<< Предыдущая

стр. 129
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



Доказательство.
При принятых предположениях докажем, что суммарный выпуск дуополии, y1 + R2(y1),
возрастает по y1. Функция R2(y1) при всех y1 таких, что R2(y1) > 0 удовлетворяет условию
первого порядка — равенству
?(R
p(y1 + R2(y1)) + p?(y1 + R2(y1))?R2(y1) = c2 2(y1)).
Дифференцируя это соотношение по y1, получим
?(y ?(y
p?(y1 + R2(y1))?(1 + R2 1)) + p?(y1 + R2(y1))R2(y1)?(1 + R2 1)) +
+ p?(y1 + R2(y1))?R2 1) = c?(R2(y1))?R2 1).
?(y ?(y
2

Отсюда

199
Однозначность и дифференцируемость отклика рассмотрены в Приложении.
200
Это условие, в частности, следует из строгой выпуклости функции потребительского излишка. Напом-
ним, что это одно упоминавшихся ранее условий Хана.

544
545
(1 + R2 1))?[2p?(y1 + R2(y1)) + p?(y1 + R2(y1))R2(y1) – c?(R2(y1))] =
?(y 2

= p?(y1 + R2(y1)) – c?(R2(y1)).
2

По условию второго порядка
2p?(y1 + R2(y1)) + p?(y1 + R2(y1))?R2(y1) – c2?(R2(y1)) < 0.
С другой стороны, по предположению
p?(y1 + R2(y1)) – c?(R2(y1)) < 0.
2

Это гарантирует, что
2p?(y1 + R2(y1)) + p?(y1 + R2(y1))?R2(y1) – c2?(R2(y1)) ? 0
Получаем, что
?(y
1 + R2 1) =
p?(y1 + R2(y1)) – c?(R2(y1))
, (*)
2
=
2p?(y1 + R2(y1)) + p?(y1 + R2(y1))?R2(y1) – c2?(R2(y1))
?(y
откуда 1 + R2 1) > 0 или R?2(y1) > –1 .
Докажем теперь неубывание функции отклика R2(y1). Условие (*) можно переписать в
виде
p?(y1 + R2(y1)) + p?(y1 + R2(y1))?R2(y1)
?(y
R2 1) = – .
2p?(y1 + R2(y1)) + p?(y1 + R2(y1))?R2(y1) – c2?(R2(y1))
y2

yC

yS y2 = R2(y1)




y1
45°


?enoiie 117
?(y
В этой дроби знаменатель отрицателен, поэтому условие R2 1) < 0 эквивалентно отрица-
тельности числителя, что и требовалось. *


Пользуясь полученным ранее результатом, получим, что если R2(?) убывает, то
y1 + y2 < y1 + y2 ,
C C S S


а если возрастает, то
y1 + y2 > y1 + y2 .
C C S S


В первом случае равновесная цена в равновесии Штакельберга не превышает равновес-
ную цену в равновесии Курно, во втором — наоборот.
Иллюстрация полученных соотношений для случая убывающей кривой отклика представ-
лена на Рис. 117. Из рисунка видно, что поскольку точка равновесия в модели Штакель-
берга лежит ниже кривой равной прибыли, проходящей через точка равновесия в модели
C S C
Курно, то объем y2 должен быть выше y2 . Из-за убывания функции отклика объем y1 ока-

545
546
S
зывается ниже y1 . Штрих-пунктирная линия, проходящая под углом 45° показывает рас-
положение точек, в которых суммарный выпуск одинаков. Поскольку кривая отклика бо-
C C S S
лее пологая, то y1 + y2 оказывается меньше y1 + y2 .
Можно сравнить также прибыли участников в двух ситуациях. Как уже упоминалось ра-
нее, по очевидным причинам прибыль лидера в модели Штакельберга выше. Читателю
предлагается доказать самостоятельно простой факт, что прибыль ведомого в модели
Штакельберга выше в случае возрастающей функции отклика, и ниже в случае убываю-
щей функции отклика.


Пример 5.
Пусть обратная функция спроса линейна: p(y) = a – by, а функции издержек дуополистов
имеют вид cj(yj) = cyj (j = 1,2). Функция отклика второго равна
a – c – by1
2b .
R2(y1) =

Подставив ее в прибыль лидера, получим
a–c b
?1 = 2 y1 – 2 (y1)2.

Максимум достигается при
a–c
S
y1 = 2b .

Кроме того, в равновесии
a–c
S
y2 = 4b .

Суммарный выпуск равен
3 a–c
S S
y1 + y2 = 4 b

Это больше, чем выпуск в модели Курно, но меньше, чем выпуск при совершенной кон-
куренции, то есть имеется неоптимальность. (

Приложение


Рассмотрим параметрическую задачу условной максимизации:
f (x, y) > max y
y ? ?(x), (?)
где x ? S ?   , ?(x) ?   .
m n


Обозначим через m(x) значение целевой функции в максимуме:
m(x) = max{f(x, y) | y ? ?(x)},
а через r(x) — множество оптимальных решений при параметрах x:
r(x) = {y ? ?(x) | f(x, y) = m(x)}.




546
547
Относительно решений этой задачи верна следующая теорема:201

Теорема 9.
Пусть отображение ?(x) компактнозначно и непрерывно, а f(x, y) — непрерывная
функция. Тогда
а) функция m(x) непрерывна;
б) для любого x ? S множество r(x) не пусто и компактно, причем r(?) полунепрерывно
сверху.


Условия существования и дифференцируемости функции отклика могут быть получены
на основе следующей теоремы.


Теорема 10.
Рассмотрим задачу (?) с постоянным отображением ?(x) = ?. Предположим, что сущест-
вует пара (x, y), такая что y ? r(x) и y ? int(?). Предположим, кроме того, что функция
-- - - -
f(x, y) дважды непрерывно дифференцируема и строго вогнута по y в некоторой окре-
стности точки (x, y), и |?2 f(x, y)| ? 0. Тогда решение задачи (?) существует и единст-
-- --
yy
-
венно при любых x из некоторой окрестности точки x, причем функция r(x) непрерыв-
но дифференцируема в этой окрестности.


Доказательство.
- - --
По условию y — внутренняя точка в задаче (?) при x = x. Это означает, что пара (x, y)
удовлетворяет условиям первого порядка:
?yf(x, y) = 0.
--
Условия теоремы гарантируют выполнение всех предположений теоремы о неявной
функции относительно соотношения
?yf(x, y) = 0
и поэтому существует удовлетворяющая этому соотношению функция y = -(x), опреде-
r
-
ленная в некоторой окрестности точки x и непрерывно дифференцируемая в этой окрест-
ности. Из непрерывности -(x) следует, что существует окрестность точки x, в которой
-
r
-(x) ? ?.
r
Поскольку -(x) удовлетворяет условиям первого порядка и функция f(x, y) строго вогну-
r
та по y, то -(x) является единственным решением задачи (?) при данном x. *
r

Задачи
13. Две фирмы, конкурируя на рынке, выбирают объемы производства. Известно, что для
этих фирм равновесный объем производства в модели Курно совпадает с равновесным
объемом производства в модели Штакельберга. Каков наклон кривых отклика в этой об-
щей точке равновесия? Пояснить графически с использованием кривых отклика и кривых
равной прибыли.



201
См. В. Гильденбранд, «Ядро и равновесие в большой экономике». — М.: Наука, 1986, с. 31.

547
548
14. Рассмотрим отрасль с двумя фирмами. Пусть обратная функция спроса имеет вид
1
p(Y) = Y ,

и обе фирмы имеют постоянные предельные издержки cj (0 < cj < 1). При каких условиях
равновесие в модели Штакельберга совпадает с равновесием в модели Курно? Изобразите
эту ситуацию на диаграмме (в том числе поведение функций отклика).


15. Двое олигополистов имеют постоянные одинаковые предельные издержки равные 2.
Предполагается, что они конкурируют как в модели Штакельберга. Спрос в отрасли задан
обратной функцией спроса P(Y) = 16 – 0.5Y. Сколько суммарной прибыли они бы выиг-
рали, если бы сумели объединиться в картель?


16. Рассмотрим дуополию, в которой у 1-й фирмы предельные издержки нулевые, а функ-
ция издержек 2-й фирмы равна
c2(y) = ? y2,
где ? > 0 — параметр. Обратная функция спроса в отрасли равна
P(Y) = 1 – Y.
Покажите, что при ? > ? равновесие Курно сходится к равновесию Штакельберга в том
смысле, что
S S
y1 (?) y2 (?)
> 1, > 1.
C C
y1 (?) y2 (?)


17. Докажите Теорему 7 (стр. 541), воспользовавшись указаниями, приведенными в тек-
сте.


18. Докажите, что прибыль ведомого в модели Штакельберга при прочих равных условиях
выше, чем в модели Курно, в случае возрастающей функции отклика и ниже в случае
убывающей функции отклика.


19. Два олигополиста продают свою продукцию на рынках близких благ, выбирая объемы
производства. Их обратные функции спроса равны p1 = 2 – y1 + y2 и p2 = 3 – y2 + y1, а пре-
дельные издержки равны 1 и 2 соответственно. Найти равновесие при одновременном и
при последовательном выборе объемов производства.



Картель и сговор
В этом параграфе мы сравним результаты некооперативного поведения фирм в отрасли в
соответствии с моделью Курно с результатами кооперативного поведения. Как известно,
если количество фирм в отрасли мало, то они могут заключить между собой соглашение с
целью ослабления конкуренции и увеличения прибыли. Мы начнем с анализа, который
показывает, что у фирм, конкурирующих по Курно, есть потенциал для взаимовыгодного

<< Предыдущая

стр. 129
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>