<< Предыдущая

стр. 13
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

спрос, порожденный однородной функцией полезности.
Пример 7.
K
Пусть множество допустимых альтернатив X= + и предпочтения потребителя предста-
вимы функцией полезности u:  + >  положительно однородной первой степени. Пусть
K


x(p, R) и x(p, 1) – отображения спроса при ценах p и доходах R и 1 соответственно. По-
^
кажем, что x(p, R)=Rx(p, 1), то есть спрос однороден первой степени по доходу. Пусть x
?x(p, R) а x?x(p, 1). Для данных потребительских наборов справедливо, что Rx?B(p,
- -
^
x
R) и R?B(p, 1). В силу того, что x – спрос при ценах p и доходе R имеем, что u(x)>u(Rx
^ ^ -
^
x1
- - -
)=Ru(x). Аналогично, так как x – спрос при ценах p и доходе 1 имеем, что u(x)>u(R)=R
^
u(x). Объединяя эти неравенства, получаем:



35
Подробнее о непрерывности в задачах оптимизации смотри В. Гильденбранд, Ядро и равновесие в боль-
шой экономике, М.: Наука, 1986 (стр. 23-35).
36
Иными словами, мы имеем функцию спроса, а не отображение.

58
59

1
^ - ^ ^
u(x)>Ru(x)>R(R u(x))=u(x).

^ - - -
Таким образом, u(x)=Ru(x). Набор Rx допустим при ценах p и доходе R, но u(Rx) =
Ru(x)=u(x), где x?x(p, R). Таким образом, получили Rx(p, 1) ? x(p, R). Обратное
- ^ ^
включение показывается аналогично. Тем самым показано, что для случая положительно
однородной функции полезности кривые Энгеля представляют собой конусы выходящие
из начала координат. В случае же функции спроса кривые Энгеля являются лучами.
?
Помимо вышеперечисленных, одним из наиболее важных свойств функции спроса, ис-
пользуемых при изучении влияния изменения цен на потребительский выбор является
свойство называемое законом спроса37 при компенсированном изменении дохода по Слуцкому.

Теорема 15. (Закон спроса при компенсированном изменении дохода по
Слуцкому)
Пусть выполнены все условия теоремы 14 и, кроме того, система предпочтений обладает
свойством локальной ненасыщаемости. Тогда для любых x?x(p, R) и x??x(p?, R?), где
R? = p?x справедливо свойство
(p? – p)(x? – x) < 0,
причем это неравенство строгое, если x?? B(p, R).


Доказательство:
Рассмотрим выражение (p? – p)(x? – x). Раскрыв скобки, и воспользовавшись тем фактом,
что при выполнении свойства локальной ненасыщаемости бюджетное ограничение выхо-
дит на равенство и определением R?, получим:
(p? – p)(x? – x) = p?x?– p?x – px? + px = px – px? = R – px?.
В силу того, что R? = p?x имеем, что x?B(p?, R?). Пусть x??B(p, R), тогда по свойству 6
теоремы 14 имеем, что x?? x(p, R). Откуда в силу свойства локальной ненасыщаемости
предпочтений получаем: R = px?, а значит (p? – p)(x? – x) = 0. Пусть x??B(p, R), тогда
px? > R, что означает (p? – p)(x? – x) < 0.
*
Данное свойство тесно связано с желаемым свойством спроса – спрос на i-ый товар убы-
вает при росте своей цены. Действительно, пусть цена i-ого товара выросла, тогда приве-
денное выше неравенство означает, что спрос на i-ый товар не может вырасти. Но, данное
свойство выполняется только при условии компенсированного изменения дохода, т.е. при
условии, что доход изменился таким образом, чтобы компенсировать рост цены и позво-
лить потребителю покупать прежний потребительский набор. Тем не менее, оно доста-
точно информативно и может служить полезным инструментом анализа, как показывает,
например, следующий пример.
Пример 8.
Рассмотрим экономику с двумя благами. В первый момент времени вектор цен был равен
p0=(1, 1), а доход потребителя R0=8. Во второй момент времени цены изменились и стали
равны p1= (1, 2), а доход стал равен R1=12. Спрос потребителя в первый момент времени


37
В русской традиции закон спроса иногда называют свойством монотонности спроса.

59
60

был равен x0=(6, 2). Известно, что данный спрос порожден монотонной положительно
однородной первой степени функцией полезности. Попробуем найти все возможные зна-
чения, которые может принимать спрос во второй период. В данном примере у нас изме-
нились сразу два параметра: цена второго блага и доход потребителя. Разложим это изме-
нение на два последовательных: 1) изменение цены при компенсированном доходе; 2)
изменение дохода. Компенсированный доход, отвечающий изменению цен от (1, 1) до (1,
2) равен 10 (1? 6+2?2). В силу закона спроса при компенсированном изменении дохода и в
˜˜˜
силу локальной ненасыщаемости предпочтений спрос x=(x1, x2) потребителя при таком
изменении должен удовлетворять двум условиям:
1) x1+ 2x2 = 10; 2) (1 - 1)(x1 - 6) + (2 - 1)(x2 - 2) = x2 – 2 < 0,
˜ ˜ ˜ ˜ ˜
или 1) x1+ 2x2 = 10; 2) x2 < 2.
˜ ˜ ˜
Теперь можно воспользоваться свойством отображения спроса для однородной функции
полезности установленным нами в Примере 7. Точнее, мы установили, что в случае если
доход потребителя увеличивается в ? раз, то и спрос в этом случае также увеличится в ?
раз. С учетом этого свойства получаем, что спрос во второй период подчинен следующим
ограничениям: 1) x1+ 2x2 = 12; 2) x2 < 2,4.
˜ ˜ ˜
Приведенные рассуждения проиллюстрированы на Рисунке 9.




?enoiie 9 Ioaiea ni?ina i?e eciaiaiee oai e aioiaa a neo?aa iaii?iaiie
ooieoee iieaciinoe.
?
Выше мы разобрали основные свойства маршаллианского спроса. Теперь остановимся на
вопросе непосредственного нахождения этой характеристики поведения потребителя при
заданных предпочтениях (функции полезности). Техника нахождения спроса потребителя
в значительной степени опирается на теорему Куна-Таккера для задачи выпуклого про-
граммирования.
Рассмотрим следующую задачу:
f(x)>maxx
g(x)>0; x?X? n,
где f, gi – скалярные функции, заданные на непустом множестве X в  n. Введя множители
Лагранжа ?i (i=1,…, m), построим функцию


60
61
m
L(x, ?) = f(x)+¤ ?i gi(x),
i=1

называемую лагранжианом данной задачи максимизации. Для этой задачи справедливо
следующее утверждение:

Теорема Куна-Таккера для вогнутых функций (Достаточное условие опти-
мальности)
Пусть f(x) дифференцируемая вогнутая функция от n-мерного вектора x, а g(x) диффе-
ренцируемая вогнутая вектор-функция, обе определенные при x>0. Пусть нашлись та-
^
кие вектора x и ?, что выполнены следующие условия Куна-Таккера:
1) ?f(x)+??g(x) < 0;
^ ^
^ ^ ^
2) x (?f(x)+??g(x)) = 0;
^
3) ?g(x) = 0;
4) ? > 0.
^
Тогда x – оптимальное решение рассматриваемой задачи.


Приведенный вариант теоремы Куна-Таккера является широко распространенным и
включен в стандартные курсы по оптимизации. К сожалению, предположения сделанные
нами ранее не позволяют в полной мере опираться на эти результаты. Во-первых, данный
вариант теоремы опирается на дифференцируемость целевой функции. Допуская некото-
рую нестрогость, мы часто будем предполагать выполнение этого свойства, никак это не
обсуждая и обосновывая. Заинтересованный читатель сможет найти его вывод из исход-
ных свойств предпочтений в работе Жерара Дебре – G. Debreu, Smooth preferences,
Econometrica, 1972, Vol. 40 и Smooth preferences. A corrigendum, Econometrica, 1976, Vol.
44.38 Во-вторых, мы можем говорить лишь о квазивогнутости функции полезности, но
никак не о вогнутости. Конечно, в случае, когда существует монотонно возрастающее
преобразование исходной квазивогнутой функции полезности, переводящее ее в эквива-
лентную (с точки зрения предпочтений) вогнутую, мы можем воспользоваться приведен-
ным вариантом теоремы. Однако, как было отмечено при обсуждении квазивогнутости,
существуют квазивогнутые функции, которые не могут быть преобразованы в вогнутые, и
применение изложенного варианта кажется недопустимым. Действительно, механическая
замена условий вогнутости на более слабые условия квазивогнутости делают утверждение
теоремы неверным. Для того, чтобы понять это, достаточно рассмотреть простой пример
f(x)= x2, g1(x) = 1–x, g2(x) = x, X= . Тем не менее, некоторый вариант теоремы Куна-
K
Таккера справедлив и в случае квазивогнутых функций. Приведем его для случая X=R+ .
Более общая версия теоремы для случая, когда X некоторое подмножество RK, можно
найти в цитированной выше статье Кеннета Эрроу и Алена Энтховена “Квазивогнутое
программирование” (Econometrica, V. 29(4), 779-800).

Теорема Куна-Таккера для квазивогнутых функций (Достаточное условие
оптимальности)
Пусть f(x) дифференцируемая квазивогнутая функция от n-мерного вектора x, а g(x)
^
дифференцируемая квазивогнутая вектор-функция, обе определенные при x>0. Пусть x
и ? удовлетворяют условиям Куна-Таккера


38
Идейно, данное свойство функции полезности получается в предположениях достаточной гладкости по-
верхности безразличия, получаемой на основании наших предпочтений.

61
62

1) ?f(x)+??g(x) < 0;
^ ^
^ ^ ^
2) x (?f(x)+??g(x)) = 0;
^
3) ?g(x) = 0;
4) ? > 0
и выполнено одно из следующих условий:
1) ?fi(x)< 0, по крайней мере, для одной переменной xi;
^
2) ?fi(x) > 0, для некоторой переменной xi, такой, что в допустимом множестве, зада-
^
ваемом ограничениями задачи, существует точка x*, в которой x*i > 0;
3) ?f(x) ? 0 и f(x) – дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки x;
^ ^
4) f(x) – вогнутая функция.
^
Тогда x максимизирует f(x) при ограничениях g(x)>0, x>0.


Если, кроме того, при некотором x* > 0 справедливо g(x*) > 0, и для каждого j выполнено
одно из условий: либо 1) gj(x) вогнута; либо 2) для каждого x>0 верно ?gj(x) ? 0, то
условия Куна-Таккера являются необходимыми и достаточными.
Применим теперь эту теорему к рассматриваемой нами задаче потребителя в случае, когда
X =  + . Рассмотрим вначале несколько вариантов условий на предпочтения, гарантирую-
K

щих то, что условия Куна-Таккера определяют решение задачи потребителя. Одним из
наиболее простых вариантов состоит в том, чтобы предположить условие 3, то есть нера-
венство градиента нулю и дважды непрерывную дифференцируемость функции полезно-
сти. Но мы рассмотрим также другой комплекс условий, который будет востребован нами
в дальнейших рассуждениях.

Определение 15.
Квазивогнутая функция u(x) называется сильно квазивогнутой, если для каждого x из
области определения zH(x)z?< 0 для каждого z такого, что z?u(x) = 0 и z?0, где
H(.)– матрица вторых частных производных.


Предположим, что предпочтения агента представимы дважды непрерывно дифференци-
руемой сильно квазивогнутой, локально ненасыщаемой функцией полезности.
^
Пусть нашлись некоторые x и ?, которые удовлетворяют условиям Куна-Таккера:
1) ?u(x) – ?p<0;
^
^ ^
2) (?u(x)–?p)x = 0;
3) ?(R –¤pkxk) = 0;
^

4) ? > 0.
Покажем, что при сделанных предположениях найдется такое благо i что ? u i(x) > 0.
^
Рассмотрим вначале случай, когда найденное значение ? > 0. Тогда в силу 3) имеем ¤ pkx
^

k= R . Откуда, используя 2), и тот факт, что R > 0 имеем ?u(x)x> 0. Последнее влечет
^^
?ui(x) > 0 для некоторой переменной xi, такой, что в допустимом множестве существует
^
точка x*, в которой x*i > 0 (существование такой точки очевидно в силу положительности
цен и дохода).

62
63

Пусть теперь ? = 0. Тогда ?u(x)x = 0. В силу квазивогнутости для любого числа 0<?<1 и
^^
любого потребительского набора x**, такого, что u(x**) > u(x), справедливо: u(x + ?(x**–
^ ^
^ ^ ^
x))>min{ u(x), u(x**)} = u(x). Или
u(x + ?(x**–x)) – u(x)
^ ^ ^
>0.

<< Предыдущая

стр. 13
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>