<< Предыдущая

стр. 134
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Теперь докажем более формально, что стратегии (p, -, -1, -2) не может соответствовать
-py y
состоянию равновесия при ценовой конкуренции. Пусть второй производитель ожидает,
-
что первый производитель назначил цену p. Нам достаточно показать, что в этом случае
-
второму выгодно назначить цену p2 выше p.
Обозначим тот объем производства, который второй олигополист выберет в том случае,
-
если будут назначены цены (p, p2), где p2 > p, через R2(p2), т.е.
- -
- > <
- - -
R2(p2) = R2 (p, p2, R1 (p, p2)) при p2 > p
и
-- =
--
R2(p) = R2 (p, p),
< = >
где Rj (?), Rj (?) и Rj (?) — введенные выше функции оптимального отклика. Мы не будем
полностью анализировать, какой вид имеют функции отклика (читатель может проделать
такой анализ самостоятельно). Нам потребуется только несколько фактов относительно
этих функций. При данной цене pj, если нет ограничений на сбыт продукции, j-му произ-
водителю выгодно выбрать такой объем производства yj, чтобы предельные издержки
были равны цене:
c?(yj) = pj.
j

-- y
< =
Отсюда следует, что R1 (p, p2)) = -1 и R2 (p, p) = R2(p) = -2.
- --
y
- - -
Если первый производитель продает y1 по цене p, то при p2 > p второму производителю не
удается продать столько, сколько он бы хотел, поэтому ему выгодно выбрать выпуск в
точности на уровне остаточного спроса. (Докажите это.) Таким образом, при p2 > -
p
- >
- - --
R2(p2) = R2 (p, p2, y1) = D2(p2, y1, p).
Если выполнено естественное предположение о функции остаточного спроса:
566
567
D2(p, y1, p) = D(p) – -1,
-- - -y
-- - y - -
то D2(p, y1, p) = -2 = R2(p).
Таким образом, при всех p2 > p выполнено
-
- --
R2(p2) = D2(p2, y1, p).
Если предполагать, что исходная функция остаточного спроса, D2(?), дифференцируема по
-
p2 (по крайней мере, при p2 > p), то R2(p2) также дифференцируема.
-
-
При y2 = R2(p2) прибыль второго производителя будет равна
- -
?2(p2) = R2(p2) p2 – c2(R2(p2)), p2 > p.
-
Для доказательства утверждения достаточно показать, что производная прибыли в точке
p2 = p положительна. Действительно, при p2 > p
- -
? -?
?2(p2) = R2(p2) + [p2 – c2 - 2(p2))]?R2(p2).
- ?(R
-- y
При p2 = p, учитывая, что R2(p) = -2, получим
-
?- y - ?(y - ? -
?2(p) = -2 + [p – c2 -2)]?R2(p).
- ?(y
Поскольку по определению p = c2 -2), то
?- y
?2(p) = -2.
?-
Таким образом, при y2 > 0 выполнено ?2(p) > 0.
-
Мы не задаемся здесь достаточно сложным вопросом об условиях существования равно-
весия. Однако ясно, что если в ценовой конкуренции и существует равновесие, то прода-
жи не осуществляются по ценам, равным предельным издержкам. Таким образом, анализ
показывает, что как только мы изменяем предположение об одинаковости и постоянстве
предельных издержек, то получаем, что вывод модели Бертрана неверен.

Динамический вариант модели Бертрана (повторяющиеся взаимодействия)
Наиболее простой динамический вариант модели Бертрана — две фирмы с постоянными
и одинаковыми предельными издержками c, участвующие в ценовой конкуренции в тече-
ние (бесконечного) числа периодов времени. Каждая фирма максимизирует приведенную
прибыль,
?
?j = ¤ ? ??jt ,
t–1

t=1

где ?jt — прибыль фирмы i в период t, а ? ? (0; 1) — дисконтирующий множитель.
В этой динамической игре Бертрана стратегия фирмы j определяет цену pjt, которую взи-
мает фирма в период t как функцию от всей «предыстории» ценовой конкуренции Ht–1 =
t–1
--
{p1?, p2??=1}.
Общий интерес представляют стратегии следующего вида
p , если pi? = p для всех i, ?, 1 < ? < t–1
? --
M M
?
- ?
pj? =
c в противном случае
?
?

где p — монопольная цена. Согласно этой стратегии каждая фирма в период 1 назначает
M




монопольную цену за свою продукцию. Затем, в каждый последующий период она назна-
567
568
чает цену p , если во все предыдущие периоды обе фирмы назначали цену p , и цену, рав-
M M




ную ее предельным издержкам, в противном случае. Заметим, что если обе фирмы, ис-
пользуют указанные стратегии, то в результате они взимают в каждый период монопольно
высокие цены p .
M




Можно рассматривать назначение монопольной цены как неявное соглашение между оли-
гополистами. В этих терминах каждая из фирм придерживается соглашения, если в пред-
шествующие периоды обе фирмы не нарушали его, и нарушает соглашение, если другая
фирма (или она сама) в прошлом нарушила соглашение.
При некоторых предположениях о дисконтирующих множителях указанные стратегии
составляют равновесие. Заметим, что этот результат верен только для бесконечной игры.
В бесконечной игре единственным равновесием будет такой набор стратегий, согласно
которому каждая фирма в каждом из периодов назначает цену на уровне предельных из-
держек. Таким образом, в конечной игре описанный Бертраном исход реализуется в каж-
дом из периодов. Действительно, используя обратную индукцию, рассмотрим последний
период. Поскольку выигрыши в нем не зависят от действий игроков в предыдущие перио-
ды, то фактически соответствующая игра представляет собой обычную модель Бертрана.
Продолжая эти рассуждения, мы получим равновесие Бертрана в каждом из периодов.

Теорема 16.
Пусть функция спроса является непрерывной и строго убывает Указанные выше страте-
гии составляют совершенное в подыграх равновесие рассматриваемой динамической
модели Бертрана тогда и только тогда, когда ? > 1/2.


Доказательство.
Докажем прежде всего, что указанные стратегии составляют равновесие Нэша. Для этого
нужно доказать, что ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своей стратегии,
если другой игрок придерживается своей стратегии.
Если оба игрока будут придерживаться своих равновесных стратегий, то прибыль каждого
из них за один период составит
1 1
? = 2 (p – c)D(p )
M M M

2
Совокупная прибыль за все периоды будет в этом случае равна
1?
? M
1
?j = 2 ? ¤ ? = 2
t–1
.
M


1–?
t=1

Предположим, что один из игроков в первом периоде назначил цену отличную от моно-
польной:
p<p .
M




(Если игрок в первом периоде назначит цену выше монопольной, то его общая прибыль
будет равна нулю, поэтому ему не выгодно назначать такую цену.)
Этот игрок в первом периоде получит весь спрос целиком и его прибыль составит
(p – c)D(p).
Во все последующие периоды его прибыль будет нулевая, поскольку другой игрок, при-
держиваясь своей стратегии, будет наказывать его за отклонение от соглашения: будет
держать цену на уровне предельных издержек. Отклонение от стратегии в первом периоде
будет выгодным, если

568
569
1?
M


.
(p – c)D(p) > 2
1–?
При непрерывной кривой спроса игрок может сделать прибыль (p – c)D(p) сколь угодно
близкой к монопольной прибыли ? = (p – c)D(p ). Таким образом, чтобы рассматривае-
M M M




мый набор стратегий мог быть равновесным, требуется чтобы
11
1<2
1–?
или
1
? > 2.

Мы доказали, что в первом периоде при ? > 1/2 игроку нет смысла отклоняться от своей
стратегии. При ? < 1/2 выгодно отклоняться, т.е. это не равновесие Нэша.
Выгодно ли ему делать это в последующие периоды? Нет, поскольку ситуация будет той
же — прибыли останутся теми же с точностью до возрастающего линейного преобразова-
ния (считая дисконтирование и прибыль в периоды до нарушения соглашения).
Таким образом, доказано, что рассматриваемый набор стратегий является равновесием
Нэша. Нам осталось доказать, что он будет равновесием Нэша в каждой подыгре. Для это-
го достаточно понять, что с точностью до возрастающего линейного преобразования вы-
игрышей каждая подыгра повторяет исходную игру. *


Таким образом, доказано, что в рассмотренной бесконечной повторяющейся игре сущест-
вует Парето-оптимальное (с точки зрения олигополистов) равновесие. Фактически же это
равновесие не будет единственным. Можно придумать бесконечно много различных пар
стратегий, составляющих совершенное в подыграх равновесие, и среди этих равновесий
есть не Парето-оптимальные.

Задачи


28. Найдите равновесие в модели Бертрана в случае неодинаковых (но постоянных) пре-
дельных издержек.


29. Сформулируйте и докажите существование равновесия в модели с дифференцирован-
ными продуктами. (Предположите, что для каждого из олигополистов вне зависимости от
цен остальных олигополистов существует цена выше которой спрос равен нулю. Осталь-
ные условия сходны с условиями использованными при доказательстве существования в
модели Курно. Воспользуйтесь теоремой Нэша.)


30. На рынке действуют две одинаковые фирмы. Спрос на продукцию j-й фирмы зависит
от собственной цены pj и цены конкурента p–j:
yj = ?2 – ?pj + (? – 1)p–j (? > 1).
Предельные издержки равны 1. Рассчитать равновесие при ценовой конкуренции фирм.
Сравнить с картелем.


569
570
31. Пусть есть две фирмы, выпускающих два разных, но связанных в потреблении товара,
выбирают цены p1 > 0, p2 > 0 которые влияют на объемы их спроса. Функции спроса за-
даны уравнениями:
y1(p1, p2) = 6 – 2p1 + p2,
y2(p1, p2) = 10 – 3p2 + p1.
Найти равновесные цены, если издержки у обеих фирм нулевые.

Модель олигополии с ценовым лидерством
В модели олигополии с ценовым лидерством лидер (фирма с номером 1) назначает цену p, а

<< Предыдущая

стр. 134
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>