<< Предыдущая

стр. 135
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

остальные (j = 2, ..., n) выбирают выпуск, считая цену фиксированной. С точки зрения
теории игр, модель представляет собой динамическую игру с почти совершенной инфор-
мацией, состоящую из двух этапов. В определенном смысле, модель олигополии с цено-
вым лидерством находится в том же отношении к модели Бертрана что и модель Шта-
кельберга к модели Курно. Ее анализ фактически повторяет анализ модели Штакельберга
и ниже будет приведен в упрощенном и схематичном виде.
Опишем способ нахождения равновесия с помощью обратной индукции. Сначала следует
рассмотреть второй этап игры. На втором этапе участники, отличные от лидера, одновре-
менно выбирают свои объемы производства. Таким образом формируются отклики Rj(p),
которые являются решением соответствующих задач:
pyj – cj(yj) > max y >0.
j


R2(p)
p
D p
R2(p)+R3(p)

R2(p)+R3(p)
+R4(p) MC1

MR1
y1
D1
y
y1
y2 y3 y4 y1

?enoiie 126
(Мы будем предполагать, что отклики однозначны, и Rj(p) являются функциями, опреде-
ленными при всех неотрицательных ценах.) Эти задачи, очевидно, совпадают с задачами
фирм при совершенной конкуренции, а функции отклика Rj(p) являются соответствую-
щими функциями предложения. При соответствующих предположениях функции отклика
удовлетворяют условиям первого порядка:
c?(Rj(p)) = p,
j

то есть функции Rj(p) являются обратными к функциям предельных издержек c?(yj)218.
j
Обычно предполагают, что функции издержек характеризуются убывающей отдачей, так
что функции предельных издержек возрастают и поэтому являются обратимыми.
В свою очередь, лидер выбирает цену, ориентируясь на функции отклика. Для каждого
уровня цены, выбранной лидером, можно определить остаточный спрос:




218
Предполагается, что уравнение имеет решение при всех p > 0.

570
571
n

D1(p) = D(p) – ¤Rj(p).
j=2

Фактически, лидера можно рассматривать как монополиста, сталкивающегося с функцией
спроса D1(p). Таким образом, лидер решает задачу
?1 = D1(p)p – c1(D1(p)) > max p .
На Рис. 126 дана иллюстрация равновесия олигополии с ценовым лидерством для случая
n = 4.



Задачи


32. Сформулируйте и докажите теорему существования равновесия в модели ценового
лидерства. (Подсказка: В качестве образца возьмите доказательство существования рав-
новесия в модели Штакельберга.)


33. Пусть в дуопольной отрасли, в которой фирмы конкурируют в соответствии с моделью
2
ценового лидерства, функция издержек лидера и ведомого равны c1(y1) = c y1 и c2(y2) = y2
соответственно, а функция спроса равна D(p) = a – b p. Показать, что суммарный выпуск
будет больше, чем в равновесии Курно, но меньше, чем Парето-оптимальный. Показать
равновесие графически.


34. Двое олигополистов конкурируют по типу модели ценового лидерства. Лидер имеет
нулевые предельные издержки, а ведомый имеет квадратичную функцию издержек:
2
c2(y2) = y2 /2. Спрос в отрасли описывается функцией D(p) = 8 – p. Сколько суммарной
прибыли выиграли бы олигополисты, если бы сумели объединиться в одну фирму (кар-
тель)?




571
572


13. Модели найма

Модели с неполной и неодинаковой информированностью экономических субъектов о
характере сделки, свойствах обмениваемых благ, их воздействиях друг с другом и др. до-
вольно многообразны. В этой главе мы разберем ситуацию взаимодействия двух экономи-
ческих субъектов: нанимателя (заказчика, владельца, начальника), и нанимаемого работ-
ника (подрядчика, менеджера, подчиненного), известную под названием "Principal-Agent
problem".

Модель с полной информацией
Рассмотрим сначала модель найма, в которой участники сделки полностью информирова-
ны обо всех ее характеристиках (ее условиях, результатах).
В этой модели наниматель владеет неким «фактором производства», позволяющим полу-
чать доход (добавленную стоимость) величиной y = y(x), если уровень усилий работника
составляет величину x ? X, где X — множество возможных усилий (действий). Обычно
предполагается, что функция y(?) является возрастающей и вогнутой, что означает, что
доход возрастает с уровнем усилий, но с «убывающей отдачей». В предположении диф-
ференцируемости функции y(?) это означает, что y?(x) > 0, ?x ? X и y?(?) убывает.
Для стимулирования усилий работника наниматель выбирает схему оплаты w(?) в зависи-
мости от некоторого наблюдаемого им сигнала о величине таких усилий. Схему оплаты
w(?) называют также контрактом.
При этом, выбирая контракт, наниматель максимизирует остаточный доход, то есть раз-
ность между создаваемым работником доходом y и вознаграждением w. Будем называть
эту величину прибылью нанимателя:
? = y(x) – w.
Естественно предполагать, что полезность работника в результате работы по найму зави-
сит от уровня усилий и от величины оплаты, т.е. u = u(x, w). Для упрощения анализа будем
предполагать, что эта функция является сепарабельной:
u(x, w) = v(w) – c(x),
где v(w) — полезность от зарплаты w, а c(x) — тягость усилий x. Будем предполагать, что
v(?) — возрастающая вогнутая функция, c(?) — возрастающая выпуклая функция. Если
эти функции дифференцируемы, то приведенные условия модифицируются следующим
образом: v?(x) > 0, v?(?) убывает (убывающая предельная полезность), c?(x) > 0 и c?(?) воз-
растает (возрастающая предельная тягость усилий).
Предположим сначала, что работник характеризуется резервной полезностью u0. Это по-
лезность альтернативной занятости, и работник не согласится на работу по контракту,
если его полезность окажется меньше u0. (Мы будем предполагать, что когда u = u0, работ-
ник соглашается на данную работу).
Предполагают, что наниматель, выбирая схему оплаты (контракт) знает функцию полез-
ности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как данный.
Можно рассматривать данную модель как динамическую игру. В ней стратегия нанимате-
ля — контракт w(?). Мы рассмотрим один из вариантов модели, в которой контракт — это
функция от усилий x: w = w(x).


572
573
1. Наниматель выбирает функцию w(?) — контракт.
2. Работник выбирает, работать ему или нет (заключать или не заключать контракт).
3. Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.
Можно изобразить эту игру в виде дерева.
Наниматель

w(?)
Работник



?0 ? x
? u0 ?
? y(x) – w(x) ?
? v(w(x)) – c (x) ?

?enoiie 127. I?aanoaaeaiea iiaaee iaieiaoaeu-?aaioiee a aeaa aa?aaa
Для полного описания игры необходимо задать множество допустимых выборов нанима-
теля — множество возможных контрактов {w(?)}. В случае, если множество усилий не
является конечным, решение описанной игры существует не для всех множеств возмож-
ных контрактов: задача работника (выбор усилий x) имеет решение далеко не для всех
типов контрактов w(?). Мы будем в дальнейшем предполагать, что наниматель может вы-
брать любой контракт, при котором задача работника имеет решение.
Это ситуация полной информации — всем все известно (о технологии, предпочтениях и
производимых усилиях). Равновесие можно найти с помощью обратной индукции. При
данном контракте w(?) работник решает задачу

u = v(w(x)) – c(x) > max x?X ,
и выбирает соответствующие усилия x*:

x* ? argmax x?X(v(w(x)) – c(x)),
(ясно, что решение может быть и не единственное). При дифференцируемости функций
v?(w(x*))w?(x*) = c?(x*)
для внутреннего решения.
v(w(x))


c(x)

x
*
x

?enoiie 128. Auai? ?aaioieeii iioeiaeuiuo aaenoaee
Далее, работник выбирает, подписывать ли ему контракт, зная оптимальное решение. Он
сравнивает величины u0 и maxx?X(v(w(x)) – c(x)). Если maxx?X(v(w(x)) – c(x)) < u0, работ-
ник отказывается подписывать контракт и выигрыш предпринимателя оказывается рав-
ным нулю. Если u0 оказывается выше, то работник не подписывает контракт. Напомним,
что если полезность одинакова при обоих вариантах его поведения, то мы предполагаем,
что работник принимает решение подписать контракт.

573
574
Таким образом, в этой ситуации решение работника зависит от предлагаемого ему кон-
тракта — w(?). С другой стороны, от решения работника x* зависит величина прибыли
? = y(x*) – w(x*). Наниматель предлагает контракт, дающий ему максимальную прибыль с
учетом предсказуемого решения работника219.
Эти рассуждения позволяют сформулировать следующую задачу, с помощью которой
можно найти решения игры:

? = y(x*) – w(x*) > max w(?)

x* ? argmax x?X(v(w(x)) – c(x)), (1)
v(w(x*)) – c(x*) > u0 . (2)
Ограничение (1) называют ограничением совместимости стимулов. Ограничение (2) называ-
ют ограничением участия. Ограничение участия исключает из анализа случай v(w(x*)) –
c(x*) < u0, для которого выигрыши участников известны, упрощая анализ (в противном
случае требовалось бы искать максимум, вообще говоря, разрывной функции выигрыша
нанимателя). Если в полученном решении прибыль нанимателя отрицательна, то он
предложит работнику такой контракт, который тот не подпишет; при этом наниматель
получит более высокую прибыль (нулевую).220
Если решение задачи работника x* не единственно, то будем считать, что работник делает
выбор, благоприятный для нанимателя. Поэтому можно предполагать, что наниматель сам
выбирает x* при тех же ограничениях. Т.е. он выбирает как w(?), так и x*, решая следую-
щую задачу:

? = y(x*) – w(x*) > max x , w(?)*



v(w(x*)) – c(x*) > v(w(x)) – c(x), ?x ? X,
v(w(x*)) – c(x*) > u0.
(Заметьте, что здесь ограничение совместимости стимулов записано несколько в другом
виде).
Решение этой задачи нанимателя включает в себя максимизацию по функции, причем
обычно решение является не единственным. Для нахождения решения удобно рассмот-
реть сначала вспомогательную задачу, без ограничения совместимости стимулов

? = y(x*) – w(x*) > max x , w(?)
*



v(w(x*)) – c(x*) > u0.
Вводя обозначения w = w(x*), x = x*, приходим к следующей задаче:

? = y(x) – w > max x, w
v(w) – c(x) > u0.
В этой задаче выбираются оптимальные для нанимателя значения x и w при учете только
ограничения участия. Поэтому уровень прибыли, соответствующий решению этой задачи,
не может быть ниже ее уровня, соответствующего оптимальному контракту. В дальней-
шем мы покажем, что в действительности они совпадают.


219
Фактически, рассматривается решение игры в виде совершенного в подыграх равновесия.
220
Можно было бы добавить еще один ход нанимателя: предлагать контракт или нет. Тогда в рассматривае-
мом «невыгодном» случае нанимателю достаточно не предлагать работнику никакого контракта.

574
575
^^
Обозначим решение этой вспомогательной задачи через (x, w).
С учетом ограничения участия (которое в точке решения выполняется как равенство) ее
можно свести к следующей задаче безусловной оптимизации по уровню усилий x:

? = y(x) – v–1(c(x) + u0) > max x
^
Для данного уровня усилий x, в котором достигается максимум, плата должна быть равна
^ ^
–1
w = v (c(x) + u0).
При дифференцируемости функций внутреннее решение характеризуется соотношением
^
c?(x)
^ .

<< Предыдущая

стр. 135
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>