<< Предыдущая

стр. 137
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

где w — оплата по контракту, которая, вообще говоря, является случайной величиной.
Работник максимизирует U = Exu — математическое ожидание элементарной функции
полезности u(x, w), которая, как и раньше, зависит от объема усилий x и от вознагражде-
ния w.
Условие участия, по аналогии со случаем полной информации, состоит в том, что работ-
ник соглашается на работу по контракту только в том случае, если его ожидаемая полез-
ность при этом не меньше, чем его резервная полезность u0:
Exu > u0.
Для упрощения анализа чаще всего рассматривают частные случаи, когда функция u(x, w)
имеет простой вид. Две самых популярных спецификации функции полезности работника
имеют следующий вид:
u(x, w) = v(w – c(x))
и
u(x, w) = v(w) – c(x),
где v(?) — возрастающая вогнутая функция, а c(?) — возрастающая выпуклая функция.
Оба типа функции сепарабельны по w и x (первая в каком-то смысле еще и квазилинейна
по зарплате w), и включают функцию v(?), позволяющую моделировать отношение работ-
ника к риску (риск может быть связан с тем, что получаемая им оплата w является слу-
чайной величиной). Нейтральный к риску работник будет иметь линейную возрастающую
функцию v(?), которую без потери общности можно считать равной v(z) = z. Поэтому мы
будем называть работника нейтральным к риску, если
u(x, w) = w – c(x).


221
Более точно, речь идет о стохастическом доминировании первого порядка.

579
580
Как правило, предполагается, что работник не склонен к риску, то есть функция v(?) во-
гнута222. Работник является рискофобом, если функция v(?) строго вогнута. При этом, если
v(?) дифференцируема, то она имеет положительную убывающую производную.
Поскольку действия x ненаблюдаемы, то оплата по контракту не может быть обусловлена
предпринимаемыми работником действиями (усилиями) x. В предположении, что наблю-
˜
даемыми являются результаты y этих усилий, рассмотрим модель контрактных отноше-
ний, при которых оплата по контракту обуславливается полученными результатами (как
сигналами относительно уровня усилий). Поэтому в рассматриваемой модели с ненаблю-
даемыми действиями контракт — это функция вида w =w(y).
Как и ранее, мы будем предполагать, что наниматель, выбирая контракт, знает функцию
полезности и резервную полезность работника, а работник принимает контракт как дан-
ный. Таким образом, модель представляет собой динамическую игру. Последовательность
ходов в этой игре следующая:
1. Наниматель предлагает контракт w(?).
2. Работник выбирает, работать ему или нет.
3. Работник, если он подписал контракт, выбирает уровень усилий x.
˜
4. «Природа» при данном x по распределению Fx случайным образом «генерирует» y.
Контракт представляет собой дележ дохода y между нанимателем и работником, и, тем
самым, задает их выигрыши.
Наниматель

w(?)
Работник

?0 ?
? u0 ?
x
Природа
[Fx]
˜
y
˜ ˜
? Ex(y – w(y)) ?
? Exu(w(y), x) ?
˜

?enoiie 135. I?aanoaaeaiea iiaaee iaieiaoaeu-?aaioiee n iaiaae?aaaiuie
aaenoaeyie a aeaa aa?aaa
Для поиска решения этой модели можно воспользоваться обратной индукцией. При за-
данном контракте w(?) оптимальный для работника уровень усилий является решением
следующей задачи:

U = Exu(w(y), x) > max x?X .
˜
Учитывая это, задача поиска оптимального для нанимателя контракта имеет следующий
вид:

Ex ? = Ex (y – w(y)) > max x , w(?)
˜ ˜
* * *




Ex u(w(y), x*) > Exu(w(y), x), ? x ? X
˜ ˜
*




(ограничение совместимости стимулов),

222
Ясно, что функция v(?) моделирует отношение к риску только с точки зрения, w, но не с точки зрения x.
Но для нас это несущественно, поскольку в данной модели усилия x не являются случайными.

580
581

Ex u(w(y), x*) > u0
˜
*




(ограничение участия).
Объяснение того, почему задача нанимателя включает выбор усилий x*, такое же, как для
модели с наблюдаемыми действиями: работник предполагается «благожелательным» по
отношению к нанимателю, в том смысле, что из равновыгодных для себя действий готов
выбрать выгодные для нанимателя223.
Проанализируем сначала случай с наблюдаемыми действиями, но со случайными резуль-
татами. Это даст нам «идеальную» точку отсчета для анализа модели с ненаблюдаемыми
действиями. При этом, как и выше (в ситуации, когда результат однозначно определяется
выбором уровня усилий), рассмотрим вспомогательную задачу, в которой определятся
оптимальные для нанимателя значения x и w при ограничении участия:

Ex(y – w) > max x, w
˜

Exu(w, x) > u0.
Поскольку здесь как w, так и x — детерминированные величины, то u(w, x) — тоже де-
терминированная. Таким образом, задача сводится к следующей:
Exy – w > max x, w
˜
u(w, x) > u0. (:)
При
u(x, w) = v(w) – c(x),
выражая w из ограничения участия, получаем следующую задачу:

Exy – v–1(c(x) + u0) > max x.
˜ (;)
^^
Как и раньше, обозначим соответствующую «идеальную» ситуацию (x, w). Если из задачи
^
(;) найден эффективный уровень усилий x, то соответствующая плата должна быть равна
^ ^
w = v–1(c(x) + u0).
Как и при однозначности результата, эту идеальную ситуацию можно реализовать беско-
нечным числом способов в виде контракта w(?), зависящего от усилий x. (Например, мож-
но использовать пакетный контракт). Кривая w(x) должна лежать под кривой v–1(c(x) + u0)
^^
и касаться ее в точке (x, w). При этом достигается Парето-оптимум с точки зрения соот-
˜˜
ветствующих целевых функций: ожидаемой прибыли Ex(y – w) и ожидаемой полезности
˜
Exv(w) – c(x).
˜ ˜
Действительно, если от произвольной оплаты w, перейти к фиксированной оплате Exw, то
ожидаемая прибыль не изменится, а ожидаемая полезность не уменьшится (поскольку
работник не склонен к риску). Поэтому достаточно рассматривать только случаи, когда
плата не случайная. При этом, как несложно понять, записанная выше задача (:) пред-
ставляет собой задачу, характеризующую Парето-оптимальные состояния.
Предположим теперь, что действия (усилия) ненаблюдаемы. Поскольку оплату по кон-
тракту можно обуславливать только наблюдаемыми величинами, то приходится обуслав-
ливать величина оплаты в данной ситуации может зависеть только от результата y. Таким

223
Это предположение базируется на том, что наниматель может простимулировать благожелательные дей-
ствия работника (доплатить ему).

581
582
образом, из всех рассмотренных выше контрактов (для модели с наблюдаемыми дейст-
виями) можно реализовать только линейный по результатам контракт:
w(y) = a + by.
который является оптимальным по Парето в случае, если это контракт с полной ответст-
венностью:
w(y) = y – A.
Покажем, что наилучший для нанимателя контракт вида w(y) является оптимальным по
Парето лишь при ограничительных предположениях относительно отношения к риску
работника. Об этом свидетельствуют следующие два утверждения.


Теорема 1
Если работник нейтрален к риску, то наилучший для нанимателя контракт с полной от-
ветственностью является Парето-оптимальным и эквивалентен с точки зрения ожидае-
^^
мой прибыли и ожидаемой полезности эффективному состоянию (x, w).
Доказательство.
˜˜
Ожидаемая прибыль в данной ситуации равна Ex(y – y – A) = A, а ожидаемая полезность
˜ ˜
равна Ex(y – A) – c(x) = Exy – A – c(x).
Задача максимизации ожидаемой полезности по x эквивалентна задаче (;), учитывая,
что при нейтральности к риску v–1(w) = w. Таким образом, работник выберет эффективные
усилия. Параметр наилучшего для нанимателя контракта с полной ответственностью на-
ходится из условия участия:
˜
A = Exy – c(x) – u0.
˜
При этом ожидаемая полезность равна u0, а ожидаемая прибыль равна Exy – c(x) – u0 (где x
— эффективные усилия), то есть она такая же, какая достигается в задаче (;).
*


Очевидно, что описанный в теореме контракт224 является не только оптимальным по Па-
рето, но и оптимальным для нанимателя среди всех возможных контрактов, и факт нена-
блюдаемости усилий в данном случае несущественен, поскольку этот контракт решает
задачу максимизации ожидаемой прибыли при единственном ограничении — ограниче-
нии участия. (Это Парето-оптимальное состояние, в котором один из игроков получает
минимальный выигрыш. Следовательно, другой игрок получает максимально возможный
выигрыш). Фактически при нейтральности работника к риску модель сводится к модели с
наблюдаемыми действиями. Но по существу это единственная содержательно интересная
ситуация, когда ненаблюдаемость усилий не имеет значения, что и показывает следующее
утверждение.


Теорема 2
˜ ˜
Если работник — рискофоб, и допустимый контракт w(?) таков, что w = w(y) — нетриви-
альная случайная величина, то соответствующая ситуация не является оптимальной по

224
Ясно, что то же самое верно и для любого другого контракта, который приводит к тем же ожидаемым
выигрышам.

582
583
Парето, поскольку можно увеличить ожидаемую прибыль, не уменьшая ожидаемой по-
лезности.
Доказательство.
˜
Действительно, в данной ситуации можно случайную оплату w заменить на ее безриско-
вый эквивалент. При этом по определению ожидаемая полезность работника не изменит-
ся, ожидаемая же прибыль вырастет (у рискофоба безрисковый эквивалент нетривиальной
случайной оплаты строго меньше математического ожидания такой оплаты).
*


Из этого утверждения следует, что контракт с полной ответственностью в случае ра-
˜˜
ботника — рискофоба не будет Парето-оптимальным, поскольку w = y – A — нетриви-
альная случайная величина. Это связано с тем, что наниматель заинтересован в известной
степени застраховать такого работника.
Другое следствие состоит в том, что если при ненаблюдаемости действий работник явля-
˜
ется рискофобом, то Парето-оптимальность достижима только в случае, когда плата w(y)
детерминированная. Ясно, что такой контракт не является стимулирующим и работник,
работая по нему, будет делать наименьшие возможные усилия x = min(X) (если соответст-
вующий минимум существует). Следовательно, Парето-оптимальность достижима
только если среди эффективных контрактов есть контракты с минимальными возмож-
ными усилиями, то есть только в содержательно неинтересном случае, когда нанимателю
нет смысла стимулировать работника, достаточно дать ему минимальную плату, обеспе-
чивающую резервную полезность. В этом случае наниматель заинтересован полностью
застраховать работника.
В общем случае, как мы увидим далее, оптимальный контракт — это компромисс между
двумя противоположными целями, которые преследует наниматель: целью стимулирова-
ния работника выполнять выгодные для нанимателя действия и целью страхования ра-
ботника от риска.
˜
Заметим, что предположение о том, что носитель распределения y не зависит от величины
усилий x является существенным для проводимого здесь анализа. Так, в крайнем случае
˜
зависимости носителя распределения y от усилий — когда эти носители при разных дей-
ствиях не пересекаются — по результату можно однозначно установить, предпринимал ли
работник те или иные усилия. В этом случае усилия оказывается наблюдаемыми косвен-
ным образом, и оптимальный контракт оказывается тем же, что и в случае наблюдаемых
усилий.

Дискретный вариант модели со скрытыми действиями
Рассмотрим модель в дискретном случае: конечное число возможных действий (xa,
a = 1, ..., k) и конечное число возможных результатов (ys, s = 1, ..., m). Поскольку сам по
себе уровень x не имеет значения, то вместо x мы будем использовать a и обозначим
c(xa) = ca, предполагая, что усилия xa растут с ростом индекса a. Каждое значение выбран-
˜
ных работником усилий a приводит к случайному результату y, который описывается
следующим дискретным распределением:

<< Предыдущая

стр. 137
(из 163 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>