<< Предыдущая

стр. 130
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

соглашения, а затем перейдем рассмотрению двух вариантов таких соглашений.


548
549
Неоптимальность равновесия Курно с точки зрения олигополистов
В равновесии Курно объем производства с точки зрения олигополистов неоптимален.
Другими словами, если любая из фирм (немного) снизит свой выпуск, то общая прибыль
вырастет. Этого уже достаточно, чтобы показать неоптимальность, ведь прирост прибыли
можно перераспределить между олигополистами так, чтобы в конечном счете ни у кого из
них прибыль бы не уменьшилась. Можно, однако, доказать более сильный факт: если по
крайней мере два олигополиста уменьшат свой объем производства (на достаточно малую
величину), то прибыль у всех олигополистов вырастет. Т.е. в данном случае не нужно ни-
какого перераспределения прибыли, чтобы улучшить положение всех производителей.
Предположим, что объемы производства изменились на dyj < 0, причем хотя бы для двух
участников неравенство здесь строгое. Как при этом изменится прибыль j-го участника?
Напомним, что прибыль j-го участника равна
n
?j(yj) = p(¤yi) ? yj – cj(yj).
i=1

Беря полный дифференциал в точке равновесия Курно, получим
n n n
d?j = p?(¤y ) ? y ? (¤dyi) + p(¤yi ) ? dyj – c?(yj )? dyj =
* * * *
i j j
i=1 i=1 i=1
n n n
= p?(¤y ) ? y ? (¤dyi) + (p?(¤y ) ? y + p(¤yi ) – c?(yj )) ? dyj.
* * * * * *
i j i j
j
i=1 i=1 i=1
i?j

Из условия первого порядка следует, что второе слагаемое равно нулю. Поскольку по
крайней мере два олигополиста уменьшили свой объем производства, то ¤dyi < 0. При
i?j
естественных предположениях, что функция спроса строго убывает и у всех монополи-
стов объемы производства в равновесии Курно положительны, получим, что d?j > 0.202
Проиллюстрировать ситуацию и показать, что олигополия Курно выпускает больше оп-
тимального количества продукции (с точки зрения ее участников) для случая дуополии
можно графически (Рис. 118). Поскольку, в любой точке любой кривой отклика касатель-
ная к кривой равной прибыли параллельны осям, то в точке равновесия Курно касатель-
ные к кривым равной прибыли перпендикулярны друг другу, и поэтому возможен сдвиг,
который увеличивает прибыль обоих олигополистов (на рисунке показан стрелкой).

Сговор
Рассматривая возможности соглашений между олигополистами относительно объемов
выпуска (квот на производство продукции) будем различать два случая — картель и сго-
вор.




202
Заметим, что поскольку дифференциалы прибыли всех участников отрицательны, то прибыль возрастает
при достаточно небольшом (конечном) сокращении выпусков. Поэтому приведенное доказательство утвер-
ждения можно легко обобщить на случай конечных сокращений выпусков.

549
550
y2
y1 = R1(y2)




y2 = R2(y1)



y1


?enoiie 118
Если допустимо перераспределение прибыли между олигополистами, то им выгодно вы-
бирать объемы производства, максимизирующие суммарную прибыль. Мы будем назы-
вать такое объединение картелем. 203
Напротив, если такое перераспределение по каким-то причинам неосуществимо, то будем
называть такой тип соглашений сговором о квотах выпуска.
Сначала мы рассмотрим модель сговора. Определим возможную точку сговора как точку
y1, ..., yn > 0, которая удовлетворяет двум условиям:
` `
1) Каждый участник в точке сговора получает прибыль не меньшую, чем его прибыль в
равновесии Курно:
?j(y1, ..., yn) > ?j(y1, ..., yn), ?j.
* *
` `
2) точка сговора является эффективной (лежит на границе Парето204 игры без перераспре-
деления прибыли), то есть не существует другой точки y1, ..., yn > 0, дающей всем не
меньшую прибыль, а по крайней мере одной из фирм — большую.
Как правило, таких точек может быть много (см. отрезок AB на Рис. 119). Назовем соот-
ветствующее множество переговорным множеством. Какая именно точка будет выбрана,
зависит от процедуры переговоров и переговорной силы участников. Процедуру перего-
воров (торг) можно представлять как некоторую некооперативную игру, но эта игра оста-
ется за рамками модели.
Заметим также, что поскольку, вообще говоря, равновесий Курно может быть несколько,
то переговорное множество зависит от того, какое из равновесий Курно участники счита-
ют за исходную точку (точку угрозы).




203
В терминах кооперативной теории игр картель является точкой ядра в игре с трансферабельностью выиг-
рышей. Имеется в виду ядро только с точки зрения целевых функций олигополистов.
204
Имеется в виду Парето-граница олигополии, но не экономики в целом.

550
551
y2




переговорное
множество

B

A

y1



?enoiie 119
Как правило, сговор состоит в том, что участники договариваются о квотах выпуска для
того, чтобы уменьшить суммарный выпуск и поднять рыночную цену. На Рис. 119 видно,
что суммарный выпуск во всех точках переговорного множества ниже, чем в равновесии
* *
Курно: если через точку равновесия Курно провести прямую y1 + y2 = y1 + y2, то перего-
ворное множество будет лежать ниже этой прямой. Следующее утверждение формализует
эту идею.

Теорема 11.
`
Пусть при сговоре все фирмы производят продукцию в положительных количествах: yj >
0 ?j, и обратная функция спроса убывает. Тогда суммарный выпуск при сговоре не пре-
вышает суммарный выпуск в соответствующем равновесии Курно:
`
Y<Y ,
*


а равновесная цена при сговоре не меньше цены в соответствующем равновесии Курно:
`
p(Y) > p(Y ).
*




Доказательство.
По определению сговора, прибыль каждого участника не ниже, чем в равновесии Курно:
``
p(Y) yj – cj(yj) > p(Y ) yj – cj(yj )
* * *
`
*
С другой стороны, при выборе yj = yj участник j должен получить не меньшую прибыль,
`
чем при выборе yj = yj, если суммарный выпуск остальных такой же, как в равновесии
*
Курно (Y–j):
p(Y ) yj – cj(yj ) > p(Y–j + y) yj – cj(yj).
* * * *
`` `
Суммируя эти неравенства, получим
``
p(Y) yj > p(Y–j + y) yj.
*
``
`
Мы предположили, что yj > 0, поэтому
`
p(Y) > p(Y–j + y).
*
`
`
Из убывания функции спроса Y–j < Y–j. Это неравенство верно для всех j. Суммируя эти
*


`
Y<Y.*
*
неравенства и деля на n – 1, получаем


551
552
Дифференциальная характеристика точки сговора может быть получена из задачи поиска
Парето-оптимума без перераспределения прибыли.205 Точка y1, ..., yn > 0 Парето-
` `
оптимальна, если для любого j она является решением задачи
?j(y1, ..., yn) > max
?i(y1, ..., yn) > ?i(y1, ..., yn), i ? j.
` `
y1, ..., yn > 0.
По теореме Куна-Таккера206 для внутреннего решения y1, ..., yn > 0 существуют множители
` `
Лагранжа ?1, ..., ?n > 0, где ?j > 0, такие что выполнены условия первого порядка:
??i
n
¤?i (y , ..., yn) = 0 ?k.
` `
?yk 1
i=1

В случае двух фирм эта дифференциальная характеристика означает, что кривые равной
прибыли касаются друг друга (см. Рис. 119). Дифференциальную характеристику можно
переписать в виде:
n
` `
p?(Y)?¤?i yi + ?k [p(Y) – ck ` k)] = 0 ?k.
?(y
`
i=1

Поскольку ?j > 0, то из p?(y) < 0 следует, что первое слагаемое не равно нулю, и что все
множители Лагранжа положительны.
Пользуясь этими соотношениями, докажем, что сговор неустойчив, если нет каких-то ме-
ханизмов, принуждающих к выполнению соглашений. Конкретнее, подразумевается, что
если в точке сговора любая фирма немного увеличит свой выпуск, то ее прибыль возрас-
тет.

Теорема 12.
Пусть
`
1) при сговоре все фирмы производят продукцию в положительных количествах: yj > 0
?j,
`
2) обратная функция спроса убывает и дифференцируема, причем p?(Y) < 0;
3) функции издержек дифференцируемы,
4) функции прибыли вогнуты.
Тогда в точке сговора
??k
(y , ..., yn) > 0 ?k.
` `
?yk 1


Доказательство.
Пользуясь дифференциальной характеристикой внутренней точки сговора и положитель-
ностью всех множителей Лагранжа, получим


205
Условие, что каждый участник получает прибыль не меньшую, чем в равновесии Курно здесь не учиты-
вается.
206
`
Если функции прибыли вогнуты, и выпуск yj > 0 то возможно уменьшить его, увеличив тем самым при-
быль прочих участников. Это означает, что выполнено условие Слейтера и теорема Куна-Таккера примени-
ма.

552
553
??k ??
`
(y1, ..., yn) = – ¤?i i(y1, ..., yn) = – p?(Y)?¤?i yi > 0 ?k.
?k ` ` ` ` `
?yk ?yk
i?k i?k

*

<< Предыдущая

стр. 130
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>