<< Предыдущая

стр. 128
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


196
Von Stackelberg, H. Marktform und Gleichgewicht. Wien: Springer, 1934.

540
541
Мы будем далее предполагать, если не оговорено противное, что оптимальный отклик
однозначен, т.е. R2(y1) — функция197. Задача лидера в этом случае имеет вид:
?1 = y1 p(y1 + R2(y1)) y1 – c1(y1) > max y > 0. 1

S S S S S
Если решением этой задачи является y1 , и y2 = R2(y1 ), то (y1 , y2 ) — равновесие Штакель-
берга.
Дуополию Штакельберга можно представить графически (см. Рис. 114). Разницу между
равновесиями в моделях Курно и Штакельберга иллюстрирует Рисунок 115. Лидер выби-
рает точку на кривой отклика, которая бы максимизировала его прибыль. В равновесии
кривая равной прибыли лидера касается кривой отклика.
y2

yS
y2 = R2(y1)




y1


?enoiie 114


y2
yC
yS

y2 = R2(y1)



y1 = R1(y2)
y1


?enoiie 115




Существование равновесия Штакельберга
Докажем теперь теорему существования равновесия в модели Штакельберга.


Теорема 7.
Предположим, что в модели Штакельберга выполнены следующие условия:
1) функции издержек cj(y) дифференцируемы,
2) обратная функция спроса p(y) непрерывна и убывает,
3) существуют yj > 0 j = 1, 2 такие, что p(yj) < c?(yj) при yj > yj.
˜ ˜
j


Тогда равновесие Штакельберга (y1 , y2 ) существует, причем 0 < yj < -j.
S S S
y


197
Однозначность отклика можно, например, гарантировать, если выполнено условие Хана (см. сноску 187).

541
542


Доказательство.
Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказательство существования равно-
весия при монополии.
1) Докажем, что при любых ожиданиях относительно выпуска лидера ведомому не выгод-
но выбирать объем производства, превышающий объем y2, в том смысле, что ?2(y1, y2) <
˜
?2(y1, y2) ?y1 при y2 > y2. Рассмотрим разность прибылей:
˜ ˜
?2(y1, y2) – ?2(y1, y2) = p(y1 + y2) y2 – p(y1 + y2) y2 – (c2(y2) – c2(y2)).
˜ ˜˜ ˜
Эту разность можно преобразовать следующим образом:
?2(y1, y2) – ?2(y1, y2) =
˜
y2 y2

= p(y1 + y2) y2 – p(y1 + y2) y2 – ? p(y1 + t)dt + ? [p(y1 + t) – c ?(t)]dt.
˜˜ 2
˜ ˜
y2 y2


Поскольку p(y) убывает, то p(y1 + y2) < p(y1 + t) при t < y2 и p(y1 + t) < p(t) при y1 > 0, по-
этому
?2(y1, y2) – ?2(y1, y2) <
˜
y2

< p(y1 + y2) y2 – p(y1 + y2) y2 – p(y1 + y2)(y2 – y2) + ? [p(t) – c ?(t)]dt =
˜˜ ˜ 2
˜
y2

y2

= (p(y1 + y2) – p(y1 + y2)) y2 + ? [p(t) – c ?(t)]dt < 0.
˜˜ 2
˜
y2


˜
Таким образом, прибыль ведомого при y2 = y2 выше, чем при выпуске любого большего
количества. Тем самым, исходная задача выбора ведомого (при любом наперед заданном
y1 > 0) эквивалентна задаче выбора на отрезке [0, y2]. Другими словами, отображение от-
˜
клика исходной задачи совпадает с отображением отклика в задаче максимизации при-
˜
были ведомого на отрезке [0, y2]. Обозначим множество решений модифицированной за-
˜ ˜
дачи при данном y1 через R2(y1). Тем самым определено отображение отклика R2:  + & [0,
˜
y2]. Мы доказали, что R2(y1) = R2(y1) ?y1.
˜
˜
По Теореме 9 из Приложения (стр. 547) для любого y множество решений R2(y) непусто и
˜
компактно, и, кроме того, отображение R2(?) полунепрерывно сверху. (Читателю предос-
тавляется проверить самостоятельно, что эта теорема применима в данном случае.) В силу
˜
совпадения R2(?) и R2(?) теми же свойствами будет обладать и R2(?).
2) Рассмотрим теперь следующую задачу:
?1(y1, y2) = y1 p(y1 + y2) y1 – c1(y1) > max y ,y > 0. (•)
1 2



y2 ? R2(y1).
Докажем, что решение этой задачи существует.
Пользуясь теми же рассуждениями, что и для функции прибыли ведомого, можно пока-
зать, что при любом наперед заданном y2 > 0 прибыль лидера в точке y1 = y1 больше, чем
˜
˜
во всех точках y1 > y1. Таким образом, множество решений задачи (•) не изменится, если в
нее дополнительно включить ограничение y1 < y1.
˜
Таким образом, нам требуется, чтобы существовало решение задачи максимизации при-
были лидера по y1 и y2 на множестве
542
543
R = {(y1, y2) | y1 ? [0, y1], y2 ? R2(y1) ? [0, y2]}.
˜ ˜
Из доказанных свойств отображения R2(?) следует, что множество R непусто, замкнуто и
ограничено. Существование решения такой задачи следует из теоремы Вейерштрасса.
S S S
3) Пусть (y1 , y2 ) — некоторое решение задачи (•). Теперь выбрав любую функцию r2 (y1),
S S
график которой проходит через точку (y1 , y2 ), и такую что
r2 (y1)?R2(y1) ?y1,
S

S
увидим, что выпуск y1 является решением задачи лидера
?1 = y1 p(y1 + r2 (y1)) y1 – c1(y1) > max y > 0.
S
1



Действительно, этот выпуск максимизирует цели лидера на всем допустимом множестве
задачи (•), а значит — и на множестве, суженном дополнительным ограничением y2 ? r2
S


(y1). Тем самым пара y1 , r2 (?) удовлетворяет определению равновесия Штакельберга. *
S S




Равновесие Штакельберга и равновесие Курно
Представляется интересным сравнить объемы производства в модели Курно и в модели
Штакельберга. Результат сравнения для ведомого однозначен: в модели Штакельберга он
производит меньше. Покажем это.
C C
Пусть y1 и y2 — объемы производства в модели Курно.
Лидер в модели Штакельберга в предположении однозначности отклика ведомого всегда
C
может обеспечить себе такую же прибыль, как в модели Курно, назначив y1 = y1 , поэтому
p(y1 + y2 ) y1 – c1(y1 ) < p(y1 + y2 ) y1 – c1(y1 ).198
C C C C S S S S


C C
Поскольку y1 максимизирует прибыль лидера при y2 = y2 , то
p(y1 + y2 ) y1 – c1(y1 ) < p(y1 + y2 ) y1 – c1(y1 ).
S C S S C C C C


S
Если y1 > 0, то из этих двух неравенств следует, что
p(y1 + y2 ) < p(y1 + y2 ).
S C S S


Из убывания спроса имеем, что
y2 > y2 .
C S


Результат сравнения между объемами производства лидера в двух ситуациях зависит от
наклона кривой отклика. В случае, если R2(?) убывает (на достаточно большом интервале,
C S
который должен заведомо включать, как y2 так и y2 ), имеем
y1 < y1 .
C S


Если же R2(?) возрастает, то, наоборот,




S C
198
Данное неравенство получено как сравнение прибылей лидера при выборе им объемов выпуска y1 и y1 .
S S C C
Отметим, что при этом оптимальным откликом ведомого на y1 будет y2 , а на y1 – y2 .

543
544
y2
y2 = R2(y1)




y1


?enoiie 116
y1 > y1 .
C S


Функция R2(?) убывает, например, в случае линейного спроса и постоянных предельных
издержек. Пример возрастающей функции отклика построить достаточно трудно. На Рис.
116 показана кривая отклика, соответствующая обратной функции спроса p(y) = 1/y2 при
постоянных предельных издержках. При малых объемах производства лидера она возрас-
тает, а при больших — убывает. Для более общего случая рассмотрим теорему.

Теорема 8.
Предположим, что выполнены следующие условия:
1) обратная функция спроса, p(y), и функция издержек, c2(y), дважды дифференцируемы,
2) обратная функция спроса имеет отрицательную производную: p?(y) < 0, ?y > 0,
3) p?(y1 + y2) – c?(y2) < 0 при любых y1 и y2,
2

4) отклик R2(y1) является дифференцируемой функцией.199
Тогда в тех точках y1, где R2(y1) > 0, наклон функции отклика R2(y1), удовлетворяет ус-
ловию
?(y
– 1 < R2 1) ,
то есть суммарный выпуск R2(y1) + y1, возрастает.
Дополнительное условие200
p?(y1 + y2) + p?(y1 + y2) y2 < 0 ?y1, y1
?(y
является необходимым и достаточным для того, чтобы R2 1) < 0.

<< Предыдущая

стр. 128
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>