<< Предыдущая

стр. 131
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Картель
Рассмотрим теперь модель картеля. Поскольку фирмы могут перераспределять прибыль и
целевые функции олигополистов квазилинейны по деньгам, то максимум суммарной при-
были есть Парето-оптимум олигополии. Фактически, картель действует как монополия,
однако, следует несколько изменить модель, по сравнению со случаем обычной монопо-
лии, поскольку у каждой из входящих в картель фирм своя функция издержек. Суммарная
прибыль равна
n n
¤?j = p(Y) Y– ¤cj(yj),
j=1 j=1

где Y= y1 + ... + yn — суммарный объем производства. Продифференцировав по выпускам
всех фирм, получим дифференциальную характеристику равновесия картеля:
p(Y ) + p?(Y )Y < c?(y j),
K K K K

j

p(Y ) + p?(Y )Y = c?(y j), если y j > 0.
K K K K K

j

Как видим, картель так распределит объемы производства между предприятиями при по-
ложительных объемах выпуска, чтобы предельные издержки были равными.207 Так, если
c?(y ) = c , то совокупный выпуск отрасли совпадает с равновесием при монополии, когда
j j j


предельные издержки монополиста равны
c = minj cj.




Пример 6.
Пусть как и в Примере 3 обратная функция спроса линейна: p(y) = a – by, а функции из-
держек имеют вид cj(yj) = cyj. Объем производства картеля определяется соотношением
p(Y ) + p?(Y )Y = a – bY – bY = c = c?(y j).
K K K K K K

j

Таким образом, он равен
a–c
Y = 2b ,
K




а прибыль картеля равна
(a – c)2
K K K
(a – bY )Y – c Y = 4b .

В равновесии Курно, как мы показали в Примере 3, суммарный объем производства равен
n (a – c)
Y* = (n + 1) b

а суммарная прибыль, как несложно рассчитать, равна

207
Отметим, что это также означает такое распределение выпуска среди участников картеля, которое мини-
мизирует суммарные издержки.

553
554
n (a – c)2
(n + 1)2 b ,
откуда ясна неоптимальность равновесия Курно с точки зрения производителей. Они мог-
ли бы получать больше прибыли, если бы производили меньше. (


Используя ту же логику доказательства, как в Теоремах 5 и 6, можно показать, что олиго-
полисты будут производить меньше, если объединятся в картель, чем если они будут кон-
курировать по Курно (здесь, как и ранее, мы предполагаем равенство функций издержек у
всех олигополистов). Доказательство соответствующей теоремы оставляется читателю в
качестве упражнения. Аналогичное утверждение верно и без требования равенства функ-
ций издержек, но с сильными предположениями о функции выручки.208


Теорема 13.
Пусть
1) равновесия в модели Курно и модели картеля существуют и все фирмы производят
продукцию в положительных количествах: y j > 0, y* > 0 ?j,
K

j

2) обратная функция спроса дифференцируема и p?(y) убывает, функция выручки p(y)y
вогнута,
3) функции издержек cj(?) дифференцируемы и c?(yj) неубывают,
j

Тогда в точке картеля суммарный выпуск меньше, чем в равновесии Курно:
Y* > Y .
K




В общем случае ничего определенного относительно соотношения между объемом вы-
пуска картеля и выпуском в равновесии Курно сказать нельзя. Ниже приводится пример,
когда картель выпускает больший объем продукции, чем в одном из (трех) равновесий
Курно.


Пример 7.
Пусть в отрасли функция обратного спроса равна
p(y) = 9 – y
и есть два производителя с одинаковыми функциями издержек
? 6 y – 3 y2 , y < 4,
c(y) = ? 4
y > 4.
? 12,
В этой отрасли есть 3 равновесия Курно: (2, 2), (0, 9/2) и (9/2, 0). Максимум прибыли кар-
теля достигается в точках (0, 9/2) и (9/2, 0). Видно, что в симметричном равновесии (2, 2)
выпуск меньше, чем у картеля. (


Заметим, что хотя в данном примере функция издержек недифференцируема, ее легко мо-
дифицировать, сгладив в окрестности точки y = 4. По-видимому, основная причина полу-
ченного результата состоит в том, что в этом примере имеет место возрастающая отдача.

208
См. Elmar Wolfstetter, "Oligopoly and industrial organization," Humboldt-Discussion Paper, August 1995.

554
555


Ясно, что так же как и рассмотренный ранее сговор, картель является неустойчивым, если
нет способа гарантировать выполнение соглашения между фирмами.

Теорема 14.
Пусть
1) в картеле все фирмы производят продукцию в положительных количествах: y j > 0 ?j,
K




2) обратная функция спроса дифференцируема и p?(y) убывает,
3) функции издержек дифференцируемы.
Тогда в точке картеля
??j
(y1, ..., yn) > 0 ?j,
K K


?yj
т.е. каждая фирма может повысить свою прибыль, увеличив свой выпуск.


Доказательство.
Производная функции прибыли j-го участника по своему выпуску равна
??j
= p(Y) + p'(Y) yj – c?(yj).
?yj j


Учитывая дифференциальную характеристику точки (y1 , ..., yn),
K K




p(Y ) + p'(Y )Y = c?(y j),
K K K K

j

имеем
??j K K K K K
(y1 , ..., yn) = – p'(Y )(Y – y j) > 0.
?yj
Таким образом, если достигнуто соглашение о квотах выпуска (yj = y j), максимизирую-
K




щих суммарную прибыль, то каждой фирме выгодно (по крайней мере локально) произво-
дить больше своей квоты. *

Задачи


20. Докажите, что если во внутреннем равновесии Курно один из олигополистов немного
уменьшит объем производства, то суммарная прибыль возрастет.


21. Сформулируйте и докажите теорему о существовании равновесия в случае картеля.
(Подсказка: воспользуйтесь аналогичной теоремой в главе о монополии. Пусть существу-
ют yj > 0 j = 1, ..., n такие, что p(yj) < c?(yj) при yj > yj. Докажите, что при любых выбран-
˜ ˜
j
ных выпусках всех производителей, кроме j-го, картелю не выгодно j-му производителю
˜
назначать выпуск больше yj, поскольку суммарная прибыль тогда будет строго меньше,
˜
чем при выпуске yj = yj. При этом удобно рассматривать выбор суммарного объема произ-
водства, Y, при фиксированном Y–j, при ограничении Y> Y–j.)


22. Докажите аналог Теоремы 6 для модели картеля с одинаковыми функциями издержек.

555
556


23. Покажите, что если в дуополии предельные издержки производителей удовлетворяют
соотношению
?(y) ?(y),
c1 > c2
то при объединении в картель первый производит меньше, чем второй.


24. Рассмотрите дуопольную отрасль. Пусть обратная функция спроса имеет вид
4
p(Y) = 1 + Y ,

а функции издержек у обоих производителей линейны:
cj(yj) = yj.
Показать, что в равновесии Курно участники будут выпускать в сумме больше, чем при
объединении в картель, и получать меньшую общую прибыль.


25. Двое олигополистов имеют постоянные одинаковые предельные издержки, равные 1, и
конкурируют как в модели Курно. Спрос в отрасли задается обратной функцией спроса
p(Y) = 5 – 2Y. Сколько суммарной прибыли они бы выиграли, если бы сумели объеди-
ниться в картель?


26. Пусть на олигополистическом рынке функционируют три олигополиста с функциями
y12 y22 y32
издержек c1(y1) = 2 , c2(y2) = 4 и c3(y3) = 6 . Обратная функция спроса на продукцию
олигополистов имеет вид p(Y) = 1 – Y. Найдите равновесие Курно и покажите, что это
равновесие не оптимально, подобрав такие изменения выпусков олигополистов, чтобы
прибыль каждого выросла. Покажите, что картельное соглашение между этими участни-
ками неустойчиво, то есть каждый участник нарушив его получит большую прибыль.


27. Докажите Теорему 13.

Модель Бертрана
Модель Курно часто критиковали за то, что ее посылки (решение об объемах произ-
водства, а не о ценах) плохо согласуются с каждодневными наблюдениями.
Некоторые ранние критики этой модели говорили, что эту реалистичную картину
убывания олигополистической власти (или рыночной власти) олигополистов модель Кур-
но дает по ложным причинам, т.к. естественным состоянием олигополистической отрасли
является состояние ценовой конкуренции. На реальных олигополистических рынках произ-
водители в основном конкурируют, используя в качестве инструментов цены, по которым
они продают свою продукцию. Исходя из этого, естественной альтернативой модели Кур-
но для описания конкуренции на олигополистическом рынке должна быть модель описы-
вающая состояние и динамику рынка в терминах ценовой конкуренции. Такая модель бы-
?
ла предложена Жозе фом Бертраном. В ней производители принимают (одновременно)
решения о ценах продаж.209

209
Bertrand, J. (1883). “Theorie mathematique de la richesse sociale”. Journal de Savants, 67, 499-508.
556
557
В модели Бертрана предполагается, что олигополисты производят однородную продукцию
c постоянными предельными издержками, одинаковыми для всех производителей. Стра-
тегиями участников являются назначаемые цены pj. Поскольку при ценах ниже предель-
ных издержек любой производитель несет убытки при любом положительном объеме
продаж, естественно предполагать, что выбираемые им цены pj удовлетворяют ограниче-

<< Предыдущая

стр. 131
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>