<< Предыдущая

стр. 136
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

y?(x) =
^
v?(w)
y(x)


v–1(c(x) + u 0)

^
w x
^
x

^ ^
?enoiie 129. Eaaaeuiay aey iaieiaoaey neooaoey, auai? x e w

Это будет Парето-оптимум с точки зрения целевых функций ? и u, (элемент переговорно-
го множества, наиболее предпочитаемый нанимателем: наниматель получит весь излишек
от сделки), см. Рис??.
u




u0
?


?enoiie 130. Eaaaeuiay aey iaieiaoaey neooaoey ia Ia?aoi-a?aieoa
Может ли наниматель достичь этой идеальной для себя ситуации?
Если нет ограничений на возможные контракты, то да, причем несколькими способами.
Действительно, для этого следует выбрать контракт w(?) таким образом, чтобы решение
задачи работника

v(w(x)) – c(x) > max x?X
^ ^
достигалось в требуемой точке x и работник получал в этой точке требуемую оплату w
^
= w(x). Графически это означает, что кривая v(w(x)) лежит под кривой c(x) + u0 и
^^
совпадает с ней в точке (x, w). Если c(?) и y(?) дифференцируемы и ищется
дифференцируемая функция w(?), то для внутреннего решения должно быть выполнено
^
c?(x)
^ ^
w?(x) = ( = y?(x) ).
^
v?(w)




575
576
v–1(c(x) + u 0)


y(x) w(x)
^
w

x
^
x

?enoiie 131. Iiaai? noaiu iieaou, ?aaeeco?uae eaaaeuio? aey iaieiaoaey
neooaoe?
Таким образом, если стратегии нанимателя и работника составляют равновесие, причем в
равновесии выполнено ограничение участия, то они обладают следующими характеристи-
ками:
^
Усилия работника в равновесии равны x = x, а равновесный контракт w(?) удовлетворяет
условиям w(x) < v (c(x) + u0) ?x ? X и w(x) = w. Если работник сталкивается с произволь-
^ ^
–1


ным (в том числе неравновесным) контрактом w(?), то он выбирает уровень усилий
x = x*(w(?)), который максимизирует полезность работника v(w(x)) – c(x).
Верно и обратное: если существует уровень усилий x, при котором прибыль y(x) – v–
(c(x) + u0) неотрицательна, то любые стратегии, удовлетворяющие этим условиям,
1

составляют равновесие рассматриваемой игры.
Опишем несколько простейших контрактов, при использовании которых достигается иде-
альная для нанимателя ситуация.
1) Пакетный контракт («не хочешь, не бери», "take-it-or-leave-it"). Простейший контракт
^
обуславливает положительную оплату только для уровня усилий x, например,
? 0, x ? x,
-
w(x) = ?
- -
? w, x = x.
Контракт
-
? 0, x < x,
w(x) = ?
? w, x > x.
- -
также будем называть пакетным (см. Рис. ??).
v–1(c(x)+u0)


w(x)
^
w

x
^
x

?enoiie 132. Iioeiaeuiue iaeaoiue eiio?aeo
--
Очевидно, что для оптимальности пакетного контракта его параметры x и w следует вы-
брать следующим образом:
-^ -^
x = x и w = w.
2) Линейный по усилиям контракт:
w(x) = a + bx.

576
577
^ ^
Найдем его параметры. Из условия w?(x) = y?(x) получаем, что
^
b = y?(x).
^ ^ ^
Из условия v(w(x)) = v(w) = c(x) + u0 получаем, что
^^ ^ ^
a = w – bx = v–1(c(x) + u0) – bx,
^ ^
Т.е. если x — оптимальные усилия, а w — соответствующая оплата то
^ ^ ^
w(x) = w + y?(x)(x – x).
v–1(c(x)+u0)


w(x)
^
w

x
^
x

?enoiie 133. Iioeiaeuiue eeiaeiue ii aaenoaeyi eiio?aeo
3) Линейный по результатам контракт:
w(x) = a + by(x).
^ ^
Для того, чтобы выполнялось w?(x) = y?(x), требуется, чтобы b = 1. Таким образом, это
должен быть контракт с полной ответственностью — все прибыли и убытки берет на себя
работник. Наниматель же получает фиксированную сумму A = –a (? = A). Т.е.
w(x) = y(x) – A.
Для того, чтобы этот контракт был оптимальным для нанимателя, следует выбрать
^^
A = y(x) – w.
Контракт с полной ответственностью заставляет работника, по сути дела, самому решать
задачу нанимателя, которая была сформулирована нами ранее.


v–1(c(x) + u 0)
y(x)

^ w(x)
w

x
^
x

?enoiie 134. Iioeiaeuiue eeiaeiue ii ?acoeuoaoai eiio?aeo
Мы рассмотрели модель с полной информацией. Далее рассмотрим модели с неполной и,
прежде всего, асимметричной информацией, в которых работник владеет некоторой ин-
формацией, а наниматель — нет.

Задачи
1. Барин выбирает, какую долю ? ? [0; 1] стоимости урожая y забирать у крестьянина в ви-
де издольщины. При этом он максимизирует свой ожидаемый доход ?y. Крестьянин мак-
симизирует по y > 0 функцию (1 – ?) y – y2, то есть прибыль при квадратичной функции тя-
гости усилий.

577
578
(1) Найти оптимальную для барина долю ?.
(2) Что будет, если дополнительно к издольщине барин может использовать фиксирован-
ный оброк (r)? Какими данными следует дополнить задачу, чтобы она имела решение?
Введите соответствующие обозначения, запишите целевые функции и найдите решение.


2. [Varian] Профессор P наняла преподавателя-ассистента мистера A. Профессора интере-
сует, сколько часов мистер A будет преподавать, а также то, сколько она должна ему за-
платить. Профессор P желает максимизировать свою функцию заработной платы x – w,
где x — количество часов, преподаваемых мистером A, а w — заработная плата, которую
она ему платит. Если мистер A преподает x часов и получает w, то его полезность равна
w – x2/2. Резервная полезность мистера A равна нулю.
(a) Если профессор P выбирает x и w, максимизируя свою полезность при ограничении,
что мистер A готов на нее работать, то сколько часов будет преподавать мистер A и
сколько ему придется заплатить?
(b) Предположим, что профессор P устанавливает схему заработной платы в форме
w(x) = ax + b и позволяет мистеру A выбирать количество часов x. Какие значения a и b
следует выбрать профессору P? Удалось бы профессору P достичь более высокого уровня
заработной платы, если бы она использовала схему w(x) более общей функциональной
формы?

Модель с ненаблюдаемыми действиями
Рассмотрим модель, в которой скрытыми являются действия работника, то есть нанима-
тель не знает, какие усилия произвел работник, он наблюдает только их результат, и в
этих условиях нанимателю нужно стимулировать работника выбрать уровень усилий, ко-
торый бы максимизировал ожидаемую прибыль.
Примером такой ситуации является рынок страховых услуг. Если условия страхования
актуарно справедливы, страхователю выгодно заключить контракт на величину, равную
потенциальным потерям. Однако, застраховав имущество, многие начинают использовать
его менее аккуратно, тем самым увеличивая риск его потери или порчи, то есть риск на-
ступления страхового случая. Это связано с ненаблюдаемостью усилий по сохранению
имущества и невозможностью обусловить плату уровнем этих усилий. Подобные ситуа-
ции известны в экономической теории под названием моральный риск. Ясно, что страховой
компании выгодно стимулировать своих клиентов относиться к застрахованному имуще-
ству более бережно, однако, как правило, это можно сделать только за счет неполного
страхования.

Формулировка модели и общие свойства
˜
Пусть действия работника, x, ненаблюдаемы. Результат же действий (доход), y, есть (не-
тривиальная) случайная величина, распределение которой зависит от x:
˜
y ˜ Fx.
Здесь {Fx} — это семейство распределений с параметром x. Через Fx(?) обозначим соот-
ветствующую функцию распределения.
˜
(В соответствии с моделью принятия решений при риске, можно предположить, что y —
это случайная величина, заданная на состояниях мира s?S).



578
579
Для простоты мы в дальнейшем будем предполагать, что носитель этого распределения
˜
(область значений, принимаемых величиной y) не зависит от x. Содержательно это озна-
˜
чает, что по наблюдаемым значениям y нельзя однозначно определить, какие действия
работник выбрал (или не мог выбрать). Такое предположение позволяет избавиться от
многих технических сложностей.
Кроме того, естественно предположить, что чем больше усилия, тем более высоким дол-
жен быть результат. Поэтому будем предполагать, что распределение Fx(?) «сдвигается
вправо» при росте x, т.е.
Fx (y) > Fx (y) при x1 < x2.
1 2



Это означает221, что Fx стохастически доминирует Fx при x1 < x2. Из этого свойства следует,
2 1

что чем больше усилия, тем больше ожидаемый доход:
˜ ˜
Ex y < Ex y при x1 < x2.
1 2



Математическое ожидание берется по распределению Fx, следовательно, оно зависит от
того, какие действия x выбрал работник. Соответственно, оператор математического ожи-
дания мы будем писать в виде Ex. Предполагают, что наниматель нейтрален к риску, т.е.
его функция выигрыша — ожидаемая прибыль. Т.е. наниматель стремиться максимизиро-
вать величину
Ex? = Ex(y – w),
˜˜
˜

<< Предыдущая

стр. 136
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>