.е.
p(Yn+1) + p?(Yn+1) Yn+1 > p(Yn) + p?(Yn) Yn.
* * * * * *


Сложив три последние неравенства, получим
* * * *
np(Yn+1) + p(Yn+1) + p?(Yn+1) Yn+1 >
*
Yn
* *
* * *
np(Y ) + p?(Y ) n + p(Yn) + p?(Yn) Yn.
n n


или
* *
Yn+1 * Yn
* * *
(n + 1)[p(Y ) + p?(Y ) n+1 ] > (n + 1)[p(Yn) + p?(Yn) n ].
n+1 n+1


Выражения в квадратных скобках представляют собой левые части условий первого по-
* *
рядка для Yn+1 и Yn соответственно, поэтому
* *
Yn+1 Yn
c?( n+1 ) > c?( n ).

Из выпуклости функции издержек следует, что предельные издержки растут, поэтому
данное неравенство может быть выполнено только если
* *
Yn+1 Yn
n+1 > n ,
но это противоречит исходному предположению о том, что Yn+1 < Yn. Таким образом, мы
* *


доказали, что последовательность объемов производства Yn возрастает по n.192
*



Чтобы доказать, что Yn < Y° достаточно доказать, что Yn < Y°, поскольку, согласно Тео-
-
*


-
*
реме 4, Yn < Yn.
Воспользовавшись дифференциальной характеристикой конкурентного равновесия, воз-
растанием предельных издержек и определением величины Y°, запишем
-
Yn
p(Yn) = c?( n ) > c?(0) = p(Y°).
-




* * *
192 M M
Величина Y1 представляет собой монопольный выпуск, т.е. Y1 = y . Из доказанного следует, что Yn > y
при всех n > 1.

529
530
-
Поскольку, по предположению, обратная функция спроса убывает, это означает, что Yn <
Y°.
*
(ii) Мы хотим доказать, что Yn/n является убывающей последовательностью.
Поскольку p(y) y — вогнутая функция, то она лежит под своей касательной. Поэтому
p(Yn+1)Yn+1 < p(Yn)Yn + [p(Yn) + p?(Yn)Yn](Yn+1 – Yn)
* * * * * * * * *


или
[p(Yn+1) – p(Yn)]Yn+1 < p?(Yn)Yn(Yn+1 – Yn).
* * * * * * *


Поскольку суммарный выпуск положителен, то это неравенство можно переписать в виде
* * *

<< Предыдущая

стр. 124
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>