<< Предыдущая

стр. 125
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

n+1 Yn+1 – Yn * Yn
[p(Yn+1) – p(Yn)] < (n+1)
* *
p?(Yn) n . (*)
*
n Yn+1
Пусть доказываемое неверно и для какого-то n выполнено
* *
Yn+1 Yn
n+1 > n ,
т.е.
* *
Yn+1 – Yn
> 1.
(n+1) *
Yn+1
*
Из (*) и последнего неравенства следует в силу того, что p?(Yn) < 0, что
*
n+1 * Yn
[p(Yn+1) – p(Yn)] < p?(Yn) n ,
* *
n
*
поскольку p?(Yn) < 0.
Так как Yn+1 > Yn, то из убывания обратной функции спроса при n > 2 следует, что
* *


n+1
* *
[p(Yn+1) – p(Yn)](n – n ) < 0.
* *
Из вогнутости функции p(y) y следует, что ее производная не возрастает, т.е. при Yn+1 > Yn
выполнено
p(Yn+1) + p?(Yn+1) Yn+1 < p(Yn) + p?(Yn) Yn.
* * * * * *


Складывая три последние неравенства, получим, что
* * * *
np(Yn+1) + p(Yn+1) + p?(Yn+1) Yn+1 <
*
Yn
* *
* * *
np(Y ) + p?(Y ) n + p(Yn) + p?(Yn) Yn.
n n


Приводя подобные и разделив на n+1, получим
* *
Yn+1 * Yn
* *
*
p(Y ) + p?(Y ) n+1 < p(Yn) + p?(Yn) n .
n+1 n+1


Учитывая дифференциальные характеристики равновесия Курно, это означает, что
* *
?Yn+1? ?Yn?
c?? n+1 ? < c?? n ?.
? ? ??
Из выпуклости функции издержек получаем требуемое
* *
Yn+1 Yn
n+1 < n .
530
531
Далее, убывание выпуска отдельного участника до нуля, т.е.
*
Yn
lim n > ? n = 0,

следует из того, что суммарный выпуск Yn ограничен сверху величиной Y°.
*

* *
(iii) Так как спрос убывает, то при Yn+1 > Yn
* * * *
p(Yn+1) Yn+1 < p(Yn) Yn+1.
Это неравенство можно переписать в виде
* * * *
* ?Yn+1 Yn?
Yn+1 * Yn
p(Y ) n+1 < p(Yn) n + p(Yn) ? n+1 – n ?.
*
? ?
n+1


С другой стороны, функция издержек, как выпуклая функция, должна лежать выше своей
касательной, поэтому
* * * * *
Yn ?Yn+1 Yn?
Yn+1 Yn
c( n+1 ) > c( n ) + c?( n ) ? n+1 – n ?.
? ?
Комбинируя два неравенства, получим, что
* * *
? Yn * ??Yn+1 Yn?
?n+1 < ?n – ?c?( n ) – p(Yn)?? n+1 – n ?,
? ?? ?
где мы обозначили через ?n прибыль отдельного участника в отрасли с n фирмами в точке
равновесия Курно:
* *
Yn Yn
?n = p(Y ) n – c( n ).
*
n


Из условий первого порядка
* *
Yn * Yn
*
c?( n ) – p(Yn) = p?(Yn) n < 0.
* *
Yn+1 Yn
Поскольку n+1 < n , то ?n+1 < ?n.

(iv) Запишем еще раз дифференциальную характеристику равновесия Курно:
* *
Yn Yn
* *
p(Y ) + p?(Y ) n = c?( n ).
n n


Здесь Yn лежит в интервале [0, Y°]. Так как производная обратной функции спроса непре-
*

рывна, то первый сомножитель во втором слагаемом — величина ограниченная, на этом
интервале она достигает своего максимального значения. Делая оценки, мы можем пер-
вый сомножитель заменить его максимальным значением. Второй сомножитель представ-
ляет собой величину, которая убывает до нуля при n > ?. Поэтому
*
Yn
p?(Y ) n = 0.193
*
lim n > ? n

*
Так как Yn/ n стремится к нулю, то в силу непрерывной дифференцируемости функции
издержек




* *
193
Т.о. мы видим, что при большом количестве олигополистов, p(Yn) ? c?(Yn/n), т.е. цена, по которой они
продают продукцию, близка к предельным издержкам.

531
532
*
Yn
c?( n ) > c?(0).

Таким образом,
p(Yn) > c?(0)
*


Вспоминая, что c?(0) = p(Y°), получим из непрерывности и убывания обратной функции
спроса, что
Yn > Y°.
*



Поскольку конкурентный объем производства, Yn, лежит между Yn и Y°, то он стремится
- *

к тому же пределу:
Yn > Y°.
-
*


Уменьшение монопольной власти при росте числа конкурентов — это довольно реалисти-
ческая, согласующаяся с нашим представлением о монопольной власти картина. Когда
производителей много, то каждый из них оказывает малое влияние на рынок, на цену, по
которой может продаваться продукция, и поэтому сама модель Курно как модель, описы-
вающая феномен несовершенной конкуренции, оказывается привлекательной.


Следующий пример иллюстрирует приведенные выше утверждения в случае линейной
функции спроса и постоянных предельных издержек.


Пример 3.
Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a – by, а функции издержек имеют вид
cj(yj) = cyj (j = 1,..,n), так что каждая фирма максимизирует
?j = (a – bY) yj – cyj.
Условия первого порядка максимума прибыли имеет вид
a – bY* – b yj = c.
Просуммировав по j, получим
na – nbY* – bY* = nc.
Таким образом, равновесный объем выпуска равен
n (a – c)
Y* = (n + 1) b.

В частности, при дуополии
2(a – c)
Y* = 3b .

Равновесная цена равна
n (a – c) a + n c b a- c
p* = a – b (n + 1) b = n + 1 = c + n + 1 b

Выпуск в случае совершенной конкуренции был бы равен


532
533
a–c
-
Y= b .

-
То есть, как и следует из теории, Y* < Y. При увеличении количества фирм в олигополии
суммарный объем производства все больше сближается с объемом при совершенной кон-
куренции:
n (a – c) a – c
lim n>? (n + 1) b = b ,

а цена стремится к предельным издержкам:
a+nc
(
lim n>? n + 1 = c.


Равновесие Курно и благосостояние
Рассмотрим олигопольную отрасль, характеристики которой удовлетворяют условиям
Теоремы 5, в том числе, все фирмы имеют одинаковые функции издержек, c(?). Как было
доказано в Теореме 5, в такой отрасли существует симметричное равновесие Курно, при-
чем объем производства положителен:
Y*
yj = n > 0 ?j.
*



Проанализируем это равновесие с точки зрения благосостояния общества.
Предположим, что спрос на продукцию олигополистов в модели Курно получается как
результат выбора репрезентативного потребителя с квазилинейной функцией полезности:
u(x, z) = v(x) + z.
Напомним, что в этом случае для положительных x выполнено соотношение (при отсут-
ствии ограничений на знак z или достаточно больших доходах потребителя)
p(x) = v?(x).
Индикатор благосостояния имеет вид
Y
W(Y) = v(Y) – n c( n ),

а ее производная равна
Y Y
W?(Y) = v?(Y) – c?( n ) = p(Y) – c?( n ).

В равновесии Курно
* *
Y Y
* *
p?(Y ) n + p(Y ) – c?( n ) = 0,

откуда видна его неоптимальность с точки зрения благосостояния:
*
Y

<< Предыдущая

стр. 125
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>