<< Предыдущая

стр. 127
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Из условий первого порядка
* * *
Yn–1 Yn–1 Yn
^ ^ ^
*
?n–1 > – n p?(Y )
^ ( – ) > 0.
^ ^
^ ^ ^
n–1
n–1 n–1 n
Таким образом мы получили, что
?n–1 > 0.
^

Пусть, как и выше, n(f) — количество фирм в отрасли при постоянных издержках f. По
определению 0 > ?n(f)+1.

536
537
Таким образом, ?n–1 > ?n(f)+1. В силу строгого убывания прибыли по числу фирм, имеем
^

^
n – 1 < n(f) + 1
или
n(f) > n – 1.
^
Это означает, что число фирм в отрасли, n(f), не может быть меньше оптимального числа
^
фирм, n, более чем на 1 фирму. Приведенный ниже пример иллюстрирует случай, когда
оптимальное с точки зрения общественного благосостояния количество фирм в отрасли
больше, чем при свободном входе для модели Курно.


Пример 4 (продолжение Примера 3).
Для рассмотренного случая, как не трудно получить, прибыль каждого олигополиста рав-
на
(a – c)2 1
?j (n)= b ? (n + 1) 2 – F.

Индикатор благосостояния в зависимости от n равен
(a – c)2 — (a – c)2
1
W(n)= 2b – nF.
2(n + 1) 2 b
a–c?
Легко проверить, что для данного примера n(F) = ? – 1, где [ ?] – оператор взятия
? bF ?
целой части. В случае если a = 28, b = 10, c = 10, F= 10 легко проверить что n(F) = 0. Для
этих значений параметров значение индикатора благосостояния при n принимающих зна-
172 56
чения от 0 до 2 равны соответственно W(0) = 0, W(1) = 80 , W(2) = – 10 . Откуда следует,
^
что n = 1 – точка локального максимума. Непосредственным рассмотрением графика
^
функции W(n) убеждаемся, что n = 1 – будет глобальным максимумом этой функции
(после n = 2 эта функция начинает убывать).
(

Задачи


1. Покажите, что в случае внутреннего равновесия
а) индекс Лернера для отдельного олигополиста,
p – c?
p,
j



прямо пропорционален его доле (?j) в суммарном выпуске и обратно пропорционален эла-
стичности спроса;
б) средневзвешенный (с весами ?j) индекс Лернера прямо пропорционален индексу Гер-
финдаля и обратно пропорционален эластичности спроса.
Индекс концентрации Герфиндаля определяется как
H = ¤?j2.
в) Докажите, что при данном количестве фирм в отрасли индекс Герфиндаля минимален в
симметричном равновесии.
537
538
г) Рассмотрите симметричные равновесия в «симметричной» отрасли с постоянной эла-
стичностью спроса. Объясните, почему средний индекс Лернера обратно пропорционален
количеству олигополистов.


2. Докажите, что в равновесии Курно прибыль любой фирмы ниже, чем в случае, когда эта
фирма является монополистом на том же рынке. (Имеется в виду нетривиальное равнове-
сие Курно, когда хотя бы одна другая фирма имеет ненулевой объем производства.)


3. Докажите существование равновесия в модели Курно, используя приведенные в тексте
указания.


4. Докажите, что если функция спроса убывает и вогнута, а функция издержек выпукла,
обе они дважды непрерывно дифференцируемы, то выполняется следующее условие (ус-
ловие Хана)
p?(Y) + p??(Y) yj < 0 и p?(Y) – c?(yj) < 0 ? j, Y, yj.
j




5. Докажите, что если обратная функция спроса убывает и вогнута, то отображение откли-
ка каждого производителя не возрастает, т.е. если Y–j < Y–j, то для любых yj ?Rj(Y–j) и yj
1 2 1 1 2


?Rj(Y–j) выполнено yj > yj .
2 1 2


Указание. Воспользуйтесь тем, что
?j(Y–j, yj ) > ?j(Y–j, yj ) и ?j(Y–j, yj ) > ?j(Y–j, yj ).
1 1 1 2 2 2 2 1


1 2
Предположите противное (yj < yj ) и используйте определение вогнутости функции.


6. Предположим, что обратная функция спроса p(y) и функция издержек cj(y) дважды не-
прерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию:
p?(Y) + p??(Y) yj < 0 и p?(Y) – c??(yj) < 0 ? j, Y, yj. (*)
j

Докажите что при этих предположениях существует единственное равновесие Курно, а
если, кроме того, функции издержек всех производителей одинаковы, это равновесие
симметрично, т.е. yj = yi ? j, i
* *


Указание. Рассмотрите функции двух переменных
Tj(Y, yj) = p(Y) + p?(Y) yj
* *
Заметим, что если (y1,..., yn) — равновесие Курно, то
Tj(Y , yj ) < 0,
* *


причем
* * *
Tj(Y , yj ) = 0, если yj > 0,

где Y = ¤ yj .
* *

j
* *
(1) Покажите, что в условиях (*) функции Tj(Y , yj ) монотонно убывают по обеим пере-
менным. Обозначим это предположение (**).


538
539
(2) Пусть существуют два равновесия Курно, такие что для суммарных объемов производ-
ства выполнено Y > Y . Докажите от противного, используя (**), что yj < yj ?j. Таким
1 2 1 2

образом, суммарный объем производства в двух равновесиях Курно должен совпадать.
Рассмотрите случай Y = Y и докажите, что yj = yj ?j.
1 2 1 2


(3) Докажите симметричность равновесия.


7. Пусть так же, как и в предыдущей задаче, выполнено предположение (**). Рассмотрите
* * *
внутренние равновесия Курно при n и n+1 участниках. Покажите, что Yn+1 > Yn и yj,n+1 <
*
yj,n.


8. Предположим, что предельные издержки у всех производителей постоянны и выполне-
но предположение (**).
Покажите, что если предельные издержки одного из производителей сокращаются при
неизменных предельных издержках других производителей, то их выпуск в равновесии
Курно сокращается, а совокупный выпуск возрастает.


9. Предположим, что выполнено условие (*), функции издержек олигополистов одинако-
вы и средние издержки не убывают. Тогда благосостояние (измеряемое величиной сово-
купного излишка) возрастает при росте числа фирм в отрасли.


10. Покажите, что если в дуополии Курно предельные издержки производителей удовле-
творяют соотношению
?(y) ?(y),
c1 > c2
то в равновесии первый производит меньше, чем второй.


11. Пусть издержки олигополистов в модели Курно постоянны cj(yj) = Cj , а обратная
функция спроса равна
p(y) = exp(–y).
Показать, что у игроков есть доминирующие стратегии, и найти их. Как будет изменяться
суммарный выпуск отрасли с увеличением числа продавцов?


12. Докажите, что если постоянные издержки олигополистов равны 0, а переменные из-
держки одинаковы, то прибыль олигополистов положительна и при росте числа олигопо-
листов стремится к 0.




539
540
Модель дуополии Штакельберга
1-й (лидер) В модели дуополии, предложенной Генрихом фон Штакельбер-
y1
гом,196 первый участник выбирает производимое количество, y1,
2-й (ведомый) и является лидером. Под этим мы подразумеваем то, что второй
y2
участник (ведомый) рассматривает объем производства, вы-
??1 = y1 p(y1 + y2) – c1(y1)? бранный первым участником, как данный. Другими словами,
??2 = y2 p(y1 + y2) – c2(y2)? второй участник сталкивается с остаточным спросом, который
получается вычитанием из исходного спроса величины y1. Ори-
?enoiie 113. Aoiiieey
ентируясь на этот остаточный спрос, второй участник выбирает
Ooaeaeuaa?aa
свой объем производства, y2 (или цену, что в данном случае
одно и то же). Лидер «просчитывает» действия ведомого, определяет, какая цена устанав-
ливается на рынке при каждом y1, и исходя из этого максимизирует свою прибыль. В ос-
тальном модель повторяет модель Курно.
Эта модель приложима, например, к ситуации, когда в новой отрасли лидирующая фирма
выбирает размер строящегося завода (мощность) и решает «работать на полную мощ-
ность». Считается, что она хорошо описывает рыночную ситуацию в случае, когда фирма-
лидер, занимает значительную долю рынка. Так или иначе, ситуации, представленные в
модели не столь и редки на реальных рынках. С точки зрения теории игр модель Шта-
кельберга представляет собой динамическую игру с совершенной информацией, в которой
лидер делает ход первым. Дерево игры изображено на Рис. 113.
S S
Выпуски (y1 , y2 ), соответствующие совершенному в подыграх равновесию этой модели
принято называть равновесием Штакельберга. Вектор выпусков не есть собственно совер-
шенное в подыграх равновесие. По определению совершенное в подыграх равновесие —
S S S
это набор стратегий, (y1 , r2 (?)), где r2 (?) — равновесная стратегия ведомого игрока. (Стра-
тегия ведомого игрока должна быть функцией r2(y1), которая сопоставляет каждому ходу
лидера некоторый отклик.)

Определение 2.
S S
Вектор выпусков (y1 , y2 ), называется равновесием Штакельберга, если существует
функция (представляющая равновесную стратегию ведомого)
r2 (?):  + &  +,
S


такая, что выполнены два условия:
S
1) Выпуск y2 = r2 (y1) максимизирует прибыль ведомого на [0, +?) при любом выпуске
лидера, y1 > 0.
S
2) Выпуск y1 является решением следующей задачи максимизации прибыли лидера:
?1 = y1 p(y1 + r2 (y1)) y1 – c1(y1) > max y > 0.
S
1

Равновесие Штакельберга находят с помощью обратной индукции. Лидер, назначая вы-
пуск, рассчитывает отклик ведомого, R2(y1). Отклик будет таким же, как в модели Курно.
Вообще говоря, отклик может быть неоднозначным. Тогда различные функции r2(y1),
удовлетворяющие условию:
r2(y1) ? R2(y1) ?y1
могут задавать различные равновесия.



<< Предыдущая

стр. 127
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>